【重庆大学电工学】第2章正弦交流电路

第二章正弦交流电路 本章讲授学时 12学时 教学基本要求 理解正弦交流电的三要素和相量表示法 理解电路基本定律的相量形式 复阻抗和相量图 掌握用相量法计算简单正弦电路 掌握有功功率 功率因数的概念和计算方法 掌握三相电路的电路分析和功率计算方法 了解交流电路串联谐振和并联谐振的条件及特征 本章主要内容 正弦交流电的基本概念正弦量的向量表示方法单一元件的正弦响应R L C串联电路的正弦响应电路谐振三相电路功率因数的提高 小结 小结 例题 正弦交流电的基本概念 正弦交流电与正弦交流电路正弦量的三要素例题分析 正弦交流电的广泛应用 是因为其电力的产生 传输和变换既方便快捷又灵活简单 不仅电阻电路中的响应为正弦量 也在电感及电容电路中为正弦量响应 正弦交流电与正弦交流电路 所谓正弦交流电就是指大小和方向随时间按正弦规律变化的交流电压和交流电流的总称 正弦电压和电流都是按正弦规律周期性随时间变化的 其波形图可用正弦曲线来表示 如果在线性电路中施加正弦激励 正弦交流电压源或正弦交流电流源 则电路中的所有响应在电路达到稳态时 也都是与激励同频率的正弦量 这样的电路 我们习惯上称为正弦交流电路 激励 响应 正弦量的三要素 正弦量的特征表现在变化的快慢 大小及初值三个方面 它们分别由频率 或周期 幅值 或有效值 和初相位来确定 所以称频率 幅值和初相位为正弦量的三要素 设正弦电流为 正弦量的三要素 正弦量的快慢 周期与频率正弦量的大小 幅值与有效值正弦量的起点 初相位与相位差 任何一个正弦量都是由它的三个要素 频率 幅值与初相位完全确定 或者说 正弦量一经确定 其三要素也就是唯一的 所以 我们可以通过理解三要素来解决正弦量的表示与计算的问题 周期与频率 变化的快慢 交流电往复变化一周需要的时间称为周期 它是波形再次重复出现所需的最短时间间隔 通常用字母T表示 如图所示 它的单位是秒 s 每秒时间内重复变化的周期数称为频率 用字母f表示 它的单位是赫兹 Hz 简称赫 周期和频率互为倒数 即有 例如频率f 50Hz的交流电 其周期为 T 0 02s 因为我们的工业生产和日常生活中所使用的交流电的频率就是50Hz 所以 我们称频率f 50Hz的交流电为工频交流电 工程中常用的一些频率范围 我国电力的标准频率为50Hz 国际上多采用此标准 但美 日等国采用标准为60Hz 中频电炉的工作频率为500 8000Hz 高频电炉的工作频率为200 300kHz 无线电工程的频率为104 30 1010Hz 低频电子工程的频率为20 20 103Hz 正弦量变化快慢的衡量有时还用角频率 来描述 它与频率和周期的关系为 正弦量的大小 瞬时值 幅值与有效值 正弦交流电流 电压和电动势的大小可表示如下 瞬时值 任一时刻交流电量值的大小就叫瞬时值 都用小写拉丁字母表示 i u e它们都是时间的函数 不同时刻其量值也不同 如图 在t 时刻的值为i t 在t 时刻的值为i t 最大值 幅值 在一个周期里最大的瞬时值叫最大值 它是交流电的振幅 通常用大写字母并加注下标m表示 如Im Um及Em 可见 最大值实际上就是最大的瞬时值 也是与时间有关的量 有效值 在工程中 正弦电压与电流的计量不是瞬时值也不是幅值 而是有效值 若有一交流电流i通过电阻R 在一个周期时间内消耗的电能 与数值为I的直流电流在同样的时间内 通过同一电阻所消耗的电能相等 则这直流电流I的数值就称为该交流电流i的有效值 可见 交流电流的有效值就是与它的平均耗能相等的直流电流值 设一交变电流i通过电阻R 在一个周期内该电阻消耗的电能是 如果有一个直流电流I通过同一电阻R 在同一时间T内所消耗的电能为 所以 当在一个周期的时间内 W W 时 有 对于正弦交流电流 因为 所以 同理 正弦交流电的有效值等于它的最大值除以而与其频率及初相无关 