数学思想方法专题一分类讨论（教师版）.doc

数学思想方法专题一 分类讨论（教师版）班级 姓名 一、思想方法概述：1分类讨论思想是一种重要的数学思想方法其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度2分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用3分类讨论的原则(1)不重不漏(2)标准要统一，层次要分明(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论4解分类问题的步骤(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论(2)对所讨论的对象进行合理的分类(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决(4)归纳总结：将各类情况总结归纳.二、例题精讲：题型一由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论例1 （1）在ABC中，A、B、C为内角，且,则ABC是等腰或直角 三角形 （2）已知过点M(3，3)的直线l被圆x2y24y210所截得的弦长为8，则直线l的方程为_ 解：圆的方程可化为：x2(y2)225，(1)若直线l垂直于x轴，则其方程为x3，可求得弦长为8，(2)若直线l的斜率存在时，设l的方程为y3k(x3)，即kxy3k30，圆心(0，2)到直线l的距离d，由已知条件d225169，即(3k1)29(k21)，整理得9k26k19k29，解得k.因此所求直线的方程为x30或4x3y210.（3）已知双曲线的渐近线方程为则双曲线的离心率为 或解：若焦点在x轴上,则; 若焦点在y轴上,则. （4）若不等式对任意自然数n恒成立，则实数a的取值范围是 解：当为奇数时，不等式可化为，要使不等式对任意自然数n恒成立，则；当为偶数时，不等式可化为，要使不等式对任意自然数n恒成立，则，即.综上， （5）对于任意的两个正数m，n，定义运算：当m，n都为偶数或都为奇数时，mn；当m，n为一奇一偶时，mn，设集合A(a，b)|ab6，a，bN*，则集合A中的元素个数为_解析：(1)当a，b都为偶数或都为奇数时，6ab12，即2104866111395712，故符合题意的点(a，b)有25111个(2)当a，b为一奇一偶时，6ab36，即1363124936，故符合题意的点(a，b)有236个综上所述，集合A中的元素共有17个答案：17（6）若函数f(x)ax(a0，a1)在1,2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)在0，)上是增函数，则a_解：讨论字母的取值，从而确定函数的最大值与最小值若a1，有a24，a1m，此时a2，m，此时g(x)为减函数，不合题意若0a0，即m0，它在0,1上的最大值只能在区间端点取得(由于此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系)f(0)m，f(1)22m，当m22m，又m，即m时，ymaxm.当m22m，又m，即m时，ymax2(1m)当43m时，二次函数y的图象开口向下，又它的对称轴方程x0）,雨速沿E移动方向的分速度为c（cR）.E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量,假设其值与|v-c|S成正比,比例系数为；其他面的淋雨量之和,其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=100,面积S=时, (1)写出y的表达式; (2)设试根据c的不同取值范围,确定移动速度v,使总淋雨量y最少. 【解】(1)由题意知,E移动时单位时间内的淋雨量为 |v-c| 故|v-c|v-c|+10). (2)由(1)知, 当时; 当时; 故y= 当时,y是关于v的减函数.故当v=10时,=. 当时,在(0,c上,y是关于v的减函数;在(c,10上,y是关于v的增函数.故当v=c时. 类型三由参数变化引起的分类讨论例4 已知数列an的前n项和为Sn，且满足：a1a(a0)，an1rSn(nN*，rR，r1)（1）求数列an的通项公式；（2）若存在kN*，使得Sk1，Sk，Sk2成等差数列，试判断：对于任意的mN*，且m2，am1，am，am2是否成等差数列，并证明你的结论解： (1)由已知an1rSn，可得an2rSn1，两式相减可得an2an1r(Sn1Sn)ran1，即an2(r1)an1，又a2ra1ra，所以当r0时，数列an为：a,0，0，；当r0，r1时，由已知a0，所以an0(nN*)，于是由an2(r1)an1，可得r1(nN*)，a2，a3，an，成等比数列，当n2时，anr(r1)n2a.综上，数列an的通项公式为an(2)对于任意的mN*，且m2，am1，am，am2成等差数列，证明如下：当r0时，由(1)知，an对于任意的mN*，且m2，am1，am，am2成等差数列；当r0，r1时，Sk2Skak1ak2，Sk1Skak1，若存在kN*，使得Sk1，Sk，Sk2成等差数列，则Sk1Sk22Sk，2Sk2ak1ak22Sk，即ak22ak1，由(1)知，a2，a3，an，的公比r12，于是对于任意的mN*，且m2，am12am，从而am24am，am1am22am，即am1，am，am2成等差数列综上，对于任意的mN*，且m2，am1，am，am2成等差数列例5 已知函数，（为常数）（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；（2）若函数有对称中心为A（1，0），求证：函数的切线l 在切点处穿过图象的充要条件是l恰为函数在点A处的切线（直线穿过曲线是指：直线与曲线有交点，且在交点左右附近曲线在直线异侧）来源:Z,xx,k.Com解：（1）设所以，令：所以：当时，在是增函数最小值为，满足。 当时，在区间为减函数，在区间为增函数所以：最小值，故不合题意。所以：实数的取值范围是： （2）因为关于A（1，0）对称，则是奇函数，所以所以 ，则若l为A点处的切线则其方程为：令，所以为增函数，而所以直线穿过函数的图象。若l是函数图象在的切线，则l方程：设，则令得：当时：从而处取得极大值，而，则当时，所以图象在直线l的同侧所在l不能在穿过函数图象，所以不合题意，同理可证也不合题意。所以（前面已证）所以即为点。、所以原命题成立。 