二次函数复习讲义(完美)

二次函数最全面的复习讲义学习目标 1通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；4会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.知识网络要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.2、 用待定系数法求二次函数解析式1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：(1)一般式：(a，b，c为常数，a0)；(2)顶点式：(a，h，k为常数，a0)；(3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a0)3、 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，或，其中a0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中类型一：二次函数的概念1、 下列函数中，是关于x的二次函数的是_(填序号)(1)y-3x2；(2)；(3)y3x2-4-x3； (4)；(5)yax2+3x+6；(6)【变式1】下列函数中，是二次函数的是（ )A. B. C. D.【变式2】如果函数是二次函数，求m的值类型二、求二次函数的解析式1已知二次函数的图象经过原点及点，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为_【答案】或【变式】已知：抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=1，交x轴于点A、B(A在B的左侧)，且AB=4，交y轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M的坐标.【答案】对称轴x=1，且AB=4抛物线与x轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)y=x2-2x-3为所求,x=1时y=-4，M(1，-4).课堂练习1 已知二次函数的图象过（1，9）、（1，3）和（3，5）三点，求此二次函数的解析式【答案与解析】本题已知三点求解析式，可用一般式.设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a0)，由题意得：解得所求的二次函数的解析式为y=-x2+3x-5.2 在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点.（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标.【答案】（1）（2）令，得，解方程，得，二次函数图象与轴的两个交点坐标分别为和二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为3已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式 【答案与解析】解法一：设二次函数解析式为(a0)，由图象知函数图象经过点(3，0)，(0，3)则有 解得 抛物线解析式为解法二：设抛物线解析式为(a0)由图象知，抛物线与x轴两交点为(-1，0)，(3，0)则有，即又， 抛抛物物解析式为课后巩固练习一、选择题1. 二次函数的图象经过点A(0，0)，B(-1，-11)，C(1，9)三点，则它的解析式为( )A B C D2二次函数有( )A最小值-5 B最大值-5C最小值-6D最大值-63把抛物线y=3x2先向上平移2个单位再向右平移3个单位，所得的抛物线是（ ）A.y=3(x3)2+2 B.y=3(x+3)2+2 C.y=3(x3)22 D.y=3(x+3)224如图所示，已知抛物线y的对称轴为x2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为(0，3)，则点B的坐标为 ( ) A.(2，3)B.(3，2)C.(3，3)D.(4，3)5将函数的图象向右平移a(a0)个单位，得到函数的图象，则a的值为( )A1 B2 C3 D46若二次函数的x与y的部分对应值如下表：x-7-6-5-4-3-2Y-27-13-3353则当x1时，y的值为 ( )A5 B-3 C-13 D-27二、填空题7抛物线的图象如图所示，则此抛物线的解析式为_第7题 第10题8已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是(1，-2)，则这个二次函数的关系式为_9已知抛物线该抛物线的对称轴是_，顶点坐标_；10如图所示已知二次函数的图象经过点（-1，0），（1，-2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是_11已知二次函数(a0)中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：-101-2-20 则该二次函数的解析式为_12已知抛物线的顶点坐标为(3，-2)，且与x轴两交点间的距离为4，则抛物线的解析式为_三、解答题13根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式(1)已知抛物线的顶点是(1，2)，且过点(2，3)；(2)已知二次函数的图象经过(1，-1)，(0，1)，(-1，13)三点；(3)已知抛物线与x轴交于点(1，0)，(3，0)，且图象过点(0，-3)14如图，已知直线y-2x+2分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，BAC90，求过A、B、C三点的抛物线的解析式 15在矩形AOBC中，OB6，OA4，分别以OB，OA所在的直线为轴和轴建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合)，过F点的反比例函数(k0)的图象与AC边交于点E(1)求证：AEAOBFBO；(2)若点E的坐标为(2，4)，求经过点O，E，F三点的抛物线的解析式一、选择题1.