例题 已知u Umsin t Um 310V f 50Hz 试求有效值U和t 0 1s时的瞬时值 V 最后应指出有效值与最大值之间的关系只适用于正弦交流电量 其他非正弦交流量的有效值与最大值之间不存在的关系 正弦量的计时起点 初相位与相位差 相位与初相位 对于已知的正弦量 称 t i 为正弦交流电流的相位角 简称相位 在不同的时刻正弦量的相位也不同 交流电流的大小和方向也不同 相位 初相 称t 0时的相位角 i为初相角 简称初相 初相用来确定交流电初始瞬时状态 初相角是正弦交流电的一个重要的物理量 没有它就无法画出确定的波形图和写出完整的交流电表达式 相位 例如 初相位 初相位 对一个正弦交流电量来说 如果知道它的角频率 初相位以及振幅就可以把它唯一确定了 通常把这三个量叫做交流电的三要素 角频率 幅值 例如 初相位 可见 当正弦量的频率相同时 确定正弦量的要素就只有两个了 图中 i和 u分别为u和i的初相 画出电压u和电流i的波形图如下 两个同频率正弦量的相位比较 相位差 两个同频率的正弦交流电往往具有不同的相位 如图中的 i和 u所示 我们称两个同频率的正弦交流电在相位上的差值称为相位差 用 表示 所以 我们称电压超前电流 角 我们称电压滞后电流 角 我们称电压与电流同相 我们称电压与电流正交 我们称电压与电流反相 相位差等于初相差 同频率的正弦量的相位差等于它们的初相之差 所以两同频率的正弦量的初相位之差 与时间t和角频率 无关 在任何瞬时 初相位之差是固定值 所以相位差也是固定值 例题分析 例1P41ex2 1 1已知 i t 100sin 6280t 4 mA 1 说明它的Im f T 2 画出波形图 解 因为 所以 1 2 画出波形图 P41EX2 1 2某工频电压 时的值 且呈正向变化 写出它的解析表达式 并定性画出波形图 解 设 又因为是工频电压 所以 t 0时电压呈正向变化 所以 写出它的解析表达式为 并定性画出波形图 略 解 1 例3 已知 i1 15sin 314t 45o A i2 10sin 314t 30o A 1 试问i1与i2的相位差是多少 2 在相位上i1与i2谁超前 谁滞后 在相位上 i1超前 i2滞后 正弦量的向量表示方法 正弦量的常见表示方法旋转矢量表示法相量表示法复数表示法各种表示法之间的关系 正弦量的常见表示方法 表示一个正弦量可以多种方式 这也正是分析和计算交流电路的工具表示一个正弦量可以多种方式 这也正是分析和计算交流电路的工具 三角函数表示法 正弦波形图示法 见右图 旋转矢量表示法 如果按正弦量的解析式和波形图来分析和计算正弦交流电路的问题 这会很麻烦的 所以 我们总是寻求能使分析和计算都得到简化的表示方法 因为正弦量具有三个要素 它们完全可以表达对应的正弦量的特点和共性 所以 利用三要素 我们可以找到多种表示正弦量的方法 其中最形象的方法之一就是旋转矢量法 正弦量的旋转矢量表示 旋转矢量与瞬时值之间的关系 Umej t Umcos t jUmsin t u 1 旋转矢量的长度等于正弦函数的最大值 2 t 0时和横坐标 正x轴 间的夹角等于正弦函数的初相位 3 绕坐标原点O沿逆时针方向旋转的角速度 等于正弦函数的角频率 正弦函数的三要素可以用旋转矢量完整地表达 旋转矢量任意时刻在纵坐标 Y轴 上的投影 就是矢量所代表的正弦函数的瞬时值 即 u Umsin t V 相量表示法 将矢量 OP 的初始位置用Um表示 并画出对的应矢量图 则称其正弦量的幅值 有效值 相量 对应的矢量图为其相量图 复数表示法 复数的四种表示形式复数的运算用复数表示向量 复数的四种表示形式 复数的代数表示形式复数的三角函数表示式复数的指数表示形式复数的极坐标表示式 复数的运算 复数的相等复数的加减复数的乘除 已知 用复数表示相量 相量的各种表示方法 用指数形式表示 对于相量图 