2013年全国高考理科数学试题分类汇编.doc

2013年全国高考理科数学试题分类汇编排列、组合及二项式定理一、选择题 （2013年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）（纯WORD版含答案）已知的展开式中的系数为,则（）ABCD【答案】D （2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）用0,1,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为（）A243B252C261D279【答案】B （2013年高考新课标1（理）设为正整数,展开式的二项式系数的最大值为,展开式的二项式系数的最大值为,若,则（）A5B6C7D8【答案】B （2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对）的展开式中的系数是（）ABCD【答案】D （2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版）满足,且关于x的方程有实数解的有序数对的个数为（）A14B13C12D10【答案】B （2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）的二项展开式中的一项是（）ABCD【答案】C （2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版）使得（）ABCD 【答案】B （2013年高考四川卷（理）从这五个数中,每次取出两个不同的数分别为,共可得到的不同值的个数是（）ABCD【答案】C （2013年高考陕西卷（理）设函数 , 则当x0时, 表达式的展开式中常数项为（）A-20B20C-15D15【答案】A （2013年高考江西卷（理）(x2-)5展开式中的常数项为（）A80B-80C40D-40【答案】C 二、填空题（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为,所以36的所有正约数之和为参照上述方法,可求得2000的所有正约数之和为_【答案】4836 （2013年高考四川卷（理）二项式的展开式中,含的项的系数是_.(用数字作答)【答案】10 （2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动,选出的3人中男女同学都有的概率为_(结果用数值表示).【答案】 （2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版）将六个字母排成一排,且均在的同侧,则不同的排法共有_种(用数字作答)【答案】480 （2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）从名骨科.名脑外科和名内科医生中选派人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科.脑外科和内科医生都至少有人的选派方法种数是_(用数字作答)【答案】 （2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案） 的二项展开式中的常数项为_.【答案】15 （2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版）设二项式的展开式中常数项为,则_.【答案】 （2013年高考上海卷（理）设常数,若的二项展开式中项的系数为,则【答案】 （2013年高考北京卷（理）将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_.【答案】96 （2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版）若的展开式中的系数为7,则实数_.【答案】 （2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对）个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有_种.(用数字作答).【答案】480 数列一、选择题 （2013年高考上海卷（理）在数列中,若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素,()则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( )(A)18 (B)28 (C)48 (D)63【答案】A. （2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对）已知数列满足,则的前10项和等于(A) (B) (C) (D)【答案】C （2013年高考新课标1（理）设的三边长分别为,的面积为,若,则()A.Sn为递减数列 B.Sn为递增数列C.S2n-1为递增数列,S2n为递减数列D.S2n-1为递减数列,S2n为递增数列【答案】B （2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版）函数的图像如图所示,在区间上可找到个不同的数使得则的取值范围是(A) (B) (C) (D)【答案】B （2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版）已知等比数列的公比为q,记则以下结论一定正确的是( )A.数列为等差数列,公差为 B.数列为等比数列,公比为C.数列为等比数列,公比为 D.数列为等比数列,公比为【答案】C （2013年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）（纯WORD版含答案）等比数列的前项和为,已知,则(A) (B) (C) (D)【答案】C （2013年高考新课标1（理）设等差数列的前项和为,则 ( )A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C （2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版）下面是关于公差的等差数列的四个命题: 其中的真命题为(A) (B) (C) (D)【答案】D （2013年高考江西卷（理）等比数列x,3x+3,6x+6,.的第四项等于A.-24 B.0 C.12 D.24【答案】A 二、填空题（2013年高考四川卷（理）在等差数列中,且为和的等比中项,求数列的首项、公差及前项和.【答案】解:设该数列公差为,前项和为.由已知,可得 . 所以, 解得,或,即数列的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3. 所以数列的前项和或 （2013年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）（纯WORD版含答案）等差数列的前项和为,已知,则的最小值为_.