符号模式矩阵幂等刻划.doc

大理学院本科毕业论文摘要： 符号模式矩阵的研究来自于对线性动力系统的符号可解性与符号稳定性的研究，其开创性工作是由诺贝尔奖获得者、经济学家P.Samuelson作出的1，由于符号矩阵理论在经济学中有着重要的应用背景，从而引起了经济学家、数学家及计算机理论专家的广泛关注。1995年，R.A.Brualdi与B.L.Shader的关于符号矩阵论的专著Matrices of Signsolvable Linear systems2的问世极大地推动了符号矩阵理论的发展，它全面系统地总结了在符号矩阵理论方面的研究成果，同时给出了许多新的结论从而使符号矩阵理论成为组合数学的一个新兴研究热点。符号模式矩阵是指矩阵中的元素取值于集合的矩阵。若对，就称是符号幂等的符号模式矩阵，同时若存在与的元素有相同符号实矩阵，使得，称是允许幂等的符号模式矩阵。，即，称是对称符号模式矩阵。主要内容如下：1） 介绍了符号模式矩阵研究的历史背景，给出了符号模式矩阵的基本概念和相关结论，对幂等符号模式矩阵的研究现状进行概述。2） 研究了非负符号模式矩阵的符号幂等性性质，给出非负符号模式矩阵的符号幂等性刻划，讨论了非负符号模式矩阵的符号幂等性与允许幂等性之间的关系。3） 研究了相似于符号幂等模式矩阵的符号模式矩阵的性质，讨论了对于符号幂等模式矩阵，是否存在符号模式矩阵，使得为非负的问题，以及给出的构造法。4） 研究了可约幂等符号模式矩阵的符号幂等性与允许幂等性之间的关系问题，给出了对于可约幂等符号模式矩阵的符号幂等与允许幂等之间的关系刻划。关键词：符号模式矩阵；符号幂等；允许幂等；刻划Abstract: The research on sign pattern matrices is from some questions in the sign-solvability of a linear system and sign stability. Pioneering work in the sign pattern matrices presented by the Nobel Economics Prize winner P.Samuelson, who pointed to the needed to solve certain problems in economics and other areas based only on the signs of the entries of the matrices. Therefore, it caused wide public attention of economists, mathematicians and computer theorists. In 1995, the book about Matrices of Signsolvable Linear systems worked by RABrualdi and B L，Shade, comprehensively and systematically summed up the research results on sign patterns, meanwhile, obtained a number of new conclusions. So that sign pattern matrices become a new research focus.A matrix , whose entries are from the set is called a sign pattern matrix (sign pattern). If exist a real matrix, whose sign of entries are same with, is called allows real idempotent. Further, if, then is called a symmetric sign pattern.Main contents are as follows:1) we introduce the study of sign pattern matrix of the historical background, Power and the research status symbols model matrix were reviewed in this paper.2) The non-negative symbols such as