用极坐标形式表示 用代数形式表示 各种表示法之间的关系 幅值相量与瞬时值之间的关系 相量 复数 Um cos jsin Umej 交流电瞬时值 u Umsin t 各种表示法之间的关系 各种表示法的转换 已知正弦量 两个电流是同频率的正弦量 它们对应的旋转矢量在直角坐标的X Y平面上以同一角速度旋转 因此它们之间的相对位置是恒定不变的 所以 当用向量表示的时候可以画在同一个坐标系中 旋转矢量图表示 用复数的代数形式表示 用复数的指数与极坐标形式表示 两个正弦量相加 已知正弦量 计算 同样可得 多个正弦量的表示 已知 我们称u2超前于u1 u1超前于i 或称u1滞后于u2 I滞后于u1 如果 那么 可见 u2超前于u1 如果 所以 一个j就是一个90O的旋转因子 由欧拉公式 也就是说 例题分析 对如图电路 设 试求总电流i 本题可用几种方法求解计算 1 用三角函数式求解 两个同频率正弦量相加仍得到一个正弦量 设此正弦量为 则 因此 总电流i的幅值为 总电流i的初相位为 由此 代入数据Im1 100A Im2 60A 1 45 2 30 则 故得 2 用正弦波求解 100sin t 45 60sin t 30 129sin t 18 3 0 i t 2 用相量图求解 小结 正弦量的表示方法 波形图表示 向量图表示 极坐标式 指数式 代数式 旋转矢量表示 略 单一元件的正弦响应 电阻元件的正弦响应电感元件的正弦响应电容元件的正弦响应 电阻元件的正弦响应 电压电流关系功率关系 电压电流关系 瞬时值关系有效值关系相量关系与相量图 瞬时值关系 设 可见 电阻上的电压和电流为同频率的正弦量 二者同相 电压的幅值等于电流的幅值乘以 有效值关系 由瞬时值关系 可见 所以 相量关系与相量图 将电路图中电压与电流用相量代替 画出相量图 因为 所以 画出相量图 欧姆定律的复数表达式 电压电流关系 功率关系 瞬时功率平均功率 有功功率 瞬时功率 瞬时功率等于在一个直流分量UI的基础上 叠加一个幅值为UI的正弦量 但总有p 0 在任意瞬时 电压瞬时值u与电流瞬时值i的乘积 称为瞬时功率 用字母p表示 对于电阻元件 平均功率 在一个周期内 瞬时功率的平均值 称为平均功率 用 表示 因为平均功率也是电路消耗的功率 所以 也被称为有功功率 例1 有一电阻炉 其额定电压UN 220V 额定功率P 800W 试求电阻炉的额定电流I 和在额定工作状态下的电阻R 额定电流 额定工作状态下的电阻 解 例 一只100 电阻接入50Hz 有效值为10V的电源上 问电流是多少 若频率改为5000Hz呢 因电阻与频率无关 所以 电流不会因为频率的改变而改变 解 电感元件的正弦响应 电压电流关系功率关系例题分析 电压电流关系 瞬时值关系有效值关系 感抗的概念相量关系 复感抗与相量图 瞬时值关系 设 u i为同频率的正弦量 u在相位上超前i900 u的幅值大小等于i的幅值乘以L 有效值关系 定义 具有电阻的量纲 感抗 是一个随频率变化的量 反映了电感元件阻碍电流变化的能力 感抗的性质 对电流的阻碍能力为零 对直流相当于短路 对电流的阻碍能力为无穷大 对高频交流相当于开路 电感元件的感抗与频率成正比 相量关系 可见 画出相量图 复感抗 欧姆定律复数表达式 功率关系 瞬时功率p有功功率P无功功率Q 瞬时功率 知道了电压u和电流i的变化规律和相互关系后 便可找出元件的瞬时功率的变化规律 可见 p是以幅值为UI 角频率为2 t变化的交变量 瞬时功率 当u与i的瞬时值为同号时 p 0 电感元件取用功率 为负载 磁能增加 当u与i的瞬时值为异号时 p 0 电感元件发出功率 相当于电源 元件的磁能减少 有功功率P 电感元件不消耗功率 无功功率 由于电感元件在电路中没有能量损耗 只与电源间进行能量交换 其能量交换的规模我们用无功功率Q表示 为了与有功功率有所区别 