优秀论文--非线性方程的求解

丽水学院2011届毕业论文（设计）丽 水 学 院毕业设计（论文）任务书（2011届）题 目 非线性方程的求解 指导教师 方建平教授 院 别 数理学院 专 业 物理学 班 级 物理071 学 号 17 姓 名 魏超 2011 年 3 月 6 日至 2011 年 4 月 30 日共 8 周一、 论文（设计）方向：非线性动力学二、 主要参考资料：1.Camassa R and Holm D D. 1993 .Phys. Rev. Lett. (71) 16612 Tang X Y, Lou S Y and Zhang Ying 2002.Phys. Rev.( 66), 0466013 Lou S Y 1998,Phys. Rev. Lett.( 80)50274Boiti M, Leon J, Martina L and Pempinelli F 1989.Phys. Rev. Lett.( 63) 13295Fokas A S 1998.Phys.Lett. A (132) 4326 Ruan H Y and Chen Y X 2001 .Acta. Phys. Sin$ (50) 586 (in Chinese) 阮航宇.陈一新 2001 物理学报 (50) 586 三、 课题的内容和任务要求：利用映射法求解非线性动力学系统新的精确解。首先在正确理解和熟练应用Ricati方程映射法的基础上，想办法利用其他的较为简单的且有丰富精确解的方程作为新的映射方程来求解给定的非线性动力学方程的新解。四、 毕业论文（设计）进度安排：起 讫 日 期工 作 内 容备 注2月中旬完成开题报告2月底前完成文献综述和外文翻译3月底完成论文初稿5月底完成论文答辩学生（签名）： 年 月 日指导教师（签名）： 年 月 日系毕业设计（论文）工作指导小组意见：组长（签名） 年 月 日 二级学院毕业论文工作领导小组审核意见：主管领导（签名） 年 月 日 注：1.指导教师填写，任务下达人为指导教师，指导教师和接受任务的学生均应签字。2.此任务书最迟必须在学生毕业设计（论文）开始前下达给学生。丽水学院毕业设计（论文）开 题 报 告 （2011届）题 目 非线性方程的求解 指导教师 方建平教授 院 系 数理学院 班 级 物理071本 学 号 17 姓 名 魏超 二一年十一月二十五日一、选题的意义过去对动力系统的研究一般多限于线性系统，即其动力学方程都是线性的。也就是说，在方程中只有各状态变量及其各阶导数的线性（一次）项。这样做是因为线性方程易于求解，而且具有一些简单的特性，如当初始条件给定后，方程的解（代表系统的运动）便是确定的，而且解服从所谓叠加原理：方程不同的解的线性叠加仍是方程的解。然而实际的自然现象或社会现象毕竟是很复杂的，其动力学规律往往都须用非线性方程表示，即实际存在的客体大多数都是非线性系统。随着20世纪六七十年代计算机科学技术的迅速发展，人们可以容易地求得一般非线性方程的数值解。问题的研究进展迅速，在物理领域中非线性方程的内容也日趋丰富，非线性方程的精确求解和数值求解成为广大物理学、数学工作者研究非线性问题所关心的一个热门课题。但由于非线性方程的复杂性，使得许多在线性问题中常用的行之有效的方法如叠加法在解决非线性问题是遇到了新的严重困难甚至完全不可用，导致非线性方程迄今仍然没有统一的求解方法。本文利用映射法求解非线性动力学系统新的精确解。首先在正确理解和熟练应用Riccati程映射法的基础上，想办法利用其他的较为简单的且有丰富精确解的方程作为新的映射方程来求解给定的非线性动力学方程的新解。二、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点）为了利用映射法求解非线性动力学系统新的精确解。首先在正确理解和熟练应用Riccati方程映射法的基础上，想办法利用其他的较为简单的且有丰富精确解的方程作为新的映射方程来求解给定的非线性动力学方程的新解。拟主要解决的问题：非线性动力学方程的求解三、研究（工作）步骤、方法及措施（思路）1. 阅读大量相关文献资料，把握该领域的研究欠缺，确定研究方向和研究重点。2. 通过习题熟练应用Riccati方程映射法。3.利用行波约化法、映射法、Riccati方程求解Fisher方程（）。4.以Fisher方程映射广义Fisher方程（）。5.利用maple解方程，修正之前的求解。