symbols of the matrix power mode of nature, not negative symbols are symbols of the matrix power mode, etc, and discussed the score of nonnegative symbols such as symbols of the matrix power mode of sex and allow such as the relationship between the power of.3) Study the symbol similar power, as a model of the matrix of the nature of the matrix, symbols model discuss the symbols, as a model for power, and whether there are symbols matrix model, makes for nonnegative matrices of the problem, and the structure of the method are given. 4) Studies about the idempotency symbols of power and matrix model symbols of power and allow such as the relationship between the sex are about power, in a sign of the symbols such as power mode matrix and allow power, and so the relationship between score.Keyword: Sign pattern; sign idempotence ; allowed idempotence ;Idempotent; Characterize符号说明表示与符号模式矩阵的元素符号相同的实矩阵类表示的符号模式矩阵类表示允许幂等的符号模式矩阵类表示符号幂等的符号模式矩阵类表示矩阵中第行或第列表示对角矩阵，主对角线上元素为目录1引言11.1 符号模式矩阵的基本概念11.2 符号幂等的符号模式矩阵的基本概念11.3 引理21.4 符号模式矩阵的幂等性研究现状32 非负符号模式矩阵的幂等性33 相似于非负符号模式矩阵的符号模式矩阵74 符号模式矩阵符号幂等与允许幂等的关系85 参考文献109大理学院本科毕业论文1引言1.1 符号模式矩阵的基本概念定义1.2.12 符号模式矩阵（Sign pattern matrix）是指矩阵中的元素取值于集合的矩阵。给定实矩阵， 表示与矩阵的符号相同的符号模式矩阵。所有的符号模式矩阵构成的集合我们用表示。对于一个符号模式矩阵，有一个实矩阵的类，其中的矩阵的元素与有相同的符号，这样就有符号模式矩阵的一个定性矩阵类，记为若A是一个实矩阵，则A同样可以决定一个定性矩阵类，记为定义1.2.22 单位符号模式矩阵指是将单位数字矩阵中的1用+代替所得到的符号模式矩阵，用表示的单位符号模式矩阵。定义1.2.32 置换模式矩阵(permutation matrix）P是指一个n阶符号模式矩阵矩阵P，若它的每一行和每一列上只有一个元素等于+，而其余元素都等于0，则称P为置换模式矩阵。定义1.2.41 置换相似（permutational similarity）, 是两个方符号模式矩阵，我们说矩阵, 是置换相似的是指，存在置换模式矩阵使得。定义1.2.51 符号模式的强迫性（require） 如果是实矩阵对应的某一个性质，我们说一个符号模式矩阵强迫性质是指对于任意的实矩阵都有这个性质。定义1.2.66 符号模式的允许性（allow） 如果是实矩阵对应的某一个性质，则称一个符号模式矩阵允许性质是指存在实矩阵有这个性质。1.2 符号幂等的符号模式矩阵的基本概念定义1.3.13 符号幂等（sign idempotence），是一个的符号模式矩阵，若对任意，则称是符号幂等的，通过定义了符号模式矩阵的运算，即，就称是符号幂等的符号模式矩阵，所有符号幂等的符号模式矩阵的集合我们用表示。定义1.3.23 允许幂等（allowed idempotence）,是一个的符号模式矩阵，我们说是允许幂等的是指存在，所有允许幂等的符号模式矩阵的集合我们用表示。例：，。通过计算可得，所以是符号幂等的，即。