质量工程师备考辅导质量资格中级考试知识点讲解之随机变量

质量资格中级考试知识点讲解之随机变量(1)一、考试要求1. 熟悉随机变量的概念2. 掌握随机变量的取值及随机变量分布的概念3. 熟悉离散随机变量的概率函数(分布列)4. 熟悉离散随机变量均值、方差和标准差的定义5. 熟悉连续随机变量的分布密度函数6. 熟悉连续随机变量均值、方差和标准差的定义7. 掌握连续随机变量在某个区间内取值概率的计算方法二、主要考点1. 离散随机变量的分布2. 连续随机变量的分布的性质3. 随机变量的均值、方差的运算性质三、内容讲解第二节 随机变量及其分布一、随机变量表示随机现象结果的变量称为随机变量。常用大写字母X, Y, Z等表示随机变量，它们的取值用相应的小写字母x, y, z等表示。假如一个随机变量仅取数轴上有限个点或可列个点 (见图1.2-1)，则称此随机变量为离散随机变量，或离散型随机变量。假如一个随机变量的所有可能取值充满数轴上一个区间 (a,b)(见图1.2-2)，则称此随机变量为连续随机变量，或连续型随机变量，其中a可以是 , b可以是+ 。例1.2-1 产品的质量特性是表征产品性能的指标，产品的性能一般都具有随机性，所以每个质量特性就是一个随机变量。例如:(1)设X是一只铸件上的瑕疵数，则X是一个离散随机变量，它可以取0,1,2，等值。为了方便，人们常用随机变量X的取值来表示事件，如 “X=0”表示事件：“铸件上无瑕疵”;“X=2”表示事件：“铸件上有两个瑕”;X2表示事件：“铸件上的瑕疵超过两个等等。这些事件可能发生，也可能不发生，因为X取0，1，2 等值是随机的。类似地，一平方米玻璃上的气泡数、一匹布上的疵点数、一台车床在一天内发生的故障数都是取非负整数 0，1，2，3，的离散随机变量。(2)一台电视机的寿命X(单位:小时)是在 0， )上取值的连续随机变量。X=0表示事件：一台电视机在开箱时就发生故障;X 000表示事件： 电视机寿命不超过000小时;X40000表示事件： 电视机寿命超过40000小时。(3)检验一个产品，结果可能是合格品，也可能是不合格品。设X表示检验一个产品的不合格品数，则X是只能取0或1两个值的随机变量。X=0表示产品时合格品，X=1表示产品是不合格品。类似地，若检验个产品，则不合格品数X是，且仅可能是取0，1，等个值的离散随机变量。更一般的，在n个产品中的不合格品数X是可能取0，1，2，n等n+1个值的离散随机变量。二、随机变量的分布虽然随机变量的取值是随机的，但其本质上还是有规律性的，这个规律性可以用分布来描述。认识一个随机变量X的关键就是要知道它的分布，分布包含如下两方面内容:(1) X可能取哪些值，或在哪个区间上取值。(2) X取这些值的概率各是多少，或X在任一区间上取值的概率是多少?下面分离散随机变量和连续随机变量来叙述它们的分布，因为这两类随机变量是最重要的两类随机变量，而它们的分布形式是有差别的。(一) 离散随机变量的分布离散随机变量的分布可用分布列来表示， 比如，随机变量X仅取n个值: x1,x2, ,xn,随机变量X取x1的概率为p1，取x2的概率为p2 ，,取xn的概率为pn。这些可用一张表清楚地表示:Xx1 x2 xnp p1 p2 pn或用一个简明的数学式子表示:作为一个分布， 满足以下两个条件:， 满足这两个条件的分布称为离散分布，这一组 也称为分布的概率函数。例1.2-2 掷两颗股子，其样本空间为:考察与这个随机现象有关的一些随机变量:设X表示“掷两颗子骰子，6点出现的个数”，它的分布列为：X0 1 2p25/36 /36 1/36(2)设Y表示“掷两颗子，出现的点数之和”X2 3 4 5 6 7 8 9p1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36这些随机变量X, Y都是各从一个侧面表示随机现象的一种结果，每个随机变量的取值都是随机的，但其分布告诉我们该随机变量取每个值的概率，使人们不仅对全局做到心中有数，而且还看到了取哪些值的可能性大，X取哪些值的可能性小，比如：X取0可能性，X取2的可能性最小;Y取7的可能性，Y取2或的可能性最小;这些分布中的概率都可用古典方法获得，每个概率都是非负的，其和均为1。例1.2-3 设在个产品中有2个不合格品，从中随机取出4个，其中不合格品数X是离散随机变量，它仅可取0,1,2等三个值。X取这些值的概率为 (详见例1.1-4)：具体计算后可得如下分布列:X0 1 2P0.3333 0.5333 0.34从表中可见，事件 X=l出现的机会。对同样的问题，若用放回抽样，则从个产品(其中有2个不合格品)中随机取出4个，其中不合格品数Y是另一个随机变量，它可取0,1,2,3,4等五个值。Y取这些值的概率为(详见例1.1-5):m=0,1