傅里叶变换光学.docx

光信息专业实验：傅里叶光学变换系统中山大学光信息专业实验报告：傅里叶光学变换系统实验人：何杰勇（11343022） 合作人：徐艺灵 组号B13一、实验目的和内容1、了解透镜对入射波前的相位调制原理。2、加深对透镜复振幅、传递函数、透过率等参量的物理意义的认识。3、观察透镜的傅氏变换（FT）图像，观察4f系统的反傅氏变换（IFT）图像，并进行比较。4、在4f系统的变换平面（T）插入各种空间滤波器，观察各种试件相应的频谱处理图像。二、实验原理1、透镜的FT性质及常用函数与图形的关学频谱分析 透镜由于本身厚度的不同，使得入射光在通过透镜时，各处走过的光程差不同，即所受时间延迟不同，因而具有相位调制能力。图1 为简化分析，假设任意点入射光线在透镜中的传播距离等于改点沿光轴方向透镜的厚度，并忽略光强损失，即通过透镜的光波振幅分布不变，仅产生位相的变化，且其大小正比于透镜在该点的厚度。设原复振幅分布为的光通过透镜后，其复振幅分布受到透镜的位相调制，附加了一个位相因子后变为： 图1 （1） 若对于任意一点（x，y）透镜的厚度为，透镜的中心厚度为。光线由该点通过透镜时在透镜中的距离为，空气空的距离为，透镜折射率为n，则该点的总的位相差为： （2）（2）中的k2/，为入射光波波数。 用位相延迟因子来表示即为： （3） 由此可见只要知道透镜的厚度函数就可得出其相位调制。在球面镜傍轴区域，用抛物面近似球面，可以得到球面透镜的厚度函数为： （4）其中、是构成透镜的两个球面的曲率半径。公式（4）对双凹、双凸、或凹凸透镜都成立。引入焦距f，其定义为： （5）代入（3）得： （6） 式（6）即是透镜位相调制的表达式，它表明复振幅通过透镜时，透镜各点都发生位相延迟。 从式（6）容易看出第一项位相因子仅表示入射光波的常量位相延迟，不影响位相的空间分布，即波面形状，所以在运算过程中可以略去。第二项是具有调制作用的因子，它表明光波通过透镜的位相延迟与该点到透镜中心的距离的平方成正比。而且与透镜的焦距有关。当考虑透镜孔径后，有： （7）其中的为透镜的光瞳函数，表达式为： （8） 2、透镜的傅里叶变换性质 在单色平面波垂直照射下，夫琅和斐衍射光场的复振幅分布正比于衍射屏透射系数的傅里叶变换。衍射图像的强度分布正比于衍射屏的功率谱分布。一般情况下，我们是将夫朗和斐衍射图像成像到透镜的像方焦平面出，这就是说，作为成像元件的透镜，就相当于傅里叶变换器。 如图2所示，设单位振幅的单色平面光垂直照射一透射系数为的衍射屏，与衍射屏相距Z处放置一焦距为f的薄透镜L，先观察其像方平面L的光场分布。为了讨论方便，这里我们忽略透镜材料的吸收、散射、透镜表面的反射以及透镜孔径大小等因素的影响。 图2 透镜的傅里叶变换性质设、分别表示衍射屏后、透镜输入平面、输出平面以及像方平面出光波场的复振幅分布。由于透镜的相位调制特性，输出平面与输入平面出光波场之间的关系由下式决定： （9） 而从透镜输出平面到像方焦平面，光波相当于经历一次菲涅耳衍射。夫朗和斐近似下观察到平面上的衍射光场复振幅 ： （10） 式中u和v分别表示和方向的空间频率。于是由（9）和（10）式，透镜像方焦平面上的光波场复振幅分布应具有如下形式： （ ） （11） 在单位振幅的平面波垂直照射下，透镜衍射屏的光波场复振幅分布即等于衍射屏的透射系数，故其频谱分布为： （12） 该频谱分量从衍射屏传播到透镜的输入平面处，产生一个相位延迟，即有： （13） 在傍轴条件下具有如下的形式： （14） 由此可以得到透镜输入平面处光波场的频谱分布为： （15） 代入（11）得透镜像方焦平面处的广场分布为： （） （16）从上式可以看到，在单色平面波垂直照射下，透镜像方焦平面处的光场除了一个常数因子外和一个二次因子外，其余的反应了衍射屏透射系数得傅里叶变换。