【答案】 （2013年高考湖北卷（理）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,第个三角形数为.记第个边形数为,以下列出了部分边形数中第个数的表达式:三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 可以推测的表达式,由此计算_.选考题【答案】1000 （2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题）在正项等比数列中,则满足的最大正整数 的值为_.【答案】12 （2013年高考湖南卷（理）设为数列的前n项和,则(1)_; (2)_.【答案】; （2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版）当时,有如下表达式:两边同时积分得:从而得到如下等式: 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法,计算:【答案】 （2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）已知是等差数列,公差,为其前项和,若成等比数列,则【答案】 （2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前项和_.【答案】 （2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版）在等差数列中,已知,则_.【答案】 （2013年高考陕西卷（理）观察下列等式: 照此规律, 第n个等式可为_. 【答案】 （2013年高考新课标1（理）若数列的前n项和为Sn=,则数列的通项公式是=_.【答案】=. （2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版）如图,互不-相同的点和分别在角O的两条边上,所有相互平行,且所有梯形的面积均相等.设若则数列的通项公式是_.【答案】 （2013年高考北京卷（理）若等比数列an满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=_;前n项和Sn=_.【答案】2, （2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版）已知等比数列是递增数列,是的前项和,若是方程的两个根,则_.【答案】63 三、解答题（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版）设函数,证明:()对每个,存在唯一的,满足;()对任意,由()中构成的数列满足.【答案】解: () 是x的单调递增函数,也是n的单调递增函数. . 综上,对每个,存在唯一的,满足;(证毕) () 由题知 上式相减: . 法二: （2013年高考上海卷（理）(3分+6分+9分)给定常数,定义函数,数列满足.(1)若,求及;(2)求证:对任意,;(3)是否存在,使得成等差数列?若存在,求出所有这样的,若不存在,说明理由.【答案】:(1)因为,故, (2)要证明原命题,只需证明对任意都成立, 即只需证明 若,显然有成立; 若,则显然成立 综上,恒成立,即对任意的, (3)由(2)知,若为等差数列,则公差,故n无限增大时,总有 此时, 即 故, 即, 当时,等式成立,且时,此时为等差数列,满足题意; 若,则, 此时,也满足题意; 综上,满足题意的的取值范围是. （2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题）本小题满分10分.设数列,即当时,记,对于,定义集合(1)求集合中元素的个数; (2)求集合中元素的个数.【答案】本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力. (1)解:由数列的定义得:, , , 集合中元素的个数为5 (2)证明:用数学归纳法先证 事实上, 当时, 故原式成立 假设当时,等式成立,即 故原式成立 则:,时, 综合得: 于是 由上可知:是的倍数 而,所以是 的倍数 又不是的倍数, 而 所以不是的倍数 故当时,集合中元素的个数为 于是当时,集合中元素的个数为 又 故集合中元素的个数为 （2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版）在公差为的等差数列中,已知,且成等比数列.(1)求; (2)若,求【答案】解:()由已知得到: ; ()由(1)知,当时, 当时, 当时, 所以,综上所述:; （2013年高考湖北卷（理）已知等比数列满足:,.(I)求数列的通项公式;(II)是否存在正整数,使得?若存在,求的最小值;若不存在,说明理由.【答案】解:(I)由已知条件得:,又, 所以数列的通项或 (II)若,不存在这样的正整数; 若,不存在这样的正整数. （2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）设等差数列的前n项和为,且,.()求数列的通项公式;()设数列前n项和为,且 (为常数).令.求数列的前n项和.【答案】解:()设等差数列的首项为,公差为, 由,得 , 解得, 因此 ()由题意知: 所以时, 故, 所以, 则 两式相减得 整理得 所以数列数列的前n项和 （2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题）本小题满分16分.设是首项为,公差为的等差数列,是其前项和.记,其中为实数.(1)若,且成等比数列,证明:();(2)若是等差数列,证明:.【答案】证明:是首项为,公差为的等差数列,是其前项和 (1) 成等比数列 左边= 右边= 左边=右边原式成立 (2)是等差数列设公差为,带入得: 对恒成立 由式得: 由式得: 法二:证:(1)若,则,. 当成等比数列, 即:,得:,又,故. 由此:,. 故:(). (2), . () 若是等差数列,则型. 观察()式后一项,分子幂低于分母幂, 故有:,即,而0, 故. 经检验,当时是等差数列. （2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对）等差数列的前项和为,已知,且成等比数列,求的通项式.【答案】 （2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案）已知首项为的等比数列不是递减数列, 其前n项和为, 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列. () 求数列的通项公式; () 设, 求数列的最大项的值与最小项的值. 【答案】 （2013年高考江西卷（理）正项数列an的前项和an满足:(1)求数列an的通项公式an;(2)令,数列bn的前项和为.