高考数学二轮复习专题八第1讲函数与方程思想数形结合思想案文.docx

第1讲函数与方程思想、数形结合思想数学思想解读1.函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点，描述两个量之间的依赖关系，刻画数量之间的本质特征，在提出数学问题时，抛开一些非数学特征，抽象出数量特征，建立明确的函数关系，并运用函数的知识和方法解决问题.有时需要根据已知量和未知量之间的制约关系，列出方程(组)，进而通过解方程(组)求得未知量.函数与方程思想是相互联系，相互为用的.2.数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.热点一函数与方程思想应用1求解不等式、函数零点的问题【例1】(1)(2017衡阳联考)设0a1，e为自然对数的底数，则a，ae，ea1的大小关系为()A.ea1aae B.aeaea1C.aeea1a D.aea11)恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是_.解析(1)设f(x)exx1，x0，则f(x)ex1，f(x)在(0，)上是增函数，且f(0)0，f(x)0，ex1x，即ea1a.又yax(0aae，从而ea1aae.(2)由f(x4)f(x)，即函数f(x)的周期为4，因为当x2，0时，f(x)6.所以若x0，2，有x2，0，则f(x)63x6，因为f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)3x6，x0，2，由f(x)loga(x2)0得f(x)loga(x2)，作出函数f(x) 的图象如图.当a1时，要使方程f(x)loga(x2)0恰有3个不同的实数根，则等价于函数f(x)与g(x)loga(x2)有3个不同的交点，则满足即解得a0恒成立，f(x)在1，)上是增函数，当x1时，f(x)minf(1)3，(bn)max.要使对任意的正整数n，不等式bnk恒成立，则须使k(bn)max，实数k的最小值为.应用3函数与方程思想在几何问题中的应用【例3】设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线ykx(k0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点.(1)若6，求k的值；(2)求四边形AEBF面积的最大值.解(1)依题意得椭圆的方程为y21，直线AB，EF的方程分别为x2y2，ykx(k0)(如图)，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1x2，且x1，x2满足方程(14k2)x24.故x2x1.由6知x0x16(x2x0)，得x0(6x2x1)x2；由D在AB上知x02kx02，得x0.所以，化简得24k225k60，解得k或k.(2)根据点到直线的距离公式和式知，点E，F到AB的距离分别为h1，h2.又|AB|，所以四边形AEBF的面积为S|AB|(h1h2)222，当且仅当4k21(k0)，即当k时，上式取等号.所以S的最大值为2.即四边形AEBF面积的最大值为2.探究提高几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值问题的求法来求解，这是求面积、线段长最值(范围)的基本方法.【训练3】(1)(2017平顶山一模)过双曲线1(a0，b0)的右焦点F作直线yx的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若2，则该双曲线的离心率为()A. B.2 C. D.(2)已知正四棱锥的体积为，则正四棱锥的侧棱长的最小值为_.解析(1)设F(c，0)，则直线AB的方程为y(xc)代入双曲线渐近线方程yx得A.由2，可得B，把B点坐标代入1，得1.c25a2，所以离心率e.(2)如图所示，设正四棱锥的底面边长为a，高为h.则该正四棱锥的体积Va2h，故a2h32，即a2.则其侧棱长为l.令f(h)h2，则f(h)2h，令f(h)0，解得h2.显然当h(0，2)时，f(h)0，f(h)单调递增.所以当h2时，f(h)取得最小值f(2)2212，故其侧棱长的最小值l2.答案(1)C(2)2热点二数形结合思想应用1讨论函数的零点或方程的根【例4】(1)若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_.(2)(2016山东卷)已知函数f(x)其中m0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_.解析(1)由f(x)|2x2|b有两个零点，可得|2x2|b有两个不等的实根，从而可得函数y|2x2|的图象与函数yb的图象有两个交点，如图所示.结合函数的图象，可得0b2.(2)作出f(x)的图象如图所示.当xm时，x22mx4m(xm)24mm2.要使方程f(x)b有三个不同的根，则有4mm20.又m0，解得m3.答案(1)(0，2)(2)(3，)探究提高1.