无功功率Q的单位为乏 Var 或千乏 kVar 规定无功功率为瞬时功率p的幅值UI 即 例题分析 一电感交流电路 L 100mH f 50Hz 已知 求电压u 求电流i 并画相量图 由题知感抗为XL L 2 50 0 1 31 4 则由相量形式的欧姆定律知 瞬时值 2 电流为 相量图为 例3 指出下列各式哪些是对的 哪些是错的 电容元件的正弦响应 电压电流关系功率关系例题分析 电压电流关系 瞬时值关系有效值关系 容抗的概念相量关系 复容抗与相量图 瞬时值关系 i的幅值大小等于u的幅值乘以 C 电流与电压为同频率的正弦量 在相位上比电压要超前90 有效值关系 定义 具有电阻的量纲 容抗 容抗的性质 是一个随频率变化的量 反映了电容元件上的电流随频率变化的能力 对电流的阻碍能力为无穷大 对直流相当于开路 对电流的阻碍能力为零 对高频交流相当于短路 电容元件的容抗与频率成反比 相量关系 画出相量图 复容抗 欧姆定律的复数形式 功率关系 瞬时功率p有功功率P无功功率Q 瞬时功率 由上式可见 p是一个幅值为UI 并以2的角频率随时间而变化的交变量 其变化波形如下图所示 有功功率 电容元件不消耗功率 无功功率 电容元件不消耗电能 只与电源之间进行能量交换 其能量交换的规模我们用无功功率Q表示 为与电感元件的无功功率进行比较 我们也设电流初相为0 即 由此可见 电容元件的无功功率 如此规定 电容性无功功率要取负值 例题分析 例1 把一个25 F的电容元件接到频率为50Hz 电压有效值为10V的正弦电源上 问电流是多少 如保持电压值不变 而电源频率改为5000Hz 这时电流将为多少 解 当f 50Hz时 当f 5000Hz时 可见 在电压有效值一定时 频率愈高 则通过电容元件的电流有效值愈大 例2 在图示正弦交流电路中 已知表 的读数为 5A 表 的读数 1 4A 试求各电路中的表 的 2 因为两条支路元件性质相同 所以 电流同相 因为两条支路元件性质相反 所以 电流反相 因为两条支路元件性质相同 所以 电流同相 因为两条支路元件性质相同 所以 电流同相 小结 电压电流关系 小结 功率关系 R L C串联电路的正弦响应 电压电流关系阻抗与复阻抗功率与功率因数例题分析 电压电流关系 瞬时值关系 由KVL得 电压电流关系 同频率的正弦量相加 所得出的仍为同频率的正弦量 KVL的相量表达式 相量关系 电压电流关系 通过相量图计算 由电压相量组成一个直角三角形 称为电压三角形 利用这个电压三角形 可求得电源电压的有效值 与电流间的相位差 电压超前于电流 电压电流关系 电压三角形 阻抗与复阻抗 由 定义 它具有电阻的量纲 表示电路元件对电流的阻碍作用 阻抗 阻抗与复阻抗 可见 Z R XL Xc之间也满足三角形关系 阻抗三角形 阻抗与复阻抗 定义 复阻抗 仍具有电阻的量纲 欧姆定律的复数表达式 复数形式的欧姆定律 如果把前面的单一元件的电压电流关系都归入欧姆定律的相量形式 则 阻抗与复阻抗 与电路元件的参数有关 其值决定了电路的性质 电抗 电抗 讨论 在RLC串联电路中 当R 0时 感抗XL与容抗XC的大小对于电路性质的影响 电路中的电流将滞后于电路的端电压 在这种电路中电感的作用比电容的作用大 称为电感性电路 UL UC 讨论 电路中的电流将超前于电路的端电压 在这种电路中电容的作用比电容的作用大 称为电容性电路 UL UC 讨论 这种由于电路中感抗的作用和容抗的作用相互抵消 电路内出现的这种纯电阻性现象称为谐振 电路中的电流与电路的端电压同相 在这种电路呈电阻性 XL XC X XL XC 0 UL UC 等效阻抗 对于本节的交流串联电路也可以求出其等效阻抗 瞬时功率 瞬时功率 消耗和吸收功率 释放功率 有功功率P 只有电阻消耗功率 无功功率Q 可见 有功功率和无功功率分别与R和X对应 即 电阻消耗功率 