证明:对于任意的,都有【答案】(1)解:由,得. 由于是正项数列,所以. 于是时,. 综上,数列的通项. (2)证明:由于. 则. . （2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版）设数列的前项和为.已知,.() 求的值;() 求数列的通项公式;() 证明:对一切正整数,有.【答案】.(1) 解: ,. 当时, 又, (2)解: ,. 当时, 由 ,得 数列是以首项为,公差为1的等差数列. 当时,上式显然成立. (3)证明:由(2)知, 当时,原不等式成立. 当时, ,原不等式亦成立. 当时, 当时,原不等式亦成立. 综上,对一切正整数,有. （2013年高考北京卷（理）已知an是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项,的最小值记为Bn,dn=An-Bn .(I)若an为2,1,4,3,2,1,4,3,是一个周期为4的数列(即对任意nN*,),写出d1,d2,d3,d4的值;(II)设d为非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3)的充分必要条件为an为公差为d的等差数列;(III)证明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,),则an的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.【答案】(I) (II)(充分性)因为是公差为的等差数列,且,所以 因此,. (必要性)因为,所以. 又因为,所以. 于是,. 因此,即是公差为的等差数列. (III)因为,所以,.故对任意. 假设中存在大于2的项. 设为满足的最小正整数,则,并且对任意,. 又因为,所以,且. 于是,. 故,与矛盾. 所以对于任意,有,即非负整数列的各项只能为1或2. 因此对任意,所以. 故. 因此对于任意正整数,存在满足,且,即数列有无穷多项为1. （2013年高考陕西卷（理）设是公比为q的等比数列. () 导的前n项和公式; () 设q1, 证明数列不是等比数列. 【答案】解:() 分两种情况讨论. . 上面两式错位相减: . 综上, () 使用反证法. 设是公比q1的等比数列, 假设数列是等比数列.则 当=0成立,则不是等比数列. 当成立,则 .这与题目条件q1矛盾. 综上两种情况,假设数列是等比数列均不成立,所以当q1时, 数列不是等比数列. 三角函数一、选择题 （2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版）已知,则A. B. C. D.【答案】C （2013年高考陕西卷（理）设ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则ABC的形状为(A) 锐角三角形(B) 直角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确定【答案】B （2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案）在ABC中, 则 = (A) (B) (C) (D) 【答案】C （2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）将函数的图象沿轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为(A) (B) (C)0 (D) 【答案】B （2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版）在,内角所对的边长分别为且,则A. B. C. D. 【答案】A （2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对）已知函数,下列结论中错误的是(A)的图像关于中心对称 (B)的图像关于直线对称(C)的最大值为 (D)既奇函数,又是周期函数【答案】C （2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）函数的图象大致为【答案】D （2013年高考四川卷（理）函数的部分图象如图所示,则的值分别是( )(A) (B) (C) (D)【答案】A （2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）既是偶函数又在区间上单调递减的函数是( )(A) (B) (C) (D)【答案】B （2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案） ( )A. B. C. D.【答案】C （2013年高考湖南卷（理）在锐角中,角所对的边长分别为.若A. B. C. D. 【答案】D （2013年高考湖北卷（理）将函数的图像向左平移个长度单位后,所得到的图像关于轴对称,则的最小值是( ) A. B. C. D. 【答案】B 二、填空题（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版）中,是的中点,若,则_.【答案】 （2013年高考新课标1（理）设当时,函数取得最大值,则_【答案】. （2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版）如图中,已知点D在BC边上,ADAC,则的长为_ 【答案】 （2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数的最小正周期是_【答案】 （2013年高考四川卷（理）设,则的值是_.【答案】 （2013年高考上海卷（理）若,则【答案】. （2013年高考上海卷（理）已知ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c,若,则角C的大小是_(结果用反三角函数值表示)【答案】 （2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对）已知是第三象限角,则_.【答案】 （2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题）函数的最小正周期为_.【答案】 （2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在中,角所对边长分别为,若,则_【答案】7 （2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版）设的内角所对边的长分别为.若,则则角_.【答案】 （2013年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）（纯WORD版含答案）设为第二象限角,若,则_.【答案】 （2013年高考江西卷（理）函数的最小正周期为为_.