2015年全国2卷(理数)

1 2015 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 课标全国 理科数学 注意事项 1 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 答卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在 答题卡上 2 回答第 卷时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净 后 再选涂其他答案标号 写在本试卷上无效 3 回答第 卷时 将答案写在答题卡上 写在本试卷上无效 4 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第 卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 2015 课标全国 理 1 已知集合 A 2 1 0 1 2 B x x 1 x 2 0 则 A B A 1 0 B 0 1 C 1 0 1 D 0 1 2 答案 A 解析 B x 2 x 1 A B 1 0 2 2015 课标全国 理 2 若 a 为实数 且 2 ai a 2i 4i 则 a A 1B 0C 1D 2 答案 B 解析 2 ai a 2i 4a a2 4 i 4i 解之得 a 0 4 0 2 4 4 3 2015 课标全国 理 3 根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量 单位 万吨 柱形图 以下结 论中不正确的是 A 逐年比较 2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B 2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 答案 D 2 解析 由柱形图知 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 故其排放量与年份负相关 故 D 错误 4 2015 课标全国 理 4 已知等比数列 an 满足 a1 3 a1 a3 a5 21 则 a3 a5 a7 A 21B 42C 63D 84 答案 B 解析 由题意知 1 q2 q4 7 解得 q2 2 负值舍去 a3 a5 a7 a1 a3 a5 q2 21 2 42 1 3 5 1 21 3 5 2015 课标全国 理 5 设函数 f x 则 f 2 f log212 1 2 2 1 2 1 1 A 3B 6C 9D 12 答案 C 解析 f 2 1 log24 3 f log212 6 f 2 f log212 9 2 212 1 2 212 21 12 2 6 2015 课标全国 理 6 一个正方体被一个平面截去一部分后 剩余部分的三视图如右图 则截去部分体积与剩 余部分体积的比值为 A B 1 8 1 7 C D 1 6 1 5 答案 D 解析 由题意知该正方体截去了一个三棱锥 如图所示 设正方体棱长为 a 则 V正方体 a3 V截去部分 a3 故截去部分 1 6 体积与剩余部分体积的比值为 a3 a3 1 5 1 6 5 6 7 2015 课标全国 理 7 过三点 A 1 3 B 4 2 C 1 7 的圆交 y 轴于 M N 两点 则 MN A 2B 8C 4D 10 66 答案 C 3 解析 设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0 将点 A B C 代入 得解得 3 10 0 4 2 20 0 7 50 0 2 4 20 则圆的方程为 x2 y2 2x 4y 20 0 令 x 0 得 y2 4y 20 0 设 M 0 y1 N 0 y2 则 y1 y2是方程 y2 4y 20 0 的两根 由根与系数的关系 得 y1 y2 4 y1y2 20 故 MN y1 y2 4 1 2 2 4 1 2 16 80 6 8 2015 课标全国 理 8 下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著 九章算术 中的 更相减损术 执 行该程序框图 若输入的 a b 分别为 14 18 则输出的 a A 0B 2C 4D 14 答案 B 解析 由程序框图 得 14 18 14 4 10 4 6 4 2 4 2 2 则输出的 a 2 9 2015 课标全国 理 9 已知 A B 是球 O 的球面上两点 AOB 90 C 为该球面上的动点 若三棱锥 O ABC 体 积的最大值为 36 则球 O 的表面积为 A 36 B 64 C 144 D 256 答案 C 解析 由 AOB 面积确定 若三棱锥 O ABC 的底面 OAB 的高最大 则其体积才最大 因为高最大为半径 R 所以 VO ABC R2 R 36 解得 R 6 故 S球 4 R2 144 1 3 1 2 10 2015 课标全国 理 10 如图 长方形 ABCD 的边 AB 2 BC 1 O 是 AB 的中点 点 P 沿着边 BC CD 与 DA 运 动 记 BOP x 将动点 P 到 A B 两点距离之和表示为 x 的函数 f x 则 y f x 的图像大致为 4 答案 B 解析 当点 P 在线段 BC 上时 如图 x 0 4 PB OBtan x tan x PA 2 2 2 4 所以 f x PB PA tan x 2 4 显然函数 f x 在内单调递增 0 4 故 f 0 f x f 即 2 f x 1 4 5 取线段 CD 的中点 E 当点 P 在线段 CE 上时 x 4 2 如图 过点 P 作 PH AB 垂足为 H 则 OH BH 1 1 1 所以 PB 2 2 12 1 1 2 PA 2 2 12 1 1 2 所以 f x PB PA 所以 f x 在上单调递减 1 1 1 2 1 1 1 2 