二重积分的计算法PPT课件

三 二重积分的换元法 第二节 一 利用直角坐标计算二重积分 二 利用极坐标计算二重积分 机动目录上页下页返回结束 二重积分的计算法 第九章 一 利用直角坐标计算二重积分 二重积分定义为积分和式的极限 如果直接用二重积分的定义去计算它的值 是相当困难的 甚至是不可能的 下面我们根据二重积分的几何意义 曲顶柱体的体积来导出二重积分的计算方法 这个方法就是把二重积分的计算转化为接连计算两次定积分 即二次积分 A x dV A x dx x 已知平行截面面积为A x 的立体 a V 复习 平行截面面积为已知的立体的体积 b 二重积分的计算 D是矩形区域 y a b c d D D是矩形区域 a b c d z f x y y a b c d D D是矩形区域 z f x y 问题 Q y 是什么图形 是曲边梯形 二重积分的计算 D是矩形区域 y a b c d D Q y 同理 也可以先对y积分 z f x y D是矩形区域 a b c d 二重积分的计算 D是矩形区域 c d D z f x y x y x y y D y x y c y d 二重积分的计算 D是曲线梯形区域 c d D z f x y x y x y y 问题 Q y 是什么图形 D y x y c y d 也是曲边梯形 Q y I 二重积分的计算 D是曲线梯形区域 x y y c d D D y x y c y d Q y 二重积分的计算 D是曲线梯形区域 x y z f x y 如果积分区域为 其中函数 在区间上连续 直角坐标系下计算二重积分 X 型 设函数在区域上连续 且当时 如果区域是由直线 与曲线所围成 X型区域 如下图 即 若D是X型区域 则积分先Y后X 通常写成 把计算二重积分的问题化为计算两次定积分的问题 x看作是常量 y是积分变量 这是先对 后对的两次积分 适合于型区域 第二次积分时计算 x是积分变量 第一次计算定积分 D 如果积分区域为 Y 型 类似地 如果D是Y型区域 可用垂直于轴的平面去截曲顶柱体 此时D为 这是先对 后对的两次积分 如果去掉以上结论中关于的限制 则上述结论仍是成立的 几点说明 则 若区域D是一个矩形 上面所讨论的积分区域D是X型或Y型区域 则 例如 若不满足这个条件 可将D分块 再应用积分的分域可加性来计算 D1 D2 D3 由于二重积分归结于计算两个定积分 因此计算重积分本身没有新困难 对于初学者来说 感到困难的是如何根据区域D去确定两次积分的上 下限 建议 先将区域D的图形画出 再写出区域D上的点的坐标所要满足的不等式以确定积分的上 下限 解 积分区域如图 如果积分区域既是X 型又是Y 型的 则重积分既可以转化为先对x后对y的 也可以转化为先y后x的二次积分 累次积分 解 积分区域如图 例1计算二重积分 其中为矩形 解1先积再积 解2先积再积 例2计算二重积分 其中区域为矩形 解因为 所以 或先积再积 解 椭圆区域可表示为 因此 例3计算二重积分 其中积分区域D为四分之一椭圆 例4计算二重积分 其中是由三条线所围成的区域 解易知积分区域可表为 于是 解 先画出区域D的图形 因为 例5 计算 其中D是抛物线 所围成的闭区域 解 为计算简便 先对x后对y积分 及直线 则 机动目录上页下页返回结束 例6 计算 其中D是直线 所围成的闭区域 解 由被积函数可知 因此取D为X 型域 先对x积分不行 说明 有些二次积分为了积分方便 还需交换积分顺序 机动目录上页下页返回结束 例7 交换下列积分顺序 解 积分域由两部分组成 视为Y 型区域 则 机动目录上页下页返回结束 例8 计算 其中D由 所围成 解 令 如图所示 显然 机动目录上页下页返回结束 解 解 二重积分在直角坐标下的计算公式 在积分中要正确选择积分次序 二 小结 Y 型 X 型 2 1 D D 怎么计算 需使用极坐标系 此题用直角系算麻烦 必须把D分块儿 D4 D3 D1 D2 所以 用若直角坐标来计算 无法求出 例如 计算二重积分 需使用极坐标系 积分的变量代换是计算积分的一个有效方法 对二重积分也有类似的方法 在这类方法中极坐标变换 最为常用 下面介绍怎样利用极坐标变换来计算二重积分 在二重积分的计算中 如果积分域是圆域或部分圆域 被积函数为形式 利用极坐标变换来计算二重积分会十分方便 二 利用极坐标计算二重积分 机动目录上页下页返回结束 对应有 在极坐标系下 用同心圆r 常数 则除包含边界点的小区域外 小区 在 内取点 及射线 常数 分划区域D为 机动目录上页下页返回结束 域的面积 即 机动目录上页下页返回结束 下面考虑如何把极坐标系下 的二重积分化为二次积分 分三种情况来讨论 设 则 1 极点在D之外 2 极点在D的边界上 3 设极点D之内 机动目录上页下页返回结束 若f 1则可求得D的面积 思考 下列各图中域D分别与x y轴相切于原点 试 答 问 的变化范围是什么 1 2 机动目录上页下页返回结束 2 1 D D 变换到极坐标系 例1计算 D 1 r 20 2 例2 11 计算 其中 解 在极坐标系下 原式 的原函数不是初等函数 故本题无法用直角 由于 故 坐标计算 机动目录上页下页返回结束 解 注 利用例2 11可得到一个在概率论与数理统计及 工程上非常有用的反常积分公式 事实上 当D为R2时 利用例2 11的结果 得 故 式成立 机动目录上页下页返回结束 解 机动目录上页下页返回结束 2a 解 例2 1 2 y x D 例4 解 解 例10 I 不分块儿行吗 解 不行 2 r 2cos 1 D 例11 将积分化为极坐标形式 r R y Rx D1 D2 R D arctanR I I 解 定积分换元法 三 二重积分换元法 满足 一阶导数连续 雅可比行列式 3 变换 则 定理 变换 是一一对应的 机动目录上页下页返回结束 例2 13试用一般变量代换写出直角坐标变为极坐标的二重积分的公式 解 因为代换式为 则雅可比行列式为 除个别点r 0之外 其他点均有J 0 所以有 例试计算椭球体 解 由对称性 令 则D的原象为 的体积V 内容小结 1 二重积分化为累次积分的方法 直角坐标系情形 若积分区域为 则 若积分区域为 则 机动目录上页下页返回结束 则 2 一般换元公式 且 则 极坐标系情形 若积分区域为 在变换 下 机动目录上页下页返回结束 3 计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便 域边界应尽量多为坐标线 被积函数关于坐标变量易分离 积分域分块要少 累次积分好算为妙 图示法 不等式 先积一条线 后扫积分域 充分利用对称性 应用换元公式 机动目录上页下页返回结束 后积先定限 域内穿射线