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第六章线性空间 1集合 映射 2线性空间的定义与简单性质 3维数 基与坐标 4基变换与坐标变换 5线性子空间 6子空间的交与和 7子空间的直和 8线性空间的同构 习题课 一 基本内容 二 主要方法 习题课2 四 习题选讲 三 疑难解答 一 基本内容 1 子空间 解空间 生成子空间 子空间的交与和 维数公式 余子空间 子空间的直和 2 线性空间同构的定义与性质 重点 子空间的和 难点 子空间的直和 3 子空间直和的判定或证明 2 解空间 生成子空间基与维数的确定 4 线性空间同构的判定或证明 1 子空间的判定或证明 二 主要方法 三 疑难解答 1 判断下列子集是否为给定线性空间的子 空间 并说明其几何意义 解 先来判断W1 设 x1 y1 z1 W1 则有 又设k R 因为 所以k W1 即W1 对于数量乘法不封闭 所以W1不是线性空间 其 几何意义是 集合W1由直线 上的点组成 若向量 x1 y1 z1 的终点P1在 直线上 则向量k kx1 ky1 kz1 终点P2不在 直线上 如图6 4所示 x o y z P1 x1 y1 z1 P2 kx1 ky1 kz1 k 图6 4 再来判断W2 设 1 x1 y1 z1 W2 2 x2 y2 z2 W2 k R 则有 由上面两组等式 可得 这说明 1 2 x1 x2 y1 y2 z1 z2 W2 也即集合W2对加法运算封闭 下面再来验证W2对 数量乘法也是封闭的 由等式 可得 这说明 若 1 W2则k 1 W2即W2对数量乘法 也是封闭的 所以W2是线性空间 其几何意义是 W2是由直线L上的点组成 由于L过原点 所以L上的任意两个向量的和向量 还在L上 L上的任一个向量的倍向量也还在L上 如图6 5所示 x o y z 图6 5 x y 0 x y z 0 k 1 1 2 1 2 2 证明集合 W 0 x2 x3 xn x2 x3 xn R 是Rn的子空间 并求它的一组基 确定它的维 解 任取 1 0 a2 a3 an W 1 0 b2 b3 bn W k R为任意实数 因为 1 1 0 a2 b2 a3 b3 an bn W k 1 0 ka2 ka3 kan W 即W对加法和数量乘法都是封闭的 所以W是Rn 的线性子空间 取 e2 0 1 0 0 e3 0 0 1 0 en 0 0 0 1 显然e2 e3 en W 且线性无关 又因为W中 任一向量 0 a2 a3 an 有 a2e2 a3e3 anen 所以e2 e3 en即为W的一组基 W的维是 n 1 3 设V为数域P上的线性空间 为V 的一组基 且 求的一组基 并把它扩充为V的一组基 则向量组与矩阵A的列向量组具有相同 线性相关性 所以可对矩阵A作初等行变换化阶梯 阵来求向量组的一个极大无关组 从而 求出生成子空间的维数与一组基 若为V的一组基 令对A作初等行变换 解 则线性无关 从而为V的一组基 又 由B知 A的列向量线性无关 从而 线性无关 故为的一组基 与 的解空间 则就是齐次线性方程组 4 在中 用分别表示齐次线性方程组 的解空间 证 设方程组 分别为 即 设W为 的解空间 任取 有 从而 反之 任取 则有 从而 故 5 在中 令 求及 易知 皆为的子空间 解 任取 由有 由有 故 从而 再求 因为 所以 6 在R3中 设 证明 7 数域P上的空间P2 2与P4同构 其同 构映射为 设P4的一组基为e1 1 0 0 0 e2 0 1 0 0 e3 0 0 1 0 e4 0 0 0 1 则可得P2 2的一组 基为 2 证明 复数域C看成R上的线性空间与W同构 8 设集合 1 证明 W为的子空间 并求出W的维数 与一组基 并写出一个同构映射 2 对应 答案 1 为W的一组基 是C到W的一个同构映射 四 习题选讲2 2 求C A 的基与维数 习题14 例4 设集合 1 证明C A 为的子空间 1 证 故 C A 为的子空间 所以 对任意 2 解 由于 任取 则 即 根据矩阵相等的定义可得9元线性方程组 解之得 为自由未知量 分别令其中之一等于1 其余为0 得 的一个基础解系 令 则线性无关 且任一 均可由线性表出 故 维C A 5 就是的一组基 证明 维 维 维 维 秩 秩 维 证明 因为 所以 维 维 维 维 维 维 或 维 维 维 当 由于 因此 故 当 由于 因此 故 例10 证明 每一个n维线性空间都可以表成个一n维子空间的直和 习题21 例11 证明 和是直和 习题22 作成实数域R上的线性空间 把实数域R看成是自身上的线性空间 例12 全体正实数R 关于加法 与数量乘法 证明 并写出一个同构映射 证 作对应 易证为的1 1对应 且对有 所以 为的同构映射 故 另法 作对应 易证 为的1 1对应 而且也为同构映射 事实上 为的逆同构映射 证 设秩 A r 不失一般性 设A的前r列线 性无关 并将这r列构成的矩阵记为A1 其余s r列 构成的矩阵记为A2 则A A1 A2 且 秩 A1 秩 A r 设即 下证线性无关 是V的一组基 又秩 A1 r 方程组 只有零解 即 线性无关 从而 任取 将A的第j列添在A1