【答案】D；【解析】设抛物线的解析式为(a0)，将A、B、C三点代入解得，c02.【答案】C；【解析】首先将一般式通过配方化成顶点式，即， a10， x-1时，3.【答案】A；4.【答案】D；【解析】 点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行， 点A与点B关于对称轴x2对称， 又 A(0，3)， AB4，yByA3， 点B的坐标为(4，3)5.【答案】B；【解析】抛物线的平移可看成顶点坐标的平移，的顶点坐标是，的顶点坐标是， 移动的距离6.【答案】D；【解析】此题如果先用待定系数法求出二次函数解析式，再将x1代入求函数值，显然太繁，而由二次函数的对称性可迅速地解决此问题 观察表格中的函数值，可发现，当x-4和x-2时，函数值均为3，由此可知对称轴为x-3，再由对称性可知x1的函数值必和x-7的函数值相等，而x-7时y-27 x1时，y-27二、填空题7.【答案】；【解析】由图象知抛物线与x轴两交点为(3，0)，(-1，0)，则8.【答案】；【解析】设顶点式，再把点（0,0）代入所设的顶点式里即可9.【答案】(1)x1；(1，3)；【解析】代入对称轴公式和顶点公式即可.10.【答案】； 【解析】将(-1，0)，(1，-2)代入中得b-1， 对称轴为，在对称轴的右侧，即时，y随x的增大而增大.11.【答案】； 【解析】此题以表格的形式给出x、y的一些对应值要认真分析表格中的每一对x、y值， 从中选出较简单的三对x、y的值即为(-1，-2)，(0，-2)，(1，0)， 再设一般式，用待定系数法求解 设二次函数解析式为(a0)由表知 解得 二次函数解析式为12.【答案】【解析】由题意知抛物线过点(1，0)和(5，0)三、解答题13.【答案与解析】 (1) 顶点是(1，2)， 设(a0) 又 过点(2，3)， a1 ，即 (2)设二次函数解析式为(a0) 由函数图象过三点(1，-1)，(0，1)，(-1，13)得 解得 故所求的函数解析式为 (3)由抛物线与x轴交于点(1，0)，(3，0)， 设ya(x-1)(x-3)(a0)，又 过点(0，-3)， a(0-1)(0-3)-3， a-1， y-(x-1)(x-3)，即14.【答案与解析】 过C点作CDx轴于D 在y-2x+2中，分别令y0，x0，得点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(0，2) 由ABAC，BAC90，得BAOACD， ADOB2，CDAO1， C点的坐标为(3，1) 设所求抛物线的解析式为， 则有，解得， 所求抛物线的解析式为15.【答案与解析】 (1)证明：由题意知，点E、F均在反比例函数图象上，且在第一象限，所以AEAOk，BFBOk，从而AEAOBFBO (2)将点E的坐标为(2，4)代入反比例函数得k8，所以反比例函数的解析式为 OB6， 当x6时，点F的坐标为 设过点O、E、F三点的二次函数表达式为(a0)， 将点0(0，0)，E(2，4)，三点的坐标代入表达式得： 解得 经过O、E、F三点的抛物线的解析式为：要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：；，其中；.（以上式子a0）几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴)(0，0)(轴)(0，)(，0)(，)()2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线中，的作用：(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：时，对称轴为轴；(即、同号)时，对称轴在轴左侧；(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时， 抛物线与轴有且只有一个交点(0，)： ，抛物线经过原点； ，与轴交于正半轴；，与轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.类型一、二次函数y=ax2（a0）的图象与性质1二次函数yx2的图象对称轴左侧上有两点A(a，15)，B(b，)，则a-b_0(填“”、“”或“”号)【解析】将A(a，15)，分别代入yx2中得：；，又A、B在抛物线对称轴左侧， a0，b0，即，【变式1】二次函数与的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则_【答案】2.【变式2】不计算比较大小：函数的图象右侧上有两点A（a，15），B（b，0.5），则a_b答案】.2 已知y=(m+1)x是二次函数且其图象开口向上,求m的值和函数解析式.