高一数学必修一课件131单调性与最大(小)值-

课题导入 函数是描述事物运动变化规律的数学模型 了解函数的变化规律势在必得 观察下面函数的图象 能说出它们的变化规律吗 某市一天的温度变化图 y f x x 0 24 说出气温在哪些时间段内是逐渐升高或下降的 1 3 1单调性与最大 小 值 教学目标 知识与技能 过程与方法 理解函数的最大 小 值及其几何意义 学会运用函数图象理解和研究函数的性质 通过实例 使学生体会到函数的最大 小 值 实际上是函数图象的最高 低 点的纵坐标 因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值 有利于培养以形识数的解题意识 利用函数的单调性和图象求函数的最大 小 值 解决日常生活中的实际问题 激发学生学习的积极性 情感态度与价值观 教学重难点 重点 函数的最大 小 值及其几何意义 难点 利用函数的单调性求函数的最大 小 值 问题1 画出f x x的图像 并观察其图像 2 在区间 上 随着x的增大 f x 的值随着 1 从左至右图象上升还是下降 上升 增大 1 在区间 上 f x 的值随着x的增大而 问题2 画出的图像 并观察图像 2 在区间 上 f x 的值随着x的增大而 0 0 减小 增大 对于二次函数 我们可以这样描述 在区间上 随x的增大 相应的f x 也随着增大 x应该取区间I内所有实数 若x取无数个呢 能否仿照前面的描述 说明函数在区间 0 上是减函数吗 函数单调性的概念 一般地 设函数y f x 的定义域为I 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说f x 在区间D上是增函数 如图1 1 增函数 知识要点 一般地 设函数y f x 的定义域为I 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1 x2 当x1f x2 那么就说f x 在区间D上是减函数 如图2 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质 是函数的局部性质 2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1 x2 当x1f x2 分别是增函数和减函数 注意 在某区间上 如果函数y f x 在某个区间上是增函数或是减函数 那么就说函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 区间D叫做y f x 的单调区间 函数的单调性定义 例1下图是定义在区间 4 5 上的函数y f x 根据图像说出函数的单调区间 以及在每一单调区间上 它是增函数还是减函数 解 函数y f x 的单调区间有 4 2 2 1 1 1 1 3 3 5 其中y f x 在区间 4 2 1 1 3 5 上是增函数 在区间 2 1 1 3 上是减函数 例2物理学中的玻意耳定律告诉我们 对于一定量的气体 当其体积V减小时 压强p将增大 试用函数单调性证明之 分析 按题意就是证明函数在区间上是减函数 证明 根据单调性的定义 设V1 V2是定义域 0 上的任意两个实数 且V1 V2 则 由V1 V2 0 且V10 V2 V1 0 又k 0 于是 所以 函数是减函数 也就是说 当体积V减少时 压强p将增大 取值 定号 作差变形 结论 用定义证明函数单调性的步骤是 1 取值 2 作差变形 3 定号 4 判断 根据单调性的定义得结论 即取是该区间内的任意两个值且 即求 通过因式分解 配方 有理化等方法 即根据给定的区间和的符号的确定的符号 例 求证 函数在区间上是单调增函数 若把区间改为 结论变化吗 思考 自己动手做一下吧 2 在区间 0 上 同理可得到函数f x 1 x在 0 上是减函数 课堂小结 2 函数单调性的定义 3 证明函数单调性的步骤 1 单调函数的图象特征 教材习题答案 1 在一定范围内 生产效率随着工人数的增加而提高 当工人数达到某个数量时 生产效率达到最大值