电抗交换功率 视在功率 定义 单位为伏安 VA 或 KVA 视在功率 视在功率 由视在功率 有功功率和无功功率也可以组成一个三角形 画出如下 视在功率也称为设备的容量 功率三角形 功率三角形 功率因数 功率因数 例题分析 例1 有一电阻为20 电感为250mH的电感线圈与40 电阻和28 F的电容器相串联后 外接220V 50Hz的正弦交流电源 如图所示 求该电路的电流和各元件的电压 设电压的初相位为零画出相量图并写出各电压电流的瞬时值表达式 分析 求该电路的电流和各元件的电压 设电压的初相位为零画出相量图并写出各电压电流的瞬时值表达式 例题分析 相量表示 例题分析 例题分析 因为题中假设电压初相为零 例题分析 同理 例题分析 解毕 例题分析 例2日光灯示意图如图 已知灯管电阻R 530 镇流器参数r 120 L 1 9H 电源电压U 220V 求 I U1 U2 电路功率因数cos 问 U U1 U2 分析 例题分析 可见 220 152 14 132 5 U U1 U2 例题分析 正弦交流电路的频率响应 频率特性的概念和定义RC电路的频率特性RLC电路的频率特性 频率特性的概念和定义 如果电源的频率发生变化 则上述各量都会发生变化 所以 我们称其随频率变化的关系为频率特性 对于线性电路 当激励 输入 为正弦量 稳态时 响应 输出 亦为同频率的正弦量 激励 响应 频率特性的定义 Y和 y随f变化 频率特性的定义 定义 频率特性 幅频特性 相频特性 频率特性的定义 激励与响应的幅值之比 激励与响应的相位差 相频特性 幅频特性 频率特性 RC电路的频率特性 输出 低通滤波 高通滤波 输入 低通滤波电路 激励 响应 低通滤波电路 低通滤波电路 相频特性 幅频特性 低通滤波电路 低通滤波电路 画出频率特性曲线如下 即当输出电压下降到输入电压的70 7 时 两者的相位差为 4 0称为截止角频率 在相位上 滞后于 画出相量图 高通滤波电路 激励 响应 高通滤波电路 高通滤波电路 当 从 的时候 同样可以得出下表 高通滤波电路 0 1 RC称为高通滤波器的截止频率 在相位上 越前于 画出频率特性如下 特点 例题分析 如图为某振荡器的部分电路 试证明当f f0 1 2 RC 时 输入电压与输出电压同相 且幅频特性的数值为1 3 该电路是一个RC串并联电路 要输出电压和输入电压同相 则分压公式中分压比应为常数 即 中 为纯电阻性 例题分析 因为 当 就有u1与u2同相 而且 RLC电路的频率特性 每一个电路都有自己的频率特性 而且 在不同的激励和响应下 其频率特性也不相同 在RLC串联电路中 最具特色的频率特性是电压与电流之间的频率特性 如果我们以电源电压为激励 电路中的电流为响应 则可得到其幅值与相位间关系的频率特性 找出其中的特殊现象 谐振 谐振的定义 在含有电感电容元件的电路中 如果满足某种条件使电路的电压和电流同相 整个电路呈电阻性 功率因数为1 我们把电路的这种状态称为谐振状态 简称谐振 串联谐振并联谐振 串联谐振 RLC串联谐振的条件 或 电源电压u与电路中的电流i同相 电路发生谐振 谐振条件 谐振频率 谐振角频率 谐振是电路本身的特性 所以 要使电路达到谐振可以通过调节电路参数和电源频率来实现 如 调节L C或者电源的频率f RLC串联谐振的特点 因为串联谐振发生在XL XC处 所以 谐振时电路的阻抗最小 呈电阻性 由于阻抗最小 所以 在电压有效值一定时 电路中电流获得最大值 如果电路中电阻很小 则总电流会很大 如果 由于电感上的电压和电容上的电压远远大于电源电压 所以 我们称串联谐振为电压谐振 注意 电力工程中应避免串联谐振的发生 为了衡量电路中元件电压比电源电压高出多少 我们引入了品质因数Q 定义 可见 Q值越高 电容 电感 元件两端的电压比电源电压高的越多 R越小 Q值就越大 谐振时 