【答案与解析】由题意，解得m=1，二次函数的解析式为：y=.3求下列抛物线的解析式：（1）与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线；（2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y轴对称的抛物线【答案与解析】（1）由于待求抛物线形状相同，开口方向相反，可知二次项系数为， 又顶点坐标是（0，-5），故常数项，所以所求抛物线为（2）因为抛物线的顶点为（0，1），所以其解析式可设为， 又该抛物线过点（3，-2），解得所求抛物线为4在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象回答下列问题(1)抛物线向_平移_个单位得到抛物线；(2)抛物线开口方向是_，对称轴为_，顶点坐标为_；(3)抛物线，当x_时，随x的增大而减小；当x_时，函数y有最_值，其最_值是_【答案与解析】函数与的图象如图所示：(1)下； l ； (2)向下； y轴； (0，1)； (3)0； 0； 大； 大 ； 1.课堂练习一、选择题1. 关于函数y=的图象,则下列判断中正确的是()A. 若a、b互为相反数,则x=a与x=b的函数值相等；B. 对于同一个自变量x,有两个函数值与它对应；C. 对任一个实数y,有两个x和它对应；D. 对任意实数x,都有y0.2. 下列函数中，开口向上的是（ ）A. B. C.D.3. 把抛物线向上平移1个单位，所得到抛物线的函数表达式为( )AB CD4. 下列函数中，当x0时，y值随x值的增大而增大的是（ ）A. B. C.D.5. 在同一坐标系中，作出，的图象，它们的共同点是（）A关于y轴对称，抛物线的开口向上 B关于y轴对称，抛物线的开口向下C关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点 D关于原点对称，抛物线的顶点都是原点6. 晴天时，汽车的刹车距离s (m)与开始刹车时的速度v(m/s)之间满足二次函数，若汽车某次的刹车距离为2.25m，则开始刹车时的速度为( )A. 10m/sB. 15m/s C. 20m/sD. 25m/s二、填空题7. 已知抛物线的解析式为y-3x2，它的开口向_，对称轴为_，顶点坐标是_，当x0时，y随x的增大而_8. 若函数yax2过点(2，9)，则a_9. 已知抛物线yx2上有一点A，A点的横坐标是-1，过点A作ABx轴，交抛物线于另一点B，则AOB的面积为_10. 写出一个过点（1，2）的函数解析式_11. 函数，、的图象大致如图所示，则图中从里向外的三条抛物线对应的函数关系式是_12. 若对于任意实数x，二次函数的值总是非负数，则a的取值范围是_三、解答题13已知是二次函数，且当x0时，y随x的增大而增大（1）求m的值；（2）画出函数的图象14. 已知抛物线经过A（-2，-8）.（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断B（-1，-4）是否在此抛物线上？（3）求此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.15函数y=ax2(a0)的图象与直线y=2x-3交于点(1，b)（1）求a和b的值；（2）求抛物线y=ax2的解析式，并求顶点坐标和对称轴；（3）x取何值时，y随x的增大而增大?（4）求抛物线与直线y=-2的两个交点及其顶点所构成的三角形的面积一、选择题1【答案】A.2【答案】D； 【解析】开口方向由二次项系数a决定，a0，抛物线开口向上；a0，抛物线开口向下.3【答案】A； 【解析】 由抛物线的图象知其顶点坐标为(0，0)，将它向上平移1个单位后，抛物线的顶点坐标为(0，1)， 因此所得抛物线的解析式为4【答案】B； 【解析】 根据抛物线的图象的性质，当a0时，在对称轴（x=0）的左侧，y值随x值的增大而增大， 所以答案为B.5. 【答案】C； 【解析】y2x2，y-2x2，的图象都是关于y轴对称的，其顶点坐标都是(0，0)6. 【答案】B； 【解析】当s2.25时，v15二、填空题7【答案】下 ； y轴； (0，0)； 减小；8【答案】； 【解析】将点(2，9)代入解析式中求a.9【答案】 1 ； 【解析】由抛物线的对称性可知A(-1，1)，B(1，1)，则.10【答案】 【解析】答案不唯一.11【答案】， 【解析】 先比较，|1|，|3|的大小关系，由|a|越大开口越小，可确定从里向外的三条抛物线所对应的函数依次 是y3x2，yx2，12【答案】a-1； 【解析】二次函数的值总是非负数，则抛物线必然开口向上，所以a+10.三、解答题13. 【解析】解：（1）为二次函数，且当x0时，y随x的增大而增大， ， ， m=1.（2）由（1）得这个二次函数解析式为，自变量x的取值范围是全体实数，可以用描点法画出这个函数 的图象如图所示14. 【解析】解：（1）抛物线经过A（-2，-8）， -8=4a，a=-2， 抛物线的解析式为：.（2）当x=-1时，y=-2=-2-4， 点B（-1，-4）不在此抛物线上.（3）当y=-6时，即，得， 此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标是（，-6）和（，-6）.15. 