经过进一步的分析我们可以得到在用透镜对二维关学图像进行傅里叶变换时，若将图像放置在透镜的物方焦平面上，则在透镜的像方焦平面上得到输入图像准确的傅里叶变换。若将输入图像放置在透镜与其像方焦平面之间，则像方焦平面上频谱图样的大小可随衍射屏到像方焦平面的距离的变化而改变；并且当输入图像紧贴透镜后放置时可获得最大的频谱图样。而对于球面波照射时，傅里叶变换平面将不是在透镜的像方平面。而是光源的共轭像平面上。3透镜孔径的衍射与滤波特性由于孔径的衍射效应，任何具有有限大小通过光孔径的光学成像系统，均不存在如几何光学中所说的理想像点。所谓共轭像点，实际上是由系统孔径引起的，以物点的几何像点为中心的夫琅和斐衍射图样的中央亮斑艾里斑。其次，透镜有限大小的通光孔径，也限制了衍射屏函数的较高频率成分（具有较大入射倾角的平面波分量）的传播。这可以从图3可以看出：图3：透镜孔径引起渐晕效应透过衍射屏的基频平面波分量1可以全部通过透镜，具有较高（空间）频率的平面波分量2只能部分通过，而高频平面波分量3则完全不能通过。这样，在透镜像方焦平面上的光波场中就缺少了衍射屏透射光场中部分高频成分，因此，所得衍射屏函数的频谱将不完整。这种现象称为衍射的渐晕效应。由此可将，从光信息处理角度来讲，透镜孔径的有限大小，使得系统存在着有限大小的通频宽带和截止频率；从光学成像的角度来讲，则使得系统存在着一个分辨极限。4相干光学图像处理系统（4f系统）用夫琅和斐衍射来实现图像的频谱分解，最重要的意义是为空间滤波创造了条件，由于衍射场就是屏函数的傅里叶频谱面，空间频率（u，v）与衍射场点位置（）一一对应，使得人们可见从改变频谱入手来改造图像，进行信息处理。为此，设计了图4所示的图像处理系统。 图4 4f图像处理系统在此系统中，两个透镜、成共焦组合，的前焦面（x，y）为物平面O，图像由此输入，的后焦面为像平面I，图像在此输出。共焦平面（）称为变换平面T，在此可以安插各种结构和性能的屏（即空间滤波器）。当平行光照射在物平面上时，整个OTI系统成为相干成像系统。由于变换平面上空间滤波器的作用，使输出图像得以改造，所以OTI系统又是一个相干光学信息处理系统。这里先研究它的成像问题。我们将相干光学系统的成像过程看作两步：第一步，从O面到T面，使第一次夫琅和斐衍射，它起分频作用。第二步，从T面到I面，再次夫琅和斐衍射，起合成作用，即综合频谱输出图像。在这样的两步中，变换平面T处于关键地位，若在此处设置光学滤波器，就能起到选频作用。要想作到图像的严格复原，T面必须完全畅通无阻。此处的4f系统每次衍射都是从焦面到焦面，这就保证了复振幅的变换是纯粹的傅里叶变换。如果光波能够自由通过变换平面，即连续两次的傅里叶变换，函数的形式基本复原，只是自变量变号, 即图像倒置。在有源滤波器的情况下,这里为滤波器的透过率函数，这也是我们进行滤波实验的依据。5. 空间滤波实验要从输入图像中提取或排除某种信息，就要事先研究这类信息的频谱特征，然后针对它制备相应的空间滤波器置于变换平面，经过第二次衍射合成后，就可以达到预期的效果，光信息处理的原理也就是基于如此。三、实验仪器与装置图实验仪器：激光器、准直系统、傅里叶透镜、傅里叶变换试件、频谱处理器、CCD光电接收器；实验装置图：如图5图5 实验装置图四、实验内容1. 根据傅里叶变换光路装置简图摆好光路，打开激光电源，调整光路。2. 开启电脑，运行csylaser软件。调节光路中各器件的位置，以得到样品较为清晰的傅里叶变换图像（根据所用样品，最终应得到“米”字图像）。并将图像保存，作为原始数据。3. 根据反傅里叶变换光路装置简图（4f系统）摆好光路，调节器件位置，以得到样品最为尖锐的反傅里叶变换图像，并保存。