质量工程师备考辅导中级质量专业理论与实务精讲一

中级质量专业理论与实务精讲（一）第一讲概率基础知识一、考试要求1. 掌握随机现象与事件的概念2. 熟悉事件的运算(对立事件、并、交与差)3. 掌握概率是事件发生可能性大小的度量的概念二、主要考点事件的运算三、内容讲解一、事件与概率(一)随机现象在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。抛硬币、掷骰子是两个最简单的随机现象的例子。抛一枚硬币，可能出现正面，也可能出现反面，至于哪一面出现，事先并不知道。又如掷一颗骰子，可能出现1点到6点中某一个，至于哪一点出现，事先也不知道。从这个定义中可以看出，随机现象有两个特点：(1) 随机现象的结果至少有两个;(2) 至于哪一个出现，事先并不知道。只有一个结果的现象称为确定性现象。例如，太阳从东方出，同性电荷相斥，异性电荷相吸，向上抛一石子必然下落等。例1.1-1 以下是随机现象的另外一些例子：(1) 一天内进入某超市的顾客数;(2) 一顾客在超市中购买的商品数;(3) 一顾客在超市排队等候付款的时间;(4) 一棵麦穗上长着的麦粒数;(5) 新产品在未来市场的占有率;(6) 一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间;(7) 加工某机械轴的误差;(8) 一罐午餐肉的重量。可见，随机现象在质量管理中随处可见。认识一个随机现象首先要知道它的一切可能发生的基本结果。这里的基本结果称为样本点，随机现象一切可能样本点的全体称为这个随机现象的样本空间，常记为 。“抛一枚硬币”的样本空间 =正面、反面;“抛一颗骰子”的样本空间 =1，2，3，4，5，6;“一顾客在超市中购买商品件数”的样本空间 =0，1，2，;“一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间”的样本空间 =0，1，2，;“测量某物理量的误差 ”的样本空间 。(二)随机事件随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件，常用大写字母A、B、C等表示。如在掷一颗骰子，“出现奇数点”是一个事件。他由1点、3点、5点共三个样本点组成，若记这个事件为A，则有A=1，3，5。同样“出现偶数点”是一个事件。他由2点、4点、6点共三个样本点组成，若记这个事件为B，则有B=2，4，6。1.随机事件的特征从随机事件的定义可见，事件有如下几个特征：(1)任一事件A是相应样本空间中的一个子集。一般我们用维恩(Venn)。(2)事件A发生当且仅当A中某一样本点发生。(3)事件A的表示可用集合，也可用语言，但所用语言必须是准确无误的。(4)任一样本空间 都有一个子集，这个子集就是 ，它对应的事件称为必然事件，仍然用 表示。比如掷一颗骰子，“出现点数不超过6”就是一个必然事件，因为它含有 =1,2,3,4,5,6中所有样本点。(5)任一样本空间 都有一个最小子集，这个最小子集就是空集，它对应的事件称为不可能事件，记为 。例1.1-2 若产品只区分合格与不合格，并记合格品为“0”，不合格品为“1”。则检查两件产品的样本空间 由下列四个样本点组成。=(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)其中样本点(0，1)表示第一件产品为合格品，第二件产品为不合格品，其他样本点可以类似解释。下面几个事件可用集合表示，也可以用语言表示。A=“至少有一件合格品”=(0，0)，(0，1)，(1，0);B=“至少有一件不合格品”=(1，0)，(0，1)，(1，1);C=“恰好有一件合格品”=(0，1)，(1，0);=“至多有两件合格品”=(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1);=“有三件不合格品”。现在我们来考察“检查三件产品”这个随机现象，且合格品仍记为“0”，不合格品记为“1”。它的样本空间 含有8= 个样本点。=(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(0，1，1)，(1，0，0)，(1，0，1)，(1，1，0)，(1，1，1)下面几个事件可用集合表示，也可以用语言表示。A=“至少有一件合格品”= 中剔去(1，1，1)的其余7个样本点;B=“至少有一件不合格品”= 中剔去(0，0，0)的其余7个样本点;C=“恰有一件不合格品”=(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0);D=“恰有两件不合格品”=(0，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0);E=“全是不合格品”=(1，1，1);F=“没有不合格品”=(0，0，0，)。2.随机事件之间的关系在一个随机现象中常会遇到许多事件，它们之间有下列三种关系。(1)包含：在一个随机现象中有两个事件A与B，若事件A中任一个样本点必在事件B中，则称事件A被包含在事件B中，或事件B包含事件A。特别对任一事件A有 。(2)互不相容：在一个随机现象中有两个事件A与B，若事件A与B没有相同的样本点，则称事件A与B互不相容。这时事件A与B不可能同时发生。(3)相等：在一个随机现象中有两个事件A与B，若事件A与 B含有相同的样本点，则称事件A与B相等，记为A=B。若 ，则A=B;反之，如果A=B，则 。(三)事件的运算1.事件的运算的分类事件的运算有下列四种。(1)对立事件：在一个随机现象中， 是样本空间，A为事件，由属于 而不属于A中的样本点组成的事件称为A的对立事件，记为 。特别地，必然事件 与不可能事件 互为对立事件。(2)事件的并：由事件A与B中所有的样本点(相同的只计入一次)组成的新事件称为A与B并，记为 。并事件 发生意味着“事件A与B中至少有一个发生”。显然有：略 略若 ，则 。特别地。(3)事件的交：由事件A与B共的样本点组成的新事件称为事件A与B的交，记为 或AB。交事件 发生意味着“事件A与B同时发生”。显然有：略;若 ，特别地 ;若 。注：事件的交和并可推广到更多个事件的情形。(4)事件的差：由属于事件A而不属于事件B的样本点组成的新事件称为A对B的差，记为A-B，表示事件A发生而事件B不发生的事件。显然，B-A，表示B对A的差，一般 。显然有：不要求 ，才有 ，若 ;若 ;略; (证明： )2.事件的运算性质事件的运算具有如下性质：(1)交换律：略(2)结合律：略(3)分配律：略(4)对偶律：略以上性质都可用维恩图加以验证，这些性质都可推广到更多个事件运算上去。例1.1-3 设A、B、C为任意三个事件，试用A、B、C的运算关系表示下列各事件：三个事件中至少一个发生 没有一个事件发生 (由对偶律)恰有一个事件发生 至多有两个事件发生(考虑其对立事件)至少有两个事件发生(四)概率所谓概率，就是事件发生可能性大小的度量。虽然随机事件的发生与否是带有偶然性的，但是随机事件发生的可能性大小还是有大小之别的，是可以度量的。实际上，在生活、生产和经济活动中，人们也常关心一个随机事件发生的可能性大小。例如：(1)抛一枚均匀的硬币，出现正面与出现反面的可能性各为1/2。(2)某厂试制成功一种新止痛片，在未来市场的占有率可能有多高呢?(3)购买彩券的中奖机会有多少呢?上述问题中的正面出现的机会、市场占有率、中签率以及常见的不合格品率、命中