【解析】解：（1）将x=1，y=b代入y=2x-3，得b=-1，所以交点坐标是(1，-1) 将x=1，y=-1代入y=ax2，得a=-1，所以a=-1，b=-1（2）抛物线的解析式为y=-x2，顶点坐标为(0，0)，对称轴为直线x=0(即y轴)（3）当x0时，y随x的增大而增大（4）设直线y=- 2与抛物线y=-x2相交于A、B两点，抛物线顶点为O(0，0) 由,，得 A(，-2)，B(，-2) AB=|-(-)|=2，高=|-2|=2 类型二、二次函数y=a（x-h)2+k(a0)的图象与性质1将抛物线作下列移动，求得到的新抛物线的解析式(1)向左平移2个单位，再向下平移3个单位；(2)顶点不动，将原抛物线开口方向反向；(3)以x轴为对称轴，将原抛物线开口方向反向【答案与解析】抛物线的顶点为(1，3)(1)将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，顶点为(-1，0)，而开口方向和形状不变， 所以a2，得到抛物线解析式为(2)顶点不动为(1，3)，开口方向反向，则， 所得抛物线解析式为(3)因为新顶点与原顶点(1，3)关于x轴对称，故新顶点应为(1，-3)又 抛物线开口反向， 故所得抛物线解析式为2把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，求b，c的值.【答案与解析】根据题意得，y=(x-4)2-2=x2-8x+14, 所以【变式】二次函数的图象可以看作是二次函数的图象向平移4个单位，再向平移3个单位得到的【答案】上；右.3已知与的图象交于A、B两点，其中A(0，-1)，B(1，0)(1)确定此二次函数和直线的解析式；(2)当时，写出自变量x的取值范围【答案与解析】(1)，的图象交于A、B两点， 且 解得且 二次函数的解析式为，直线方程为(2)画出它们的图象如图所示，由图象知当x0或x1时，4如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B（1）求抛物线的解析式；（2）求AOB的面积；（3）若点P（m，-m）（m0）为抛物线上一点，求与P关于抛物线对称轴对称的点Q的坐标 （注：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-）.【答案与解析】解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x-2）2+1，将点O（0，0）的坐标代入得：4a+1=0， 解得a=-所以二次函数的解析式为y=-（x-2）2+1；（2）抛物线y=-（x-2）2+1的对称轴为直线x=2，且经过原点O（0，0）， 与x轴的另一个交点B的坐标为（4，0），SAOB=41=2；（3）点P（m，-m）（m0）为抛物线y=-（x-2）2+1上一点， -m=-（m-2）2+1，解得m1=0（舍去），m2=8，P点坐标为（8，-8）， 抛物线对称轴为直线x=2，P关于抛物线对称轴对称的点Q的坐标为（-4，-8）如下图.课堂巩固一、选择题1抛物线的顶点坐标是（ ）A(2，-3) B(-2，3) C(2，3) D(-2，-3)2函数y=x2+2x+1写成y=a(xh)2+k的形式是（ ）Ay=(x1)2+2 By=(x1)2+ Cy=(x1)23 Dy=(x+2)213抛物线y=x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是( )Ay=(x+3)22 By=(x3)2+2 Cy=(x3)22 Dy=(x+3)2+24把二次函数配方成顶点式为（ ）ABC D5由二次函数，可知（ ）A其图象的开口向下B其图象的对称轴为直线C其最小值为1 D当时，y随x的增大而增大6在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）二、填空题7. 抛物线y=-（x+3）2-5的开口向_，对称轴是_，顶点坐标是_8已知抛物线y=2(x+1)23，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_.9抛物线y=3(2x21)的开口方向是_，对称轴是_.10顶点为（2，5）且过点（1，14）的抛物线的解析式为11将抛物线向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是_12抛物线的顶点为C，已知的图象经过点C，则这个一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为_三、解答题13已知抛物线的顶点（-1，-2），且图象经过（1，10），求抛物线的解析式14. 已知抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到抛物线；（1）求出a，h，k的值；（2）在同一直角坐标系中，画出与的图象；（3）观察的图象，当_时，y随x的增大而增大； 当_时，函数y有最_值，最_值是_；（4）观察的图象，你能说出对于一切的值，函数y的取值范围吗？15已知抛物线的顶点为A，原点为O，该抛物线交y轴正半轴于点B，且，求：(1)此抛物线所对应的函数关系式；(2)x为何值时，y随x增大而减小?一、选择题1.【答案】D；【解析】由顶点式可求顶点，由得，此时，2.【答案】D；【解析】通过配方即可得到结论.3.【答案】A；【解析】抛物线 y=x2向左平移3个单位得到y=(x+3)2，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是y=(x+3)22.4.【答案】B【解析】通过配方即可得到结论. 5.【答案】C；【解析】可画草图进行判断.6.【答案】C；【解析】A中的符号不吻合，B中抛物线开口不正确D中直线与y轴交点不正确.二、填空题7.【答案】下； 直线x=-3 ；（-3，-5）；【解析】由二次函数的图象性质可得结论.8.【答案】x1；【解析】由解析式可得抛物线的开口向下，对称轴是x=-1，对称轴的右边是y随x的增大而减小，故x1.9.【答案】向下，y轴；10.【答案】； 【解析】设过点（1，14）得，所以.11.