在调节时，主要是调节CCD的位置，傅里叶透镜的位置摆放好不要轻易乱动。4. 在频谱处理器的位置加上带有狭缝的滤波片，将激光依次透过狭缝，观察不同的狭缝对于光波的透过作用的不同，保存图像，并分析。5. 关闭激光器和电脑电源，整理好仪器。实验结束。四、实验数据记录与分析1. 观察样品的傅里叶频谱图图样。图6所示为样品的原图样，图7为其频谱图：图6 样品示意图图7 样品傅里叶变换频谱图由图可知，样品经过傅里叶变换得到的频谱图理论验证：用Mat Lab程序编辑一个二维矩阵做出一个图6所示的图像，使其发光部分值为1，不发光部分为0。如图8(a)所示。图像在焦平面上的频谱图为图像经过了一次二维傅里叶变换，再将频谱搬移到中心，得到的频谱图如图8(b)，可以看到，理论和实际得到的图像很相似，都为“米”字型。图8 Mat Lab的模拟图(a)原始图像；(b)图像的频谱图对比分析：结合图7与图8（b）可以看出，所测样品的傅里叶变换图像，类似一个“米”字。分析可知，中心的十字经变换后仍为十字形，而顶角处的三角形则经过傅里叶变换后变为“”形，因为最终样品的傅里叶变换图像为“米”字形。图7中的“米”字不是很清晰，分析其原因，主要是由于激光器所发激光的光强太大，导致CCD过曝光，使中心十字过亮而“”形不明显。图质稍有模糊，分析原因，除了CCD的采样分辨率太小之外，可能是由于光路没有调节至完全共轴，或者CCD没有恰好在透镜焦点上，导致了实际上没有在焦平面上获取图像。由数学理论分析可知，频谱可以认为表示的是图像的衬比度的变化程度。图中处于中心位置的是零频位置，也就是图像的直流成分，可以理解为光强没有发生变化的表象；越远离中心的频谱自然指的是衬比度变化的部分，越远离中心，衬比度的变化程度越大。又由阿贝成像原理，我们可以知道物体在焦面上成的像，其实是图像在透镜经过夫琅禾费衍射所形成的像，于是水平部分指的应是竖直方向上的衬比度变化，竖直部分指的是水平方向上的衬比度变化。而图中的“X”部分就是箭头的斜边部分的衬比度了。故我们实验中得到的频谱图与理论得到的很符合。改进方法：降低激光光强，是CCD尽量不产生过曝；调整光路，使CCD尽量正对傅里叶透镜的焦面，得到尽量更好的图样；更换焦距较大的透镜，由于焦距太小，导致对光的折射角度过大，使对焦点的确定变得很难。故可以试着更换焦距较大的透镜。2. 观察样品的反傅里叶频谱图图样。摆好并调节好光路后，可得样品的反傅里叶变换图像如下图所示：图9 样品的反傅立叶变换图像由上图可以看出，待测样品的反傅里叶变换图像就是它本身，但是图像发生了反转。调节光路，当获得最为清晰，且边缘最为尖锐的图像时，为较理想的图像。理论验证：用Mat Lab软件编辑程序将由步骤1得到的图像的频谱图进行一次傅里叶变换，得打如图10的图样。可知，源图像的频谱图经过傅里叶变换后得到的图样形状和原图一致，但是发生了翻转，与实验得到的结果相同。图10 基于Mat Lab的频谱傅里叶变换图样对比分析：实验所得图像和理论图相比，只有部分图像，原因是CCD所采图像不全，其根本的原因是没有调好4F系统导致在CCD上得到的是放大后的像，于是只能得到部分图像。实验得到的图像边缘模糊，不光滑，其可能原因是CCD没有刚好落在透镜焦点位置，也可能是因为两傅里叶透镜没有完全共轴，或者各器件之间的距离与4F系统所要求的距离有偏差。实验得到的图像的亮度不完全均匀，原因可能是激光的光点没有全部照在CCD上，使亮度不均匀。改进方法：保证光路准直后，检查射出的平行光斑是否为圆斑，若不是，则继续调试准直系统使其成为一个圆斑。总之必须耐心调节光路，尽量使光路接近4F系统。在由于佳偶等原因没法调出较为准确的4F系统的情况下，可以尝试着以调节CCD为主，前后左右移动以成像找到最佳位置，若仍然能没有理想图像，再微调傅里叶透镜，之后再调CCD，如此反复，以得到最佳的图像。