四、毕业论文（设计）提纲标题：非线性动力学方程的求解署名:魏超指导老师:方建平摘要:简单介绍本文研究的主要方法、结果和结论关键词: 非线性动力学方程；方法；精确解；映射法1 引言2 一般非线性物理方程求解方法3 Fisher方程的求解4 广义Fisher方程求解 4.1 n=1的情况 4.2 n=2的情况 4.3 n(0,)的情形5 总结和讨论五、主要参考文献1刘秉正，彭建华非线性动力学M/白春华，何学秋，吴宗之21世纪安全科学与技术的发展趋势北京：科学出版社，2000：1-52 王心宜. 广义Fisher方程的显式精确孤波解J. 北京：科学通报, 1987, (9): 657-659.3 FANG Jian-Ping,ZHENG Chun-Long,LIU Qing.Nonpropagating Solitons in(2+1)-Dimensional Dispersive Long-Water Wave SystemJ.Commun.Theor.Phys,Beijing, 2005,43(2):245-250.4 张文亮,吴国将,张苗,王军帽,韩家骅. 映射法与非线性波动方程新的精确解J. 皖西学院学报,2007,23(2):49-55.5 罗琳, 汤燕斌. 一类广义Fisher 方程的行波解J. 湖北民族学院学报( 自然科学版),2003,21(2):57-59.6 张文亮,吴国将,张苗,王军帽,韩家骅.映射法与Klein-Gordon方程新的精确解J.安徽大学学报(自然科学版),2007,31(5):50-53.7 张文亮,吴国将,张苗,王军帽,韩家骅. 映射法与非线性波动方程新的精确解J. 皖西学院学报,2007,23(2):49-55.8 钟太勇，钟远涛. 用形变映射法求KdV 方程的显式精确行波解J. 江汉大学学报(自然科学版),2009,37(7):10-12.9 方锦清，姚伟光. 逆算符方法求解非线性动力学方程及其一些应用实例J. 物理学报,1993,42(9):1375-1384.10 张小杭，樊社新，袁军，秦宇. 求解非线性动力学方程的错差迭代法J. 机械设计与制造,2009,(11):219-221.11 裘春航，吕和祥，钟万勰. 求解非线性动力学方程的分段直接积分法J. 力学学报,2002,34(3):369-378.12 梅树立，邢如义，张森文. 求解非线性动力学方程的渐近数值方法J. 中国农业大学学报,2004,9(4):92-96.13 吴小红. 拓展的Riccatic方程映射法在非线性联立薛定谔方程中的应用J. 西北师范大学学报( 自然科学版),2007,43(3):34-36.14 刘利敏，张运章，王建宏.形变映射法求Hamilton方程的行波解J.云南民族大学学报(自然科学版),2007,16(1):9-12.15 钟太勇，刘利敏, 贾卫红.形变映射法求非线性薛定谔方程的显示精确行波解J. 西南民族大学学报(自然科学版),2007,33(6):1264-1268.16 翁建平.形变映射法求广义Kuramoto2Sivashinsky方程的行波精确解J. 山西师范大学学报(自然科学版),2005,19(1):34-37.17 黄涛，樊建平，何建平，王乘. 求解非线性动力学方程的预测2校正数值算法J. 固体力学学,2007,28(1):2-6.指导教师意见：该同学的开题报告经过了多次与导师的沟通，并在些基础上进行了认真的修改，形成了目前的开题报告文稿。围绕论文选题,做了较为细致和广泛的文献和阅读整理工作，较为正确的理解了文章的写作目的和意义。并对文章的写作有了较为清晰的思路，研究路线有据可依，有较为合理的论文写作的时间安排。同意开题。签名： 年 月 日系毕业设计（论文）工作指导小组意见： 签名：年 月 日二级学院毕业设计（论文）工作领导小组意见：签名：年 月 日文献综述试述求解非线性动力学方程的方法摘要：近几年，非线性物理问题研究进展迅速，在物理领域中非线性方程的内容也日趋丰富，本文就求解非线性动力学方程的方法等相关问题进行综合论述，并提出非线性动力学求解方法的缺陷和利用映射法求解非线性方程的方向。关键词：非线性动力学方程；方法；精确解；映射法A Description of method solvingnonlinear kinetic equationAbstract：In recent years, the study of nonlinear physics have had a rapid progress , the content of nonlinear equations in physics are becoming increasingly abundant, in this paper, the method and the issues related to the method of nonlinear dynamic equations was discussed comprehensive , and propose the deficiencies of nonlinear dynamics method for solving the problem and the direction for solving nonlinear equations with the mapping approach. Key words: nonlinear equations；methods；Exact solutions；Mapping method随着20世纪六七十年代计算机科学技术的迅速发展，人们可以容易地求得一般非线性方程的数值解，问题的研究进展迅速，在物理领域中非线性方程的内容也日趋丰富。非线性方程的精确求解和数值求解成为广大物理学、数学工作者研究非线性问题所关心的一个热门课题。但由于非线性方程固有的复杂性，使得许多在线性问题中常用的行之有效的方法如叠加法在解决非线性问题时遇到了新的严重困难甚至完全不可用，导致非线性方程迄今仍然没有统一的求解方法。本文介绍几种求解非线性方程的方法，这些方法都较为先进，了解和掌握好这些方法有助于找出非线性方程新的精确解，并且为该领域的发展提供一些帮助。1非线性系统的概述1.1 非线性系统概念系统的数学模型不满足叠加原理或其中包含非线性环节。1.2 非线性系统和非线性动力学动力学是研究动力系统的状态变量随时间变化规律的学科。状态变量随时间变化的定量表述是各种形式的（连续的或离散的）数学方程，这种表示状态随时间变化的方程称为动力学（动态）方程。动力系统的研究一般多限于线性系统，这样是因为线性方程易于求解，而且线性方程具有的特性简单，如叠加原理。然而实际存在的客体大多都为非线性系统，除极少数外，大都不存在解析解，且难于用一些经典方法了解其特性。直到20世纪六七十年代计算机科学技术的迅速发展，才使人们对非线性系统有了较深刻的了解，而且使非线性动力学在自然科学和社会科学的许多领域中得到广泛应用。动力学方程的正确性要以客观实践的检验作基础。如力学中关于质点运动的牛顿第二定律、拉格拉日方程和哈密顿方程。但是在许多情形下，人们并不清楚系统包含哪些状态变量以及这些状态变量之间相互作用的规律。还有不少情形，人们只是观测到反映系统随时间变化是某个（或某些）变量变化的时间序列，此变量甚至可能不是系统的状态变量而只是与状态变量有关的另外的变量。在这类不知系统状态变量相互作用的细致规律的情形下，人们仍希望借助于已有的知识，特别是某些变量随时间变化的规律来建立系统的动力学方程，这就是所谓的建模。1.3 非线性系统的分类 非本质非线性:能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。 本质非线性:用小偏差线性化方法不能解决的非线性。1.4 线性与非线性的区别 定性地说，线性关系只有一种，而非线性关系则千变万化，不胜枚举。线性是 非线性的特例，它是简单的比例关系，各部分的贡献是相互独立的；而非线性是对这种简单关系的偏离，各部分之间彼此影响，发生耦合作用，这是产生非线性问题 的复杂性和多样性的根本原因。正因为如此，非线性系统中各种因素的独立性就丧 失了：整体不等于部分之和，叠加原理失效，非线性方程的两个解之和不再是原方程的解。因此，对于非线性问题只能具体问题具体分析。 线性与非线性现象的区别一般还有以下特征： （1）在运动形式上，线性现象 一般表现为时空中的平滑运动，并可用性能良好的函数关系表示，而非线性现象则表现为从规则运动向不规则运动的转化和跃变； （2）线性系统对外界影响的响应平缓、光滑，而非线性系统中参数的极微小变动，在一些关节点上，可以引起系统运动形式的定性改变。在自然界和人类社会中大量存在的相互作用都是非线性的， 线性作用只不过是非线性作用在一定条件下的近似。2动力学方程的标准形式连续流的动力学方程通常是用微分方程形式表述的，而一般常微分方程（暂不讲偏微分方程问题）有各种不同形式：有一元高阶的，其中又有自治的和非自治的之分，又有多元的常微分方程组。但所有常见的非线性常微方程都可以化为自治的一阶常微分方程组，因为对于高阶自治方程组，只要把各阶导数当作新的变量即可。如对于二阶常微分方程，因为对于高阶自治方程，只要把各阶导数当作新的变量即可。如对于二阶常微分方程： （1）令，则上式便可化为一阶常微分方程组：2 （2）对于非自治方程，只要把方程中显含的时间当成新的变量： (3)并引入一新的方程： (4)这样，原来的个变量非自治方程就变成个变量的自治微分方程组了。如果非自治方程中所显含的时间是以某些特殊函数的形式出现，则还可以根据函数的特点进一步简化。以受迫范德玻尔方程为例，由于其中的含时因子是方程： (5)的解，因此可以引入新的二变量一阶方程组： (6)表示此余弦因子。