4 2 当点 P 在点 E 处 f x PB PA 20 b 0 点 M 在右支上 2 2 2 2 如图所示 ABM 120 过点 M 向 x 轴作垂线 垂足为 N 则 MBN 60 AB BM 2a MN 2asin 60 a BN 2acos 60 a 3 点 M 坐标为 2a a 代入双曲线方程 1 整理 得 1 即 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 e2 1 2 e 2 2 2 12 2015 课标全国 理 12 设函数 f x 是奇函数 f x x R 的导函数 f 1 0 当 x 0 时 xf x f x 0 成立的 x 的取值范围是 A 1 0 1 B 1 0 1 C 1 1 0 D 0 1 1 答案 A 解析 当 x 0 时 令 F x 则 F x 0 时 F x 为减函数 2 f x 为奇函数 且由 f 1 0 得 f 1 0 故 F 1 0 在区间 0 1 上 F x 0 在 1 上 F x 0 即当 0 x0 当 x 1 时 f x 0 当 x 1 0 时 f x 0 的解集为 1 0 1 故选 A 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须做答 第 22 题 第 24 题 为选考题 考生根据要求做答 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 13 2015 课标全国 理 13 设向量 a b 不平行 向量 a b 与 a 2b 平行 则实数 6 答案 1 2 解析 由题意知存在常数 t R 使 a b t a 2b 得解之得 1 2 1 2 14 2015 课标全国 理 14 若 x y 满足约束条件则 z x y 的最大值为 1 0 2 0 2 2 0 答案 3 2 解析 由约束条件画出可行域 如图中的阴影部分所示 由可行域可知 目标函数 z x y 过点 B 取得最大值 联立得 B 2 0 2 2 0 1 1 2 zmax 1 1 2 3 2 15 2015 课标全国 理 15 a x 1 x 4的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32 则 a 答案 3 解析一 1 x 4 x4 x3 x2 x x0 x4 4x3 6x2 4x 1 3 4 2 4 1 4 0 4 a x 1 x 4的奇数次幂项的系数为 4a 4a 1 6 1 32 a 3 解析二 设 a x 1 x 4 b0 b1x b2x2 b3x3 b4x4 b5x5 令 x 1 得 16 a 1 b0 b1 b2 b3 b4 b5 令 x 1 得 0 b0 b1 b2 b3 b4 b5 由 得 16 a 1 2 b1 b3 b5 即 8 a 1 32 解得 a 3 16 2015 课标全国 理 16 设 Sn是数列 an 的前 n 项和 且 a1 1 an 1 SnSn 1 则 Sn 答案 1 解析 由 an 1 Sn 1 Sn SnSn 1 得 1 即 1 则为等差数列 首项为 1 公差为 d 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n Sn 1 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 7 17 本小题满分 12 分 2015 课标全国 理 17 ABC 中 D 是 BC 上的点 AD 平分 BAC ABD 面积是 ADC 面积的 2 倍 1 求 2 若 AD 1 DC 求 BD 和 AC 的长 2 2 解 1 S ABD AB ADsin BAD 1 2 S ADC AC ADsin CAD 1 2 因为 S ABD 2S ADC BAD CAD 所以 AB 2AC 由正弦定理可得 1 2 2 因为 S ABD S ADC BD DC 所以 BD 2 在 ABD 和 ADC 中 由余弦定理知 AB2 AD2 BD2 2AD BDcos ADB AC2 AD2 DC2 2AD DCcos ADC 故 AB2 2AC2 3AD2 BD2 2DC2 6 由 1 知 AB 2AC 所以 AC 1 18 本小题满分 12 分 2015 课标全国 理 18 某公司为了解用户对其产品的满意度 从 A B 两地区分别随机调 查了 20 个用户 得到用户对产品的满意度评分如下 A 地区 62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区 73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 1 根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图 并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程 度 不要求计算出具体值 给出结论即可 2 根据用户满意度评分 将用户的满意度从低到高分为三个等级 满意度评 分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等 级 不满意满意非常满意 8 记事件 C A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级 假设两地区用户的评价结果相互独立 根 据所给数据 以事件发生的频率作为相应事件发生的概率 求 C 的概率 解 1 两地区用户满意度评分的茎叶图如下 通过茎叶图可以看出 A 地区用户满意度评分的平均值高于 B 地区用户满意度评分的平均值 A 地区用户 满意度评分比较集中 B 地区用户满意度评分比较分散 2 记 CA1表示事件 A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意 CA2表示事件 A 地区用户的满意度等级为非常满意 