第19讲计数原理、随机变量及其概率分布.doc

第19讲 计数原理、随机变量及其概率分布考点透析计数原理分类加法计数原理B分步乘法计数原理B排列与组合B二项式定理B随机变量及其概率分布离散型随机变量及其分布列A超几何分布A条件概率及相互独立事件A独立重复试验的模型及二项分布B离散型随机变量的均值和方差B知识整合 1排列、组合、二项式定理以其独特的研究对象和研究方法，在中学数学中占有特殊的地位。解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，无序组合。解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不相邻问题抽空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法。二项式问题应注意：一是直接运用通项公式求特定项的系数和与系数有关的问题；第二类需要用转化化归为二项式定理来处理的问题。 2学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法，并能运用所学知识解决一些简单的实际问题，形成用随机观念观察、分析问题的意识。考点自测 1. (2010湖北理11）在展开式中，系数为有理数的项共有 项.2. (2010天津理10)如图，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色.则不同的涂色方法共有_ _种3.（2010江西理11）一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测.方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚.国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为和.则与的大小关系为_ _ 4. (2010安徽理15)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球。先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是_（写出所有正确结论的编号）.； ； 事件与事件相互独立；是两两互斥的事件； 的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关典型例题 高考热点一：二项式定理中的“和”二项式定理的应用主要涉及利用通项公式求展开式的特定项，利用二项式的性质求多项式的系数和，利用二项式定理进行近似计算. 例1.在的展开式中，求： （1）二项式系数的和； （2）各项系数的和； （3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； （4）奇数项系数和与偶数项系数和； （5）x的奇次项系数和与x的偶次项系数和. 【分析】注意各小题“和”的区别。并注意对应方法的应用。解：设各项系数和即为,奇数项系数和为,偶数项系数和为,的奇次项系数和为,的偶次项系数和.由于（*）是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.（1）二项式系数和为C+C+C=210.（2）令x=y=1,各项系数和为.（3)奇数项的二项式系数和为C+C+C=29,偶数项的二项式系数和为C+C+C=29.(4)设令x=y=1,得到=1令(或)得=510+得2()=1+510,奇数项的系数和为；-得2()=1-510,偶数项的系数和为.（5）x的奇次项系数和为=;x的偶次项系数和为=.点评：本题考查了赋值法的应用，注意各小题“和”的区别与联系.高考热点二：二项式定理中的“项” 二项式定理的应用主要涉及利用通项公式求展开式的特定项，利用二项式的性质求多项式的系数和，利用二项式定理进行近似计算.题型以选择、填空为主，少有综合性的大题，本节是高考的必考内容. 近两年二项式定理考查知识点分布没有太大变化，灵活掌握通项公式，仍然是重点，另外分清某项、某项系数、某项二项式系数非常重要. 例2. 在的展开式中，求： （1）二项式系数最大的项； （2）系数绝对值最大的项； （3）系数最大的项.【分析】注意各小题“项”的区别。并注意对应方法的应用。 解：（1）二项式系数最大的项是第11项，T11=C310（-2）10x10y10=C610x10y10.（2）设系数绝对值最大的项是第r+1项，于是，化简得，解得7r8.所以r=8,即T9=C31228x12y8是系数绝对值最大的项.（3）由于系数为正的项为奇数项，故可设第2r-1项系数最大，于是，化简得.解之得r=5,即25-1=9项系数最大.T9=C31228x12y8.点评：注意各小题“项”的区别与联系，特别二项式系数最大的项与系数最大的项的区别.本题的计算能力要求比较高.高考热点三：独立重复试验的概率若在次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结果，则此试验叫做次独立重复试验.若在1 次试验中事件A发生的概率为P，则在次独立试验中，事件A恰好发生次的概率为. 例3. 某气象站天气预报的准确率为，计算（结果保留到小数点后第2位）：（）5次预报中恰有2次准确的概率； （）5次预报中至少有2次准确的概率； （）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率 【分析】所求问题的概率类型是什么？用什么方法去解决问题呢？高考结合实际应用问题考查次独立重复试验中某事件恰好发生次的概率的计算方法和化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用.解：（）次预报中恰有次准确的概率为（）次预报中至少有次准确的概率为（）“次预报中恰有次准确，且其中第次预报准确”的概率为点评：解决此类问题时，首先应明确随机变量可能取哪些值，然后按照相次独立重复试验中某事件恰好发生次的概率的计算方法去计算这些可能取值的概率值.以此考查运用概率知识解决实际问题的能力.高考热点四：离散型随机变量分布列和数学期望高考结合实际应用问题考查次独立重复试验中某事件恰好发生次的概率的计算方法和化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用.解决此类问题时，首先应明确随机变量可能取哪些值，然后按照相次独立重复试验中某事件恰好发生次的概率的计算方法去计算这些可能取值的概率值即可等到分布列，最后根据分布列和期望、方差公式去获解.以此考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念和运用概率知识解决实际问题的能力.例4. (2010天津理18)某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响。()假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率：()假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率：()假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总得分数，求的分布列。