3. 4F系统下观察样品的滤波后的图像根据光路摆出4F系统，在频谱变换位放置各种频谱变换器，亦即滤波器。观察经过4F系统后图像的变化情况。（1）频谱处理面放置中间有不透明细线，两边全透的滤波片（高通滤波器）。依次经过细线宽度不断增大的细线，得到的图像如图11： (a)线宽最细 (b)线宽次细(c)线宽最粗图11 滤波成像实验图(a)线宽最细(b)线宽次细(c)线宽最粗由图11可知，CCD得到的图像的亮度与图9相比有明显的降低。图像边缘亮度比中间的亮度稍稍亮，而且仔细观察还可知，图像边缘竖直方向（竖直边缘）的亮度比水平方向（水平边缘）的亮度要大。图像整体模糊而且亮度分布不均匀，可能是4F系统没有非常的精准。随着线宽的增大，所得到的图像的亮度更低，相反的其边缘的明亮反而更加明显，亦即图像的衬比度增大了。理论验证：用Mat Lab软件编辑程序，使频谱经过理想高通滤波器调制，改变高通滤波器的宽度，观察得到的图像。图12图14显示的是(a)不同高通滤波器宽度下所能通过的频谱图，也就是经过调制后的频谱图，(b)最终滤波后得到的图像。 (a) (b)图12线宽最细的高通滤波器(a)滤波后的图像频谱图(b)滤波后的最终图像 (a) (b)图13线宽次细的高通滤波器(a)滤波后的图像频谱图(b)滤波后的最终图像 (a) (b)图14线宽最粗的高通滤波器(a)滤波后的图像频谱图(b)滤波后的最终图像程序上使用的是理想的高通滤波器，也就是在竖直方向上的中间的部分的频谱全部遮挡，只通过其他的高通部分。得到的频谱图可见竖直方向零频部分亮度为0，其他部分完全通过，高通滤波后的最终图像和理论（图10）相比中间全黑，边缘亮度高，同时也可以发现竖直边缘的亮度大，水平边缘无亮度。理论的图像发生了衍射，可能是细线的宽度太小导致发生了夫琅禾费衍射。相比图12图14随着线宽的增大，滤波后得到图像可看出：图像中间区域全黑范围增加，边缘的亮度相比之下更加明显。对比分析：由理论可知，高通滤波器具有“通高频，挡低频”的作用，也就是说，图像的频谱的中心频率部分（零频部分）被遮挡，导致直流部分的衬比度为0也就是说中间的相同亮度部分亮度丢失。其他高频的部分被保留完全通过，也就是说衬比度变化程度大的部分，即图像的亮-暗边缘被保留。理论得到的图像和实验得到的图像均验证了这一点。除此之外，由于竖直方向的零频分量被完全遮挡，也就是说源图像的水平部分的衬比度基本为0，故得到的图像只有竖直边缘发亮。理论得到的图像和实验得到的图像也均验证了这一点。当我们增加高通滤波器所遮挡的低频部分时，图像整体的低频分量会减少，这会导致图像以高频分量为主，故和遮挡低频少的情况相比，边缘的亮度会更加明显。理论得到的图像支持了这一点，但是实验中虽然整体的亮度（直流部分）降低了，但是边缘的亮度没有明显反倒是降低了。原因可能是4F系统下CCD没有刚好在焦点上，也可能是光学系统本身的传递函数的限制（OTF）导致了图像的整体衬比度很低。（2）频谱处理面放置中间全透明细缝，两边不全透的滤波片（低通滤波器）。依次经过缝宽度不断增大的细缝，得到的图像如图15： (a)缝宽最细 (b)缝宽次细(c)缝宽最粗图15 滤波成像实验图(a)缝宽最细(b)缝宽次细(c)缝宽最粗由图15可知，CCD得到的图像的亮度与图9相比变化不大。图像边缘模糊化，亮度也没有中间的亮度亮。图像整体模糊亮度分布不均匀，可能是4F系统没有非常的精准。随着线宽的增大，所得到的图像的亮度更低，相反的其边缘的明亮反而更加明显，亦即图像的衬比度增大了。理论验证：用Mat Lab软件编辑程序，使频谱经过理想低通滤波器调制，改变低通滤波器进光缝的宽度，观察得到的图像。