【答案】； 【解析】先化一般式为顶点式，再根据平移规律求解.12.【答案】 1； 【解析】C(2，-6)，可求与x轴交于，与y轴交于(0，3)，.三、解答题13.【答案与解析】 抛物线的顶点为（-1，-2） 设其解析式为，又图象经过点（1，10）， 解析式为14.【答案与解析】（1）由向上平移2个单位，再向右平移1个单位所得到的抛物线是 ，（2）函数与的图象如图所示（3）观察的图象，当时，随x的增大而增大； 当时，函数有最大值，最大值是（4）由图象知，对于一切的值，总有函数值15.【答案与解析】（1）由题意知A(2，1)，令，则，所以 由得，所以，因此抛物线的解析式为（2）当时，y随x增大而减小类型三：二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与性质类型一、二次函数的图象与性质1求抛物线的对称轴和顶点坐标【变式】把一般式化为顶点式（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D的坐标；（2）分别求出它与y轴的交点C，与x轴的交点A、B的坐标.2如图所示，抛物线的对称轴是x1，与x轴交于A、B两点，点B的坐标为(，0)，则点A的坐标是_类型二、二次函数的最值3求二次函数的最小值.类型三、二次函数性质的综合应用4已知二次函数的图象过点P(2，1)（1）求证：； （2）求bc的最大值【答案与解析】（1）的图象过点P(2，1)， 1=4+2b+c+1， c=-2b-4（2） 当时，bc有最大值最大值为2课堂巩固一、选择题1. 将二次函数化为的形式，结果为（ ）A B C D2已知二次函数的图象，如图所示，则下列结论正确的是（ ）A BC D3若二次函数配方后为，则b、k的值分别为（ ）A0，5 B0，1 C-4，5 D-4，14抛物线的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为，则b、c的值为（ ）Ab=2，c=2 Bb=2，c=0 Cb= -2，c= -1 Db= -3，c=25已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，则a+b+c的值( )A. 等于0 B.等于1 C. 等于-1 D. 不能确定6二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是( )二、填空题7二次函数的最小值是_8已知二次函数，当x-1时，函数y的值为4，那么当x3时，函数y的值为_9二次函数的图象经过A(-1，0)、B(3，0)两点，其顶点坐标是_10二次函数的图象与x轴的交点如图所示根据图中信息可得到m的值是_第10题 第11题11如图二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点(-1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴第问：给出四个结论：a0；b0；c0；a+b+c=0其中正确的结论的序号是_；第问：给出四个结论：abc0；a+c=1；a1，其中正确的结论的序号是_.12已知二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点A、B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，且ABC的面积等于10，则C点的坐标为_.三、解答题13（1）用配方法把二次函数变成的形式；（2）在直角坐标系中画出的图象；（3）若，是函数图象上的两点，且， 请比较、的大小关系14如图所示，抛物线与x轴相交于点A、B，且过点C（5，4）（1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标；（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式15已知抛物线：(1)求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)画函数图象，并根据图象说出x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？函数y有最大值还是最小值？最值为多少？一、选择题1.【答案】D；【解析】根据配方法的方法及步骤，将化成含的完全平方式为，所以2.【答案】D；【解析】由图象的开口方向向下知；图象与y轴交于正半轴，所以；又抛物线与x轴有两个交点，所以；当时，所对应的值大于零，所以3.【答案】D；【解析】因为，所以，4.【答案】B；【解析】，把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得抛物线，5.【答案】A；【解析】因为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，所以过点（1,0）代入解析式得a+b+c=0.6.【答案】A；【解析】分类讨论，当a0，a0时分别进行分析.二、填空题7.【答案】-3；【解析】， 函数有最小值当时，8.【答案】4【解析】由对称轴， x3与x-1关于x1对称， x3时，y4.9.【答案】(1，-4) ；【解析】求出解析式.10.【答案】4； 【解析】由图象发现抛物线经过点（1，0），把，代入，得， 解得11.【答案】，；12.【答案】(-2，5)或(4，5)； 【解析】先通过且ABC的面积等于10，求出C点的纵坐标为5，点C在抛物线y=x2-2x-3上，所以 x2-2x-3=5，解得x=-2或x=5，则C点的坐标为(-2，5)或(4，5).三、解答题13.