质量工程师备考辅导中级质量专业理论与实务精讲二

中级质量专业理论与实务精讲（二）第二讲 概率的古典定义与统计定义一、考试要求1. 熟悉概率的古典定义及其简单计算2. 掌握概率的统计定义3. 掌握概率的基本性质4. 掌握事件的互不相容性和概率的加法法则5. 掌握事件的独立性、条件概率和概率的乘法法则二、主要考点1 古典概率的计算2 条件概率运算3 独立性判断、互不相容的判断三、内容讲解古典概率的定义与统计定义确定一个事件的概率有几种方法，这里介绍其中两种最主要的方法，在历，这两种方法分别被称为概率的两种定义，即概率的古典定义及统计定义。(一) 概率的古典定义用概率的古典定义确定概率的方法的要点如下:(1)所涉及的随机现象只有有限个样本点，设共有n个样本点;(2)每个样本点出现的可能性相同(等可能性);(3)若被考察的事件A含有k个样本点，则事件A的概率为:略 (1.1-1)例1.1-3 掷两颗骰子，其样本点可用数组(x , y)表示，其中，x与y分别表示第一与第二颗骰子出现的点数。这一随机现象的样本空间为:它共含36个样本点，并且每个样本点出现的可能性都相同。(1) 定义事件A=“点数之和为2”=(1，1)，它只含一个样本点，故P(A)=1/36。(2) 定义事件B=点数之和为5= ，它含有4个样本点，故P(B)=4/36=1/9。(3) 定义事件C=点数之和超过9= , 它含有6个样本点，故 P(C)=6/36=1/6。(4) 定义事件D=点数之和大于3，而小于7= ， 它含有个样本点，故它的概率P(D)=/36=1/3。例1.14 从标号为1，2，,的个同样大小的球中任取一个，求下列事件的概率：A:抽中2号，B:抽中奇数号，C:抽中的号数不小于7。解：显然 ，所以(二)排列与组合用古典方法求概率，经常需要用到排列与组合的公式。现简要介绍如下:排列与组合是两类计数公式，它们的获得都基于如下两条计数原理。(1)乘法原理: 如果做某件事需经k步才能完成，其中做第一步有m1种方法，做第二步m2种方法，做第k步有mk种方法，那么完成这件事共有m1m2mk种方法。例如, 甲城到乙城有3条旅游线路，由乙城到丙城有2条旅游线路，那么从甲城经乙城去丙城共有32=6条旅游线路。(2) 加法原理: 如果做某件事可由k类不同方法之一去完成，其中在第一类方法中又有m1种完成方法, 在第二类方法中又有m2种完成方法， ，在第k类方法中又有mk种完成方法, 那么完成这件事共有m1+m2+mk种方法。例如，由甲城到乙城去旅游有三类交通工具: 汽车、火车和飞机，而汽车有5个班次，火车有3个班次，飞机有2个班次，那么从甲城到乙城共有5+3+2=个班次供旅游选择。(3)排列与组合的定义及其计算公式如下:排列:从n个不同元素中任取 个元素排成一列称为一个排列。按乘法原理，此种排列共有n(n-1) (n-r+1)个，记为 。若r=n,称为全排列，全排列数共有n!个，记为Pn，即:= n(n-1) (n-r+1), Pn= n!重复排列:从n个不同元素中每次取出一个作记录后放回，再取下一个，如此连续取r次所得的排列称为重复排列。按乘法原理，此种重复排列共有 个。注意，这里的r允许大于n。例如，从个产品中每次取一个做检验，放回后再取下一个，如此连续抽取4次，所得重复排列数为 。假如上述抽取不允许放回，则所得排列数为987=50。组合: 从n个不同元素中任取 个元素并成一组 (不考虑他们之间的排列顺序)称为一个组合，此种组合数为：规定0!=1，因而 。另外，在组合中，r个元素一个接一个取出与同时取出是等同的。例如，从个产品中任取4个做检验，所有可能取法是从个中任取4个的组合数，则不同取法的种数为：这是因为取出的任意一组中的4个产品的全排列有4!=24种。而这24种排列在组合中只算一种。所以 。注意:排列与组合都是计算 从n个不同元素中任取r个元素的取法总数公式，他们的主要差别在于: 如果讲究取出元素间的次序，则用排列公式;如果不讲究取出元素间的次序，则用组合公式。至于是否讲究次序，应从具体问题背景加以辨别。例1.1-5 一批产品共有N个，其中不合格品有M个，现从中随机取出n个 ，问：事件Am= 恰好有m个不合格品的概率是多少?从N个产品中随机抽取n个共有 个不同的样本点，它们组成这个问题的样本空间 。其中“随机抽取”必导致这 个样本点是等可能的。以后对“随机抽取”一词都可以作同样理解。下面我们先计算事件A0、A1的概率，然后计算一般事件Am的概率。事件A0=恰好有0个不合格品=全是合格品，要使取出的n个产品全是合格品，那么必须从该批中N-M个合格品中抽取，这有 种取法。故事件A0的概率为:事件A1=恰好有1个不合格品，要使取出的n个产品只有一个不合格品，其他n-1个是合格品，可分二步来实现。第一步从M个不合格品中随机取出1个，共有 种取法;第二步从N-M个合格品中随机取出n-1个，共有 种取法。依据乘法原则，事件A1共含有 个样本点。故事件A1的概率为：最后，事件Am发生，必须从M个不合格品中随机抽取m个，而从N-M个合格品中随机抽取n-m个，依据乘法原则，事件Am共含有 个样本点，故事件Am的概率是:其中r=min(n,M)为n, M中的较小的一个数，它是m的取值，这是因为m既不可能超过取出的产品数n, 也不可能超过不合格品总数M，因此 。假如N=.M=2和n=4，下面来计算诸事件Am的概率:而A3,A4等都是不可能事件，因为个产品中只有2个不合格品，而要从中抽出3个或4个不合格品是不可能的，因而P(A3)=P(A4)=0 。(三) 概率的统计定义概率的统计定义的要点如下：(1)与事件A有关的随机现象是可以大量重复试验的;(2)若在n次重复试验中，事件A发生 次，则事件A发生的频率为:略频率 能反映事件A发生的可能性大小;(3)频率 将会随着重复试验次数不断增加而趋于稳定，这个频率的稳定值就是事件A的概率。在实际中人们无法把一个试验无限次地重复下去，只能用重复试验次数n较大时的频率去近似表示概率。例1.1-7 说明频率稳定的例子(1)为了验证掷一枚均匀硬币出现正面的概率为0.5，许多人做了大量的重复试验，记录了前400次掷硬币试验中频率 的变化情况。在重复次数n较小时 波动剧烈，随着n的增大， 波动的幅度在逐渐变