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24.1.4 圆周角 市直中学 张小彩教学目标 1了解圆周角的概念 2理解圆周角的定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半 3理解圆周角定理的推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90的圆周角所对的弦是直径 重难点、关键 1重点:圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题 2难点:运用数学分类思想证明圆周角的定理 3关键:探究圆周角的定理的存在 教学过程 一、复习引入 (学生活动)请同学们口答下面两个问题 1什么叫圆心角? 2圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢? 老师点评:(1)我们把顶点在圆心的角叫圆心角 (2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对的其余各组量都分别相等 刚才讲的,顶点在圆心上的角,有一组等量的关系,如果顶点不在圆心上,它在其它的位置上?如在圆周上,是否还存在一些等量关系呢?这就是我们今天要探讨,要研究,要解决的问题 二、探索新知 问题:(见教材84页“?思考”) 1、圆周角的意义. 2、探究圆周角定理 分别量一下右图中弧AB所对的两个圆周角的度数,比较一下,再变动点C在圆周上的位置,圆周角的度数有没有变化?你能发现什么规律? 再分别量出弧AB所对的圆周角和圆心角的度数,比较一下,你有什么发现? 明确: 通过度量,我们可以发现,同弧所对的圆周角是没有变化的 通过度量,我们可以得出,同弧上的圆周角是圆心角的一半 3、 下面,我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半” (1)设圆周角ABC的一边BC是O的直径,如图所示 AOC是ABO的外角 AOC=ABO+BAO OA=OB ABO=BAO AOC=ABO ABC=12AOC (2)如图,圆周角ABC的两边AB、AC在一条直径OD的两侧,那么ABC=12AOC吗?请同学们独立完成这道题的说明过程 老师点评:连结BO交O于D同理AOD是ABO的外角,COD是BOC的外角,那么就有AOD=2ABO,DOC=2CBO,因此AOC=2ABC (3)如图,圆周角ABC的两边AB、AC在一条直径OD的同侧,那么ABC=12AOC吗?请同学们独立完成证明 老师点评:连结OA、OC,连结BO并延长交O于D,那么AOD=2ABD,COD=2CBO,而ABC=ABD-CBO=12AOD-12COD=12AOC 现在,我如果在画一个任意的圆周角ABC,同样可证得它等于同弧上圆心角一半,因此,同弧上的圆周角是相等的 从(1)、(2)、(3),我们可以总结归纳出圆周角定理: 在同圆或等圆中,同弧等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半 进一步,我们还可以得到下面的推论: 半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90的圆周角所对的弦是直径 4、(1)圆内接多边形及多边形的外接圆概念 (2)圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补。 因为A = 12BOD , = 12优角, 又因为+优角=360度 所以,A+C=180度 OBACDOBACD 例2(见教材86页) 三、巩固练习 教材P86 练习1、2 四、课堂小结 本节课应掌握: 1、圆周角的概念; 2、圆周角的定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都相等这条弧所对的圆心角的一半; 3、半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90的圆周角所
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