电路呈电阻性 所以 电源供给的能量全部被电阻消耗 所以 电路中 cos 1 电路和电源之间没有能量的交换 电路中的能量的交换电感与电容之间进行 画出电路的幅频特性如下 设 U 一定 则曲线见右图所示 串联谐振的应用 串联谐振在无线电工程中应用广泛 利用谐振的选择性对所需频率的信号进行选择和放大 而对其它不需要的频率加以抑制 为通频带 谐振选频的说明 等效电路 无线电信号经天线接受 由L1耦合到L上 LC经谐振选择使某个电波信号与谐振频率f0相同进行选择 当谐振曲线比较尖锐 Q大 时 被选择信号比其相邻的信号相对大得多 而Q小则选择性差 并联谐振 电容器与线圈的并联电路 其等效阻抗为 通常要求电阻很小 谐振时一般有 L R 则上式为 上式分母中虚部为零时产生谐振 可得谐振频率为 即 与串联谐振频率近似相等 并联谐振的特征 1 由阻抗公式 谐振时电路的阻抗为达到最大值 比非谐振时要大 在电源电压一定的情况下 电路中的谐振电流有最小值 即 例如 若已知C 0 02 F L 20 H R 5 可见 在一个只有5 电阻的电路中 谐振时可呈现2000 的电阻 3 各并联支路电流为 2 电路的总电压与电流相位相同 0 呈现电阻性 于是 因此 并联谐振也称电流谐振 IC或I1与总电流I0的比值为并联谐振电路的品质因数 4 电路谐振时阻抗最大 得到的谐振电压也最大 而在非谐振时 则电路端电压较小 这种特性也具有选频作用 且Q越大选频作用越强 功率因数的提高 功率因数提高的意义提高功率因数的方法应用举例 功率因数提高的意义 1 使电源容量得到充分利用 2 减小输电线上的电压降和功率损耗 提高输电效率 当电源电压U和输送的有功功率P一定时 随着cos 的降低 则输电线上的电流将增加 由于输电线本身具有阻抗 所以 电流的增加将导致阻抗压降的增加 从而使线路上的功率损耗增加 即使 提高功率因数的方法 因为通常情况下 供电系统的功率因数低主要是由于电感负载造成的 而电感负载的电流滞后电压 使电路中存在一个滞后电压900的无功电流分量 因此 提高电路 而非负载 的功率因数的方法就是 在感性负载两端并联电容器 同步补偿机 产生一个超前于电压900的无功电流分量 以补偿滞后电压900的无功电流分量 使线路上的总电流减小 并联电容器提高功率因数的分析与计算 如图为电感性负载 其功率因数为 cos 1 为了降电路的功率因数提高到cos 2 特并联电容 画出电路的相量图 从相量图可见 并联电容器后 总电流由原来的IRL变成了I 其幅值减小了 而且与电压的相位差也由原来的 1减小为 2 所以 电路的功率因数也得到了提高 oos 1 cos 2 但是必须注意 1 并联电容器前后 原负载支路的工作状态没有任何变化 负载电流仍然是IRL 负载的功率因数也仍然是cos 1 所以 提高功率因数是就整个电路对原电路而言的 2 线路总电流的减小是由于并联电容后总电流的无功功率减小的结果 而电流的有功分量在并联电容后并无改变 所以 如果已知需要提高的功率因数cos 2 就可以从相量图中求出所需要的并联电容的大小 从相量图上可见 所以 应用举例 例1单相感应电动机接到50Hz 220V供电线上 吸收电功率700W 功率因数cos 1 0 7 今并联一电容器以提高电路的功率因数至0 9 求所需电容 解 因为U 220V 求出未补偿时的电流I1和补偿后的电流I2如下 所以 单位电容减小的电流为 如果想再提高功率因数为1 则有 当提高功率因数为1时总电流为 比较可见 当功率因数越高时 要再提高功率因数 则所需的电容量就越大 而减小的电流也越少 所以 提高功率因数的效率就越低 所以 通常我们并不要求把电路的功率因数提高到1 例题分析 R1 3 R2 8 XL 4 XC 6 求 1 i i1 i2 2 P 解 分析 已知 因为一直端电压和支路阻抗 所以可以求出支路电流