对于符号模式矩阵，能找到一个与符号相同的实矩阵，如：，使得，所以符号模式矩阵是允许幂等的，即。定义1.3.32 强符号模式（constrantly signed）, 是一个符号模式矩阵,如果可以表示成，其中，是每一个元素都为+的符号模式矩阵，那么就为强符号模式矩阵。类似地，我们可以定义行、列强符号模式矩阵。1.3 引理引理1.4.14 是可约的的符号模式矩阵，则可置换相似为Frobenius标准型，即，其中是不可约方阵（包括一阶零矩阵），。引理1.4.23 ，在以下变换下是封闭的：1.符号差相似；2.置换相似；3.转置。引理1.4.35 假设具有Frobenius标准型的符号模式矩阵A为可约幂等矩阵，如果和为正的块阵，则为强符号模式阵。即其中。引理1.4.45 设具有Frobenius标准型的符号模式矩阵A为可约幂等矩阵，1.如果为正的块阵及，则为强符号模式列；2.如果为正的块阵及，则为强符号模式行。1.4 符号模式矩阵的幂等性研究现状对于符号幂等模式矩阵的问题，C.Eschenbach与C.R.Johnson给出了一种构造方法，把可约的符号模式矩阵置换为Frobenius型之后根据对角块关系来构造出幂等的符号模式矩阵5，然后黄荣给出了反例6并证明其构造方法只能用于特殊的符号模式矩阵，然后引用了他们的两个引理来给出相似于非负符号幂等矩阵的性质。黄荣给出了符号幂等的一些充分条件和必要条件，但是没有给出幂等的充要条件6,7 ，Z.Li与F.J.Hall以及J.L.Stuare分别对可约的符号模式矩阵以及不可约的符号模式矩阵符号幂等的必要条件与允许幂等的必要条件进行了研究，但没给出符号幂等与允许幂等之间的关系8,9。通过非负符号模式矩阵入手来研究符号模式矩阵的幂等性是一个突破点，因为对于非负符号模式矩阵，允许幂等的充分必要条件是符号幂等4,10，这样可以只对非负符号模式矩阵的允许幂等性或符号幂等性性质进行研究，能得出另一方面的性质。另一方面，由于一个幂等符号模式矩阵在置换相似运算中是封闭的3，可以通过刻划置换相似于非负符号幂等模式矩阵的符号模式矩阵的性质来刻划一般符号模式矩阵的符号幂等性质。最后能得出一般符号模式矩阵的符号幂等性与允许幂等性之间的关系。2 非负符号模式矩阵的幂等性下面先来讨论非负符号模式矩阵的幂等性，对于非负符号模式矩阵的幂等性，赵修坤与高玉斌给出了允许幂等的刻划10，非负符号模式矩阵是指元素取自的符号模式矩阵，非负符号模式矩阵在矩阵的运算过程中不会出现除非负元素外的其他元素，容易得以下结论：定理2.110 设A是一个n阶非负符号模式矩阵，则A是符号幂等的充分必要条件是A允许幂等。根据定理2.1，可以知道在非负符号模式矩阵中，只要一个符号模式矩阵是符号幂等的，那么它就是允许幂等的，所以下面只对非负符号模式矩阵的符号幂等性进行研究。对于非负符号模式矩阵的幂等性研究，先从不可约的非负符号模式矩阵开始研究。对于非负符号模式矩阵，如果符号模式矩阵的元素，符号模式矩阵必然是符号幂等的，同样的，也是允许幂等的。所以，可以得到：定理2.210 设符号模式矩阵是一个不可约的阶非负符号模式矩阵，则符号幂等的充分必要条件是或。对于一个阶符号模式矩阵，如果是可约的，则存在阶置换符号模式矩阵，使得，其中是非零方阵，则是可约符号模式矩阵1。又根据引理1.4.1，可约符号模式矩阵可置换相似为Frobeniu标准型为4,由于Frobeniu标准型是上三角符号模式矩阵，根据引理1.4.2，只要研究所有的的矩阵块的幂等关系能反映出原矩阵的幂等性。如果可约符号模式矩阵是符号幂等的，那么的Frobeniu标准型中的也是符号幂等的，即，对于非负符号模式矩阵而言，由定理2.2，可知。可得如下结论：定理2.3 设是一个阶可约非负符号幂等模式矩阵，它的 Frobenius标准型为，若，则对任意，或。证明：假设存在，令中既有零元又有非零元，设的第一行第一列元素为零，由得，为非负符号模式矩阵，可知随意拿出上式的任意两项的和，都有和矩阵的第一行第一列的元素为零，不妨取，由题设，,0，可得的第一行第一列全为零。同理可知，与假设矛盾，命题得证。接下来，可以构造一个阶可约非负符号幂等模式矩阵，根据定理2.3，令，为一阶矩阵，可以得，当，对任意，或。反过来，若，可得，可以推导出符号幂等的充分必要条件如下：定理2.4 设是一个阶可约非负符号模式矩阵，则符号幂等的充分必要条件为：对任意有或，且满足：1） 若存在，使得对任意，有，则对任意有；2） 若存在，使得，则对任意，有。证明：充分性是显然的，下面证明必要性。