CB1表示事件 B 地区用户的满意度等级为不满意 CB2表示事件 B 地区用户的满意度等级为满意 则 CA1与 CB1独立 CA2与 CB2独立 CB1与 CB2互斥 C CB1CA1 CB2CA2 P C P CB1CA1 CB2CA2 P CB1CA1 P CB2CA2 P CB1 P CA1 P CB2 P CA2 由所给数据得 CA1 CA2 CB1 CB2发生的频率分别为 16 20 4 20 10 20 8 20 故 P CA1 P CA2 P CB1 P CB2 P C 0 48 16 20 4 20 10 20 8 20 10 20 16 20 8 20 4 20 19 本小题满分 12 分 2015 课标全国 理 19 如图 长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB 16 BC 10 AA1 8 点 E F 分 别在 A1B1 D1C1上 A1E D1F 4 过点 E F 的平面 与此长方体的面相交 交线围成一个正方形 1 在图中画出这个正方形 不必说明画法和理由 2 求直线 AF 与平面 所成角的正弦值 解 1 交线围成的正方形 EHGF 如图 2 作 EM AB 垂足为 M 则 AM A1E 4 EM AA1 8 因为 EHGF 为正方形 所以 EH EF BC 10 于是 MH 6 所以 AH 10 2 2 9 以 D 为坐标原点 的方向为 x 轴正方向 建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz 则 A 10 0 0 H 10 10 0 E 10 4 8 F 0 4 8 10 0 0 0 6 8 设 n x y z 是平面 EHGF 的法向量 则 0 0 即 10 0 6 8 0 所以可取 n 0 4 3 又 10 4 8 故 cos 4 5 15 所以 AF 与平面 EHGF 所成角的正弦值为 4 5 15 20 本小题满分 12 分 2015 课标全国 理 20 已知椭圆 C 9x2 y2 m2 m 0 直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标 轴 l 与 C 有两个交点 A B 线段 AB 的中点为 M 1 证明 直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值 2 若 l 过点 延长线段 OM 与 C 交于点 P 四边形 OAPB 能否为平行四边形 若能 求此时 l 的斜率 若不能 3 说明理由 解 1 设直线 l y kx b k 0 b 0 A x1 y1 B x2 y2 M xM yM 将 y kx b 代入 9x2 y2 m2得 k2 9 x2 2kbx b2 m2 0 故 xM yM kxM b 1 2 2 2 9 9 2 9 于是直线 OM 的斜率 kOM 即 kOM k 9 9 所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值 2 四边形 OAPB 能为平行四边形 因为直线 l 过点 3 所以 l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k 0 k 3 由 1 得 OM 的方程为 y x 9 设点 P 的横坐标为 xP 由 9 9 2 2 2 得 2 2 2 9 2 81 即 xP 3 2 9 将点的坐标代入 l 的方程得 b 3 3 3 因此 xM 3 3 2 9 10 四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分 即 xP 2xM 于是 2 3 2 9 3 3 2 9 解得 k1 4 k2 4 77 因为 ki 0 ki 3 i 1 2 所以当 l 的斜率为 4 或 4 时 四边形 OAPB 为平行四边形 77 21 本小题满分 12 分 2015 课标全国 理 21 设函数 f x emx x2 mx 1 证明 f x 在 0 单调递减 在 0 单调递增 2 若对于任意 x1 x2 1 1 都有 f x1 f x2 e 1 求 m 的取值范围 解 1 f x m emx 1 2x 若 m 0 则当 x 0 时 emx 1 0 f x 0 若 m0 f x 0 当 x 0 时 emx 10 所以 f x 在 0 单调递减 在 0 单调递增 2 由 1 知 对任意的 m f x 在 1 0 单调递减 在 0 1 单调递增 故 f x 在 x 0 处取得最小值 所以对于任意 x1 x2 1 1 f x1 f x2 e 1 的充要条件是 1 0 1 1 0 1 即 1 1 设函数 g t et t e 1 则 g t et 1 当 t 0 时 g t 0 时 g t 0 故 g t 在 0 单调递减 在 0 单调递增 又 g 1 0 g 1 e 1 2 e1 时 由 g t 的单调性 g m 0 即 em m e 1 当 m0 即 e m m e 1 综上 m 的取值范围是 1 1 请考生在第 22 23 24 题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题记分 做答时请写清题号 22 本小题满分 10 分 2015 课标全国 理 22 选修 4 1 几何证明选讲 如图 O 为等腰三角形 ABC 内一点 O 与 ABC 的底边 BC 交于 M N 两点 与底边上的高 AD 交于点 G 且与 AB AC 分别相切于 E F 两点 11 1 证明 EF BC 2 若 AG 等于 O 的半径 且 AE MN 2 求四边形 EBCF 的面积 3 解 1 由于 ABC 是等腰三角形 AD BC 所以 AD 是 CAB 的平分线 又因为 O 分别与 AB AC 相切于点 E F 所以 AE AF 故 AD EF 从而 EF BC 2 由 1 知 AE AF AD EF 故 AD 是 EF 的垂直