三、规律小结：分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机确定分类的标准逐类进行讨论归纳综合结论检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集)做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论常见的分类讨论问题有：(1)集合：注意集合中空集的讨论(2)函数：对数或指数函数中的底数a，一般应分a1和0a1的讨论；等比数列中分公比q1和q1的讨论(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论(6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论；平面解析几何：直线点斜式中k分存在和不存在，直线截距式中分b0和b0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论(7)(理排列、组合、)概率中的分类计数问题(8)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.四、同步练习：1已知圆的方程x2y21，则过点P(1,2)的圆的切线方程为_ _x1或3x4y50解析当k不存在时，直线为x1，也是切线，当k存在时，设直线方程为y2k(x1)，即kxyk20.圆心(0,0)到直线的距离d1，解得k.直线方程为3x4y50.切线方程为x1或3x4y50.2集合Ax|x|4，xR，Bx|x3|0且x1，则函数ylg xlogx10的值域为_(，22，)解析当x1时，ylg xlogx10lg x22；当0x1时，ylg xlogx1022.所以函数的值域为(，22，)5若不等式(a2)x22(a2)x40对一切xR恒成立，则a的取值范围是 解：选C当a20即a2时，不等式为40，恒成立，所以a2；当a20时，则a满足来源:Z&xx&k.Com解得2a2，所以a的范围是a|20时,f(1-a)=2(1-a)+a=2-a, f(1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1. f(1-a)=f(1+a), 2-a=-3a-1,解得舍去). 当a0)图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为_，1解：PA2(xa)22x22ax2a2a222a2a222a22由x0，得x2，由已知条件或解得a，或a1.8已知数列an满足a11，a22，an2ansin2，则该数列的前20项的和为_2 101解：当n为奇数时，an2an1，故奇数项是首项为1，公差为1的等差数列，其前10项之和等于11055；当n为偶数时，an22an，故偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，其前10项之和为21122 046.所以，数列an的前20项之和为552 0462 101.9设F1，F2为椭圆1的两个焦点，P为椭圆上一点已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且PF1PF2，则的值为_2或解析若PF2F190，则PFPFF1F，PF1PF26，F1F22，解得PF1，PF2，.若F2PF190，则F1FPFPFPF(6PF1)2，解得PF14，PF22，2.综上所述，2或.10已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，设若在数列中，对任意恒成立，则实数的取值范围是 11 已知等差数列an的前3项和为6，前8项和为4(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(4an)qn1 (q0，nN*)，求数列bn的前n项和Sn.解(1)设数列an的公差为d，由已知，得解得故an3(n1)4n.(2)由(1)可得bnnqn1，于是Sn1q02q13q2nqn1.若q1，将上式两边同乘q，得qSn1q12q2(n1)qn1nqn.两式相减，得(q1)Snnqn1q1q2qn1nqn.于是，Sn.若q1，则Sn123n.综上，Sn12. 在平面直角坐标系xOy中，设，（1）求m的值，使得点P在函数的图象上；（2）以O，A，B，P为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出相应的m的值；若不能，请说明理由解：（1）因为，所以于是，从而 点P在函数的图象上 （2）因为四边形为平行四边形对角线中点重合:若OA为一条对角线，则必须 无解；若OB为一条对角线，则必须解得；若OP为一条对角线，则必须解得故当时，四边形OABP为平行四边形；当时，四边形OAPB为平行四边形13已知椭圆C的中心为原点O，点F(1,0)是它的一个焦点，直线l过点F与椭圆C交于A，B两点，当直线l垂直于x轴时，.(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P为椭圆的上顶点，且存在实数t使t成立，求实数t的值和直线l的方程解：(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，则a2b21.当l垂直于x轴时，A，B两点坐标分别是和，1，则1，即a22b4.由消去a得2b4b210.b21或b2(舍去)当b21时，a22，因此椭圆C的方程为y21.(2)当直线斜率不存在时，易求A，B，P(0,1)，所以，(1，1)，由t使t，得t2，直线l的方程为x1，当直线斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以(x1，y11)，(x2，y21)，(1，1)，由t，得即因为y1k(x11)，y2k(x21)，所以y1y2k(x1x22)，解得k1，此时，直线l的方程为yx1，联立得3x24x0，tx1x2，所以，当直线斜率存在时，t，直线l的方程为yx1，综上所述，存在实数t且t2时，直线方程为x1；当t时，直线l的方程为yx1.14. 设，函数来源:学&科&网 （1）当时，求在内的极值； （2）（可选做）设函数，当有两个极值点，（） 时，总有，求实数的值（其中是函数的导函数）解：（1）当时，则，令，则，显然在上单调递减.又因为，故时，总有，所以在上单调递减. 又因为，所以当时，从而，这时单调递增，当时，从而，这时单调递减,当变化时，的变化情况如下表：+0极大所以在上的极大值是（2）由题可知，则. 根据题意方程有两个不等实数根，且， 所以，即，且.因为，