图12图14显示的是(a)不同高通滤波器宽度下所能通过的频谱图，也就是经过调制后的频谱图，(b)最终滤波后得到的图像。 (a) (b)图16 缝宽最细的低通滤波器(a)滤波后的图像频谱图(b)滤波后的最终图像 (a) (b)图17 缝宽次细的低通滤波器(a)滤波后的图像频谱图(b)滤波后的最终图像 (a) (b)图18 缝宽最粗的低通滤波器(a)滤波后的图像频谱图(b)滤波后的最终图像程序上使用的是理想的低通滤波器，也就是在竖直方向上的中间的部分的频谱全部透过，不通过其他的频谱。得到的频谱图可见竖直方向零频部分完全透过，其他部分为0，滤波后的最终图像和原图（图10）相比中间衬比度不变化的部分亮度基本无变化，边缘很模糊而且亮度稍暗，同时也可以发现水平边缘和住址边缘相比更加锐利，衬比度明显，竖直边缘模糊且亮度较暗。理论的图像发生了衍射，可能是细线的宽度太小导致发生了夫琅禾费衍射。相比图16图18随着缝宽的增大，滤波后得到图像可看出：图像中间区域亮度增大，衬比度明显增加，图像边缘相比之下更加清晰。可以理解为图像整体的衬比度增大。缝宽增大时衍射的条纹增多且变密，这个是由于单缝衍射的缝宽增大导致光程差较小造成的结果。对比分析：由理论可知，低通滤波器具有“通低频，挡高频”的作用，也就是说，图像的频谱的中心频率部分（零频部分）全部透过，直流部分全透也就是说中间的相同亮度部分不被遮挡。其他高频的部分被完全遮挡，也就是说衬比度变化程度大的部分，即图像的亮-暗边缘丢失。理论得到的图像和实验得到的图像均验证了这一点。除此之外，由于只有竖直方向的中间频谱透过，也就是说源图像的水平部分的衬比度基本不变，故得到的图像竖直边缘的衬比度降为0。理论得到的图像和实验得到的图像也均验证了这一点。当我们增加低通滤波器所透过的低频部分时，图像整体的低频分量会增加，这会导致图像更多的直流分量以及衬比度较低的部分可以通过，故与透过低频少的情况相比，中间的亮度会增加。同时由于较高频谱的透过使得图像整体的衬比度会增加，图像变清晰。理论与实验中得到的图像支持了这一点，只是实验中在透过最细的缝的低通滤波时，图像太多余模糊以至于难以辨识图像。原因可能是4F系统下CCD没有刚好在焦点上，也可能是光学系统本身的传递函数的限制（OTF）导致了图像的整体衬比度很低。改进方法： 在除了耐心调试光路至更为精准的4F系统之外，可以尝试着换一个焦距更大的傅里叶透镜，焦距越小的透镜其频谱面即焦面的位置就越需要精确定位，而焦距大的透镜其焦面的位置的定位就可以不这么严格。故更换焦距更大的透镜可以使4F成像系统更加容易实现。五、结论1、本实验的关键在于调节电路，尤其是观察样品反傅里叶变换图像时，注意调节CCD和傅里叶透镜以得到边缘最为尖锐的图像。在做滤波实验时，注意一定要将频谱处理器置于两透镜的焦点位置，找焦点的方法是先用一张小纸片在两透镜之间，找到激光光斑最小的位置，即焦点位置。2、如果在做滤波实验时，图像的水平边缘位置随狭缝的变化而改变，则可能是因为光路中的各器件没有完全共轴。3、影响图像质量的一大原因在于CCD没有调到理想位置，若发现图像质量有问题，应先调节CCD，因为CCD在成像光路后面，好调节，不应随意调节光路中的透镜等。4、实验过程为避免其他光源对于CCD接收光波的影响，应当关灯且避免其他光源的直射。5、Mat Lab软件模拟傅里傅里叶成像系统，是为了验证在理想情况下成像的结果，从而和实验得到的结果做比较得出我们实验成果的优劣以及提出新的想法。六、附录1.Mat Lab程序代码：close all%原图像生成K=zeros(400);K(101:340,171:240)=1;K(166:245,101:310)=1;K(101:300,46:110)=1; for j=0:74K(100-j,131+j:280-j)=1;endimshow(K);title(源图像); %傅里叶变换PQ=paddedsize(size(K); F=fft2(K,PQ(1),PQ(2); g=abs(fftshift(F); figure;imshow(0.01.