【分析】本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。【解析】（1）解：设为射手在5次射击中击中目标的次数，则.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率（）解：设“第次射击击中目标”为事件；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件,则 = =（）解：由题意可知，的所有可能取值为 =所以的分布列是01236P点评：主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力高考热点五：排列组合与二项式定理的综合问题近两年高考命题涉及到本节内容，单独考查某个知识点的题目减少，综合考查题目增加，创新题目增多，知识背景新颖，与实际生活结合更加紧密，难度略有增加.ABC 例5.如图所示，某城市有南北街道和东西街道各条，一邮递员从该城市西北角的邮局出发，送信到东南角地，要求所走路程最短.（1）求该邮递员途径C地的概率；（2）求证：，（）. 【分析】第二问大于2应该比较好证，证小于3应注意一些方法与技巧的应用。解：（1）邮递员从该城市西北角的邮局A到达东南角B地，要求所走路程最短共有种不同的走法，其中途径C地的走法有种走法，所以邮递员途径C地的概率； （2）由，得，要证时，只要证时， 因为时，且，所以只要证，且时， 由于时，且 ， 所以成立，所以点评：本题是排列组合与二项式定理的综合问题，在第二问的证明过程中主要放缩法的应用，本题能力要求比较高，属于较难题.误区分析 调原P51误区分析随堂练习 1（2010四川理10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 . 2（2010上海春季)在二项展开式中，常数项是 .3(2010湖北理14）某射手射击所得环数的分布列如下：78910已知的期望，则y的值为 4一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘. 若每敲1次在屏幕上出现一个字母，它连续敲击10次，屏幕上的10个字母依次排成一行，则出现单词“monkey”的概率为 （结果用数值表示）. 5.（2010福建）设是不等式的解集，整数.（1）记使得“成立的有序数组”为事件A，试列举A包含的基本事件；（2）设，求的分布列及其数学期望.解:（1）由得，即，由于整数且，所以A包含的基本事件为。（2）由于的所有不同取值为所以的所有不同取值为，且有，故的分布列为0149P所以=。6.（2010南京）如图，在某城市中，两地之间有整齐的方格形道路网，其中、是道路网中位于一条对角线上的个交汇处.今在道路网处的甲、乙两人分别要到处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达为止.（）求甲经过到达的方法有多少种；（）求甲、乙两人在处相遇的概率；（）求甲、乙两人相遇的概率.解：（）甲经过，可分为两步：第一步，甲从经过的方法数为种；第二步，甲从到的方法数为种；所以甲经过到达的方法数为种.（）由（）知，甲经过的方法数为；乙经过的方法数也为.所以甲、乙两人在处相遇的方法数为81； 甲、乙两人在处相遇的概率为.（）甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在、处相遇，他们在相遇的走法有种方法；所以：164故甲、乙两人相遇的概率.答：（1）甲经过到达的方法数为种；（2）甲、乙两人在处相遇的概率为；（3）甲、乙两人相遇的概率. 学力测评 1. 设某种动物由出生算起活到10岁的概率为0.9，活到15岁的概率为0.6.现有一个10岁的这种动物，它能活到15岁的概率是 . 2.（2010辽宁）的展开式中的常数项为_.3. （2010广东）已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且=0.6826，则p（X4）=_.4. (2010重庆)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有_种.5. (2010湖北)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰于向上 的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是_.6. 如果xx2x3x9x10a0a1(1x)a2(1x)2a9(1x)9a10(1x)10，则a9_.7.（2009重庆）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为_.8. (2009广东)已知离散型随机变量的分布列如右表若，则 ， 9. 某班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表： 统计量组别 平均标准差第一组906第二组804则全班的平均成绩和标准差分别为多少？ 10已知的展开式的各项系数之和等于展开式中的常数项，求展开式中含的项的二项式系数11.（2010盐城）将一枚硬币连续抛掷次，每次抛掷互不影响. 记正面向上的次数为奇数的概率为，正面向上的次数为偶数的概率为.（）若该硬币均匀，试求与；（）若该硬币有暇疵，且每次正面向上的概率为，试比较与的大小.12.（2010江苏）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。（1） 记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；（2） 求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。第19讲 计数原理、随机变量及其概率分布参考答案考点自测 1. 6； 2. 264 3. 4. 随堂练习 1108；260；30.44；5解:（1）由得，即，由于整数且，所以A包含的基本事件为.（2）由于的所有不同取值为所以的所有不同取值为，且有，故的分布列为0149P所以=.6.解：（）甲经过，可分为两步：第一步，甲从经过的方法数为种；第二步，甲从到的方法数为种；所以甲经过到达的方法数为种.（）由（）知，甲经过的方法数为；乙经过的方法数也为.所以甲、乙两人在处相遇的方法数为81； 甲、乙两人在处相遇的概率为.（）甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在、处相遇，他们在相遇的走法有种方法；所以：164故甲、乙两人相遇的概率.答：（1）甲经过到达的方法数为种；（2）甲、乙两人在处相遇的概率为；（3）甲、乙两人相遇的概率. 学力测评 m 1；2. -5；3. 0.1587；4. 1008 ；5. ；网6. 9；7. ；8. ，；9解: 设第一组20名学生成绩为，学生成绩的标准差为，第二组20名学生的成绩为，学习成绩的标准差为.所以有：，从而全班平均成绩为. 又因为 ，所以即所求的平均成绩和标准差分别为85，. 10的展开式中的常数项是第3项，值为27，的展开式的各项系数之和为2n，从而n=7对于，含的项是