对任意，有，故由已知得：对任意，有，又因为，对任意，有，类似可证，对任意，有。1） 因为，由，有，即，因为为非负符号模式矩阵，所以有，所以，对任意有。根据引理1.4.1，若阶可约符号模式矩阵，那么能置换相似为Frobenius标准型，根据定理2.4的结论，可以容易推导出以下结论：定理2.5 设是阶可约非负符号模式矩阵， 它的Frobenius标准型为，则符号幂等的充分必要条件为：对任意，有或，且满足1）若存在，使得对任意，有，则对任意有。2） 若存在，使得，则对任意，有。证明略。至此，刻划了非负符号模式矩阵的符号幂等性。3 相似于非负符号模式矩阵的符号模式矩阵对于幂等符号模式矩阵的问题，C.Eschenbach与C.R.Johnson给出了一种构造方法，把可约的符号模式矩阵置换为Frobenius型之后根据对角块关系来构造出幂等的符号模式矩阵5，然后黄荣给出了反例6并证明其构造方法只能用于特殊的符号模式矩阵，然后给出了相似于非负符号幂等模式矩阵的符号模式矩阵性质的刻划6，下面对相似于非负符号幂等模式矩阵的符号模式矩阵的性质进行描述。先给出C.Eschenbach和C.R.Johnson对不可约的幂等符号模式矩阵性质研究的引理。引理3.15 如果为不可约的幂等符号模式矩阵，则中所有元素为非零的。同样先对不可约的幂等符号模式矩阵进行研究，C.Eschenbach和C.R.Johnson给出了阶不可约幂等符号模式矩阵与非负符号模式矩阵的相似性定理。定理3.15 如果为的不可约幂等符号模式矩阵，则存在符号模式矩阵，使得为非负符号模式矩阵。黄荣对定理3.1的证明方法进行了简化，给出了，其中是不可约幂等符号模式矩阵的第一行的元素6。对于阶可约幂等符号模式矩阵，存在阶置换符号模式矩阵，使得，则是不可约的幂等符号模式矩阵，根据定理3.1，可以得出以下结论：引理3.25 若幂等符号模式矩阵，其中为的不可约矩阵或零阵，则存在符号模式矩阵，使得为非负。对于引理3.2的证明，黄荣给出了根据引理1.4.4，给出了比C.Eschenbach和C.R.Johnson简单的证明方法6。得出当与均非零时，令，其中，；当为非零块阵而为零块阵时，其中与的强符号模式列有关，的第列是强符号列，则，若，若，则，。得到矩阵的构造法后，把引理3.2中的符号模式矩阵扩展成Frobenius标准型，可得到以下结论：定理3.36 令是能转置为Frobenius标准型的幂等符号模式矩阵，且所有的对角块都不含有零元素，则存在符号模式矩阵，使得为非负的，进一步说，的每个非负对角块为正的，每主对角块为正块或零块。至此，得到了关于相似于非负幂等符号模式矩阵的符号模式矩阵性质的刻划。4 符号模式矩阵符号幂等与允许幂等的关系在第二部分得到了非负符号模式矩阵的符号幂等性刻划，在第三部分得到了关于相似于非负幂等符号模式矩阵的符号模式矩阵性质的刻划。接下来，要对符号模式矩阵的符号幂等性与允许幂等性的关系进行刻划。首先，在前文知道了符号幂等模式矩阵能置换相似为非负符号模式矩阵，反过来思考，当一个符号模式矩阵能置换相似于一个非负符号幂等矩阵，那么的符号幂等性是存在的，我们得到以下结论：定理4.1 设是可约符号模式矩阵，若存在阶符号模式矩阵，使得为非负符号幂等模式矩阵，则也是符号幂等的。证：由于是符号幂等的，得，即，我们得到，命题得证。在一般矩阵的知识中，知道如果阶置换矩阵的转置为，那么，是阶的单位矩阵。由于符号模式矩阵的性质跟一般矩阵的性质很相似，所以，设为阶置换符号模式矩阵，的转置为，那么，是阶单位符号模式矩阵。讨论符号幂等与允许幂等之间的关系，有以下结论：定理4.2 设是可约符号模式矩阵，若存在阶置换符号模式矩阵，使得为非负符号幂等模式矩阵，与中均无未定元，则是允许幂等的。证：因为为非负符号模式矩阵，且是符号幂等的，由定理2.1知是允许幂等的，所以，存在实矩阵，令。由引理2.3，存在实矩阵，使得，有，所以，允许幂等。通过对定理4.2进行推广，容易得出以下的结论：定理4.3 设为阶可约符号幂等模式矩阵，它的Frobenius标准型为，其对角块不存在零元，若存在阶置换矩阵，使得为非负符号幂等模式矩阵，则是允许幂等的。5 参考文献1 R.A.Brualdi and B.I.shader. Matrices of Sign-solvable Linear SystemsM. Cambridge University Press. Cambridge 1995.2 F.J.Hall, Z.Li. Sign Pattern MatricesM, Handbook of Linear