【答案与解析】（1）（2）略（3）， 当时，y随x增大而减小，又，14.【答案与解析】（1）把点C(5，4)代入抛物线得，解得 该二次函数的解析式为 ， 顶点坐标为（2）（答案不唯一，合理即正确） 如先向左平移3个单位，再向上平移4个单位， 得到二次函数解析式为，即15.【答案与解析】(1)，b-3， 把x-3代入解析式得， 抛物线的开口向下，对称轴是直线x-3，顶点坐标是(-3，2)(2)由于抛物线的顶点坐标为A(-3，2)，对称轴为x-3 抛物线与x轴两交点为B(-5，0)和C(-1，0)，与y轴的交点为， 取D关于对称轴的对称点，用平滑曲线顺次连结， 便得到二次函数的图象，如图所示 从图象可以看出：在对称轴左侧，即当x-3时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧， 即当x-3时，y随x的增大而减小因为抛物线的开口向下，顶点A是抛物线的最高点， 所以函数有最大值，当x-3时，要点三、二次函数与一元二次方程的关系函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根. 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解类型一、函数与方程4已知抛物线与x轴没有交点求c的取值范围； 试确定直线经过的象限，并说明理由【变式1】无论x为何实数，二次函数的图象永远在x轴的下方的条件是( )ABCD【变式2】对于二次函数，我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数(m为实数)的零点的个数是( )A1 B2 C0 D不能确定要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值1某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数：m162-3x(1)写出商场卖出这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系；(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为多少?【答案与解析】(1) 每件商品利润为(x-30)元 销售m件商品利润为m(x-30)元， 又 m162-3x， 每天利润y(162-3x)(x-30)即y-3x2+252x-4860(2) y-3x2+252x-4860-3(x-42)2+432， 又 a-30， 当x42时，432(元) 答：(1)函数关系式为y-3x2+252x-4860； (2)每件商品售价42元时，可获得最大利润，每天最大利润是432元【变式】某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不超过45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数，且时，；时，（1）若该商场获利为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式，售价定为多少元时，商场可以获利最大，最大利润为多少元？（2）若该商场获利不低于500元，试确定销售单价x的范围（1）据题意列，解得， W= 又60x60（1+45%），即60x87，则x=87时获利最多 将x=87代入，得W=（87-90）2+900=891元 .（2），即或（舍） 则，但 答：略.类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题2如图所示，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系 (1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形支撑架ADCB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少?【答案与解析】(1)M(12，0)，P(6，6)(2)设抛物线解析式为： 抛物线经过点(0，0)， ，即 抛物线解析式为：，即(3)设A(m，0)，则B(12-m，0)，C，D 支撑架总长 此二次函数的图象开口向下 当m3时，。AD+DC+CB有最大值为15米类型三、利用二次函数求跳水、投篮等实际问题3某跳水运动员进行10 m跳台跳水训练时，身体(看作一点)在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件)在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中最高处距水面m，入水处距池边的距离为4 m，同时，运动员在距离水面高度为5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误(1)求这条抛物线的关系式；(2)在某次试跳中测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为m，问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由【答案与解析】(1)在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的关系式为 由题意知，O、B两点的坐标依次为(0，0)，(2，-10)，且顶点的纵坐标为 解得 或 抛物线对称轴在y轴右侧， 又 抛物线开口向下， a0，b0，c0 抛物线关系式为(2)当