*g);title(图像的频谱图);%傅里叶反变换PQ_2=paddedsize(size(F); F_2=fft2(F,800,800); g_2=abs(fftshift(F_2); figure;imshow(0.01.*g_2(1:400,1:400);title(频谱图傅里叶变换图);%理想高通滤波D0=30; %滤波器半宽(改动这个改变低通和高通宽度 此处用的依次是10、20、30)H=ones(PQ(1),PQ(2);H(:,(PQ(2)/2-D0):1:(PQ(2)/2+D0)=0;figure;imshow(H);title(高通滤波器平面图);a=fftshift(g).*fftshift(H); %频谱通过滤波器figure;imshow(0.01.*(fftshift(a);title(滤波后的图像频谱图);t=abs(dftfilt(K,fftshift(H);%通过滤波器后的图像矩阵t=t(end:-1:1,end:-1:1);figure;imshow(t,);title(高通滤波后的图像);%理想低通滤波H_D=zeros(PQ(1),PQ(2);H_D(:,(PQ(2)/2-D0):(PQ(2)/2+D0)=1;figure;imshow(H_D);title(低通滤波器平面图);a=fftshift(g).*fftshift(H_D); %频谱通过滤波器figure;imshow(0.01.*(fftshift(a);title(滤波后的图像频谱图);t=abs(dftfilt(K,fftshift(H_D);%通过滤波器后的图像矩阵t=t(end:-1:1,end:-1:1);figure;imshow(t,);title(低通滤波后的图像);七、思考1、 透镜相位调试表达式的物理含义答：（2）式中的相位调制因子的表达式可以单从几何光学简单推出来： （4）其中是某频率光波的波矢量，是透镜折射率，是透镜中心厚度，是透镜上各个点的厚度。上式有很明显的物理含义，由于透镜的厚度是位置（x,y）的函数，使得通过透镜平面不同点的光经过的光程是不同的。我们计算光线通过以为厚度的圆柱体时通过的光程，这个光程分为两个部分：一部分是在透镜玻璃中的光程，即上式中的；另一部分则是光线在空气中的光程，即上式中的（设空气折射率为1）。这两个光程之和乘以波矢就是透镜各个点造成光波的相位延迟。2、 光信息处理的大概原理是什么？为何用白光做光源却能得到彩色图像？如何实验物像的反衬度反转？答：阿贝在研究显微镜成像问题时，提出了一种不同于几何光学的新观点，他将物看成是不同空间频率信息的集合，相干成像过程分两步完成，第一步是入射光场经物平面发生夫琅禾费衍射，在透镜后焦面上形成一系列衍射斑；第二步是各衍射斑作为新的次波源发出球面次波，在波面上互相叠加，形成物体的像将显微镜成像过看成上述两步成像过程，这称为阿贝成像原理。它不仅用傅里叶变换阐述了显微镜成像的机理，更重要的是首次引入频谱的概念，启发人们用改造频谱的手段来改造信息。根据阿贝成像原理，我们要对一个物体进行光信息处理，首先是要得到它的空间频谱图。这一步可以利用透镜的傅立叶变换性质，构造一个或者多个透镜系统，然后在第一个透镜的物方焦平面上放置衍射屏（要处理的图像），在它的像方焦平面上会得到源图像频谱分布图。我们可以通过在变换频谱面T上放置各种滤波器来改变原来图像，并再一次通过另一个同样的傅立叶透镜系统，在第二个透镜的像方焦平面上就会出现经过改造后的图像了。同样的