【答案】 （2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数的最大值是_【答案】5 三、解答题（2013年高考北京卷（理）在ABC中,a=3,b=2,B=2A.(I)求cosA的值; (II)求c的值.【答案】解:(I)因为a=3,b=2,B=2A. 所以在ABC中,由正弦定理得.所以.故. (II)由(I)知,所以.又因为B=2A,所以.所以. 在ABC中,. 所以. （2013年高考陕西卷（理）已知向量, 设函数. () 求f (x)的最小正周期. () 求f (x) 在上的最大值和最小值. 【答案】解:() =. 最小正周期. 所以最小正周期为. () . . 所以,f (x) 在上的最大值和最小值分别为. （2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）在中,内角的对边分别是,且.(1)求; (2)设,求的值.【答案】 由题意得 （2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案）已知函数. () 求f(x)的最小正周期; () 求f(x)在区间上的最大值和最小值. 【答案】 （2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版）设向量(I)若 (II)设函数【答案】 （2013年高考上海卷（理）(6分+8分)已知函数,其中常数;(1)若在上单调递增,求的取值范围;(2)令,将函数的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数的图像,区间(且)满足:在上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的中,求的最小值.【答案】(1)因为,根据题意有 (2) , 或, 即的零点相离间隔依次为和, 故若在上至少含有30个零点,则的最小值为. （2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对）设的内角的对边分别为,.(I)求(II)若,求.【答案】 （2013年高考四川卷（理）在中,角的对边分别为,且.()求的值;()若,求向量在方向上的投影.【答案】解:由,得 , 即, 则,即 由,得, 由正弦定理,有,所以,. 由题知,则,故. 根据余弦定理,有, 解得或(舍去). 故向量在方向上的投影为 （2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）设的内角所对的边分别为,且,.()求的值; ()求的值.【答案】解:()由余弦定理,得, 又,所以,解得,. ()在中, 由正弦定理得 , 因为,所以为锐角,所以 因此 . （2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版）已知函数的最小正周期为.()求的值; ()讨论在区间上的单调性.【答案】解: () .所以 () 所以 （2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版）已知函数的周期为,图像的一个对称中心为,将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像.(1)求函数与的解析式;(2)是否存在,使得按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定的个数;若不存在,说明理由.(3)求实数与正整数,使得在内恰有2013个零点.【答案】解:()由函数的周期为,得 又曲线的一个对称中心为, 故,得,所以 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)后可得的图象,再将的图象向右平移个单位长度后得到函数 ()当时, 所以 问题转化为方程在内是否有解 设, 则 因为,所以,在内单调递增 又, 且函数的图象连续不断,故可知函数在内存在唯一零点, 即存在唯一的满足题意 ()依题意,令 当,即时,从而不是方程的解,所以方程等价于关于的方程, 现研究时方程解的情况 令, 则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况 ,令,得或 当变化时,和变化情况如下表当且趋近于时,趋向于 当且趋近于时,趋向于 当且趋近于时,趋向于 当且趋近于时,趋向于 故当时,直线与曲线在内有无交点,在内有个交点; 当时,直线与曲线在内有个交点,在内无交点; 当时,直线与曲线在内有个交点,在内有个交点 由函数的周期性,可知当时,直线与曲线在内总有偶数个交点,从而不存在正整数,使得直线与曲线在内恰有个交点;当时,直线与曲线在内有个交点,由周期性,所以 综上,当,时,函数在内恰有个零点 （2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题）本小题满分14分.已知,.(1)若,求证:;(2)设,若,求的值.【答案】解:(1) 即, 又, (2) 即 两边分别平方再相加得: （2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版）已知函数,.() 求的值; () 若,求.【答案】(); () 因为,所以, 所以, 所以. （2013年高考湖南卷（理）已知函数.(I)若是第一象限角,且.求的值;(II)求使成立的x的取值集合.【答案】解: (I). (II) （2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题）本小题满分16分.如图,游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到,另一种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到.现有甲.乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为,山路长为,经测量,.(1)求索道的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?CBA【答案】解:(1), , 根据得 (2)设乙出发t分钟后,甲.乙距离为d,则 即 时,即乙出发分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短. (3)由正弦定理得(m) 乙从B出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C 设乙的步行速度为V ,则 为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在范围内 法二:解:(1)如图作BDCA于点D, 设BD=20k,则DC=25k,AD=48k, AB=52k,由A