导数的应用（一） （文) 学案

导数的应用（一）一、高考考纲要求1.了解函数单调性和导数的关系；，2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(多项式函数一般不超过三次).3.由函数单调性和导数的关系，研究恒成立问题或求参数的范围.二、高考考点回顾1.函数的单调性与导函数在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减说明：特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数2.函数的单调性在内可导函数，若函数在区间上单调递增，则在上恒成立；若函数在区间上单调递减，则在上恒成立.三、课前检测1.设在内可导,则是在内单调递减的（ ）.A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要2.函数的单调减区间为 （ ）A和 B和 C D和3函数yx2ln x的单调递减区间为( )A(1,1 B(0,1 C1，) D(0，)4.已知是定义在R上的偶函数，其导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ）A B C D【答案】A【解析】5.函数f(x)x3ax2在(1，)上是增函数，则实数a的取值范围是_考点一 利用导数研究函数的单调性【典例1】已知函数f(x)(x22x)ex(xR，e为自然对数的底数)，求函数f(x)的单调递增区间；【变式1】已知函数f(x)mx3nx2(m、nR，m0)，函数yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切线与x轴平行(1)用关于m的代数式表示n；(2)求函数f(x)的单调增区间【变式2】已知函数.(1)若曲线与曲线在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当时，求函数的单调区间【答案】（1）（2）单调递增区间是单调递减区间为.【解析】 (1)f(x)2ax，g(x)3x2b，由已知可得解得(2)令令得由得，或；由得，单调递增区间是单调递减区间为.考点二 已知函数的单调性求参数范围【典例2】已知函数在上是减函数，则实数的取值范围为（ ）A B C D【答案】C【典例3】已知函数（）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；（）当时，讨论在的单调性.【变式3】若在(1，)上是减函数，则b的取值范围是()A1，) B(1，)C(，1 D(，1)【答案】C【解析】由题意可知f(x)(x2)0，在x(1，)上恒成立，即bx(x2)在x(1，)上恒成立，由于(x)x(x2)x22x在(1，)上的值域是(1，)，故只要b1即可【变式4】 已知函数f(x)lnax2x(a0)，若f(x)是定义域上的单调函数，求a的取值范围【变式5】已知函数，（其中）.（1）求的单调区间；（2）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为.（2）.【解析】（1），故.当时，；当时，.的单调增区间为，单调减区间为. （2），则，由题意可知在上恒成立，即在上恒成立，因函数开口向上，且对称轴为，故在上单调递增，因此只需使，解得；易知当时，且不恒为0. 故.考点三 综合应用【典例4】函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为( )A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)【变式6】函数f(x)的定义域是R，f(0)2，对任意xR，f(x)f(x)1，则不等式exf(x)ex1的解集为( )Ax|x0 Bx|x0Cx|x1 Dx|x1或0x1【典例5】【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）已知函数 (I)讨论的单调性；(II)若有两个零点,求的取值范围.【答案】见解析(II) 【解析】试题分析：(I)先求得再根据1,0,2a的大小进行分类确定的单调性；(II)借助第一问的结论,通过分类讨论函数单调性,确定零点个数,从而可得a的取值范围为.试题解析： (I)(i)设,则当时,；当时,.所以在单调递减,在单调递增.(ii)设,由得x=1或x=ln(-2a). 若,则,所以在单调递增.若,则ln(-2a)1,故当时,；当时,所以在单调递增,在单调递减.若,则,故当时,当时,所以在单调递增,在单调递减.(II)(i)设,则由(I)知,在单调递减,在单调递增.又,取b满足b0且,则,所以有两个零点.参考答案课前检测1.【答案】A【解析】由能够推出在内单调递减，但由在内单调递减不能推出，如在R内为减函数，而.故为充分不必要条件.2.【答案】A【解析】由，得，解得 或.3【答案】B【解析】由题意知，函数的定义域为(0，)，又由yx0，解得00，即3mx26mx0，当m0时，解得x2，则函数f(x)的单调增区间是(，0)和(2，)；当m0时，解得0x0时，函数f(x)的单调增区间是(，0)和(2，)；当m0时，函数f(x)的单调增区间是(0,2)【典例2】【解析】（）由已知得，依题意：对恒成立即：对恒成立，也即：对恒成立， 即（），在定义域上满足在上是减函数，在是增函数，当时，在上是增函数当时，在上是减函数 当时，在上是减函数，在上是增函数.【变式2】解f(x)ln xax2x，f(x)2ax1令方程2ax2x10.则18a.当a时，0，f(x)0，f(x)在(0，)单调递减当0a0，方程2ax2x10有两个不相等的正根x1，x2，不妨设x1x2，则当x(0，x1)(x2)时，f(x)0，这时f(x)不是单调函数综上，a的取值范围是.【典例3】【答案】B【解析】记g(x)f(x)(2x4)，则有g(1)f(1)(24)0.g(x)f(x)20，g(x)在R上是增函数不等式f(x)2x4，即g(x)0g(1)，于是由g(x)在R上是增函数得，x1，即不等式f(x)2x4的解集是(1，)，选B.【变式3】【答案】A【解析】构造函数g