本题利用数形结合思想，将函数零点或方程的根的情况转化为两函数图象交点问题.2.探究方程解的问题应注意两点：(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解.(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合.【训练4】(2017乐山二模)若函数f(x)满足f(x1)，当x1，0时，f(x)x，若在区间1，1)上，g(x)f(x)mxm有两个零点，则实数m的取值范围为_.解析x1，0时，f(x)x.当x(0，1)时，1x10，f(x1)x1，从而x1.因此，x(0，1)时，f(x)1，作出函数f(x)在1，1)上的图象，如图所示.因为g(x)f(x)mxm有两个零点.yf(x)的图象与直线ym(x1)在区间1，1)上有两个交点，又kAB，由几何直观知00).若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为()A.7 B.6 C.5 D.4解析(1)在同一坐标系中作出三个函数yx21，yx3，y13x的图象如图：由图可知，在实数集R上，minx21，x3，13x为yx3上A点下方的射线，抛物线AB之间的部分，线段BC，与直线y13x点C下方的部分的组合图.显然，在区间0，)上，在C点时，yminx21，x3，13x取得最大值.解方程组得点C(5，8).所以f(x)max8.(2)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3，4)，半径r1，且|AB|2m.因为APB90，连接OP，易知|OP|AB|m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离.因为|OC|5，所以|OP|max|OC|r6，即m的最大值为6.答案(1)C(2)B探究提高1.第(1)题利用函数的图象求最值，避免分段函数的讨论；第(2)题利用几何直观，把m的值转化为圆上的点到原点的距离.2.运用数形结合思想求解最值问题(1)对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解.(2)应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：比值可考虑直线的斜率；二元一次式可考虑直线的截距；根式分式可考虑点到直线的距离；根式可考虑两点间的距离.【训练5】(2017九江十校联考)设A，B在圆x2y21上运动，且|AB|，点P在直线l：3x4y120上运动，则|的最小值为()A.3 B.4C. D.解析设AB的中点为D，则2，当且仅当O，D，P三点共线时，|取得最小值，此时OPAB，且OPl.圆心到直线的距离为，|OD|，|的最小值为2.答案D应用3数形结合求解不等式、参数问题【例6】(1)(2015全国卷)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是()A.(，1)(0，1) B.(1，0)(1，)C.(，1)(1，0) D.(0，1)(1，)(2)(2017西安调研)已知变量x，y满足约束条件若z2xy的最大值为2，则实数m()A.1 B.2 C.1 D.2解析(1)设g(x)(x0)，则g(x).当x0时，xf(x)f(x)0，g(x)0时，由f(x)0，得g(x)0，由图知0x1，当x0，得g(x)0，由图知x0成立的x的取值范围是(，1)(0，1).(2)将目标函数变形为y2xz，当z取最大值时，直线y2xz在y轴上的截距最小，故当m时，不满足题意.当m时，作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示(含边界).y2xz过点B时，直线在y轴上的截距最小，此时z2xy取得最大值.易求点B，最大值为z22，解得m1.答案(1)A(2)C探究提高1.第(1)题利用了数形结合思想，由条件判断函数的单调性，再结合f(1)0可作出函数的图象，利用图象即可求出x的取值范围.2.求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答.【训练6】(1)当x(1，2)时，(x1)21.在同一坐标系内作出y(x1)2，x(1，2)及ylogax的图象.若ylogax过点(2，1)，得loga21，所以a2.根据题意，函数ylogax，x(1，2)的图象恒在y(x1)2，x(1，2)的上方.结合图象，a的取值范围是(1，2.(2)作线性约束条件表示的可行域如图所示.令t表示可行域内的点P(x，y)与定点M(1，1)连线的斜率.易求点B(1，0)，kMB，且xy0的斜率为1.1t，从而2，故1z1.答案(1)(1，2(2)(1，11.当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想.2.借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解.3.许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变