因此，受迫范德玻尔方程可化为下属自治的一阶微分方程组： (7)根据以上分析，今后就以一下的一阶自治方程组作为分析讨论的对象（为状态变量个数，也称自由度数）： ， (8)上式也可写成矢量形式： (9)式中是维欧几里得空间中的矢量（），其第方向的分量就是。于是上式也可写成矩阵形式：= （10） （11） （12）T表示矩阵的转置（行列对调）。我们称此由状态变量所张的空间为相空间或状态空间.很明显,用相空间分析系统的运动具有几何学直观的优点。方程（8）和（9）这样的自治方程组称为动力（学）方程的标准形式，它们代表所要分析讨论的动力系统状态变化的规律。它们既被称为系统的动力（学）方程，也成为运动方程或状态方程。3方程以及映射法求解非线性动力学方程的一些方法3.1方程概述3.1.1 方程 方程是形式如的常微分方程。解法：先以代入：其中 ；再以代入：3.1.2 Schwarzian方程上的应用显然可设 ：再代入，得线性微分方程：因为，积分得另一方面，若线性方程有其他线性独立解则有： 3.1.3已知某一特定解已知是一特定解，可设通解，代入整理得伯努利微分方程：3.2 映射法求解非线性动力学方程阅读一些有关映射法求解非线性动力学方程的资料，发现有很多专家和学者对这方面有较多和较为深刻的论述，其中有些对非线性动力学方程的求解提出巧妙的解决方法：张文亮, 吴国将, 张苗, 王军帽, 韩家骅5 对jacobi椭圆函数展开法进一步扩展, 利用映射法, 结合辅助方程, 求出了非线性mKdV 方程和Klein- Gordon 方程的一系列新的精确周期解。本文的方法具有一定的普遍性, 可以用来求解更多的非线性发展方程, 例如非线性方程、KP 方程、Ginzburg- Landau 方程等。钟太勇，钟远涛7 利用形变映射法, 通过建立KdV 方程与三次非线性Klein-Gordon (NKG) 方程及其解的简单代数映射关系, 由NKG 方程的已知解获得了KdV 方程丰富的显式精确行波解, 包括孤波解、周期波解、幂函数解、Jacobi 椭圆函数解和其他精确解等.这将有助于对KdV 方程的了解和进一步的研究. 形变映射法作为一种简便求解非线性方程的方法, 可以在许多可积和不可积非线性模型系统中得到进一步的应用和推广. 钟太勇, 刘利敏, 贾卫红3 用形变映射法, 通过建立NLS方程与三次非Klein-Gordon (NKG)方程及其解的简单代数映射关系, 由NKG方程的已知解, 获得了NLS方程丰富的显式精确行波解, 包括孤波解,周期波解, 雅可比椭圆函数解和其他精确解等. 这将有助于对NLS方程的了解和进一步研究. 形变映射法作为一种简便直接求解非线性方程的方法, 以在许多可积和不可积非线性模型系统中进一步应用推广.刘利敏,张运章,王建宏2 利用形变映射法, 建立Hamilton方程与Klein-Gordon( NKG) 非线性方程的一类特殊类型解的代数变换关系, 根据NKG方程的已知解, 获得Hamilton方程系统丰富的显式精确行波解,包括孤波解,周期波解,雅可比椭圆函数解.4 求解非线性动力学方程的其它一些方法4.1求解非线性动力学方程的错差迭代法笔者提出了用系统对应的齐次线性方程组的精确解作为初始近似解进行错差迭代9 ，求出非线性系统在一定时间区间内的近似解析解。由于每次迭代计算均是求解相应线性系统精确解析解，而线系统的解具有封闭性，因此构成非线性系统的解析解同样具有封闭性，当计算时间增加时，计算舍入误差的传播不会扩散，不出现计算机字长有限而引起舍入误差导致计算不确定性问题。此外，方法避免了特殊函数，如Bessel 函数或椭圆函数在解析逼近解中出现，这使给出的解析逼近解形式简单、易用。给出的方法能够进一步推广，建立其它含有三角函数的非线性动力系统的解析逼近解。4.2 求解非线性动力学方程的模态叠加多尺度法笔者在充分考虑摄动法和数值分析法特点的基础上, 提出一种既能对弹性机构非线性动力学方程求得较高精度的解、又能深入研究这类弹性机构动力学特性的新方法迭代式模态叠加多尺度法12 : 首先利用多尺度法求解系统动力学响应的一次近似解, 然后将该一次近似解作为系统广义坐标初值, 利用迭代式模态叠加法求得系统动态响应的精确解, 其精确度通过预先设定的一个小的正数来控制. 算例分析表明, 该方法是可靠、有效的.4.3 逆算符方法求解非线性动力学方程笔者首先简介逆算符方法8 及如何实现对它的数学机械化；然后用逆算符方法研究了三个典型的非线性方程：Lorentz方程, 广义Duffing方程和双藕合广义Duffing方程。用四阶龙格-库塔方法进行比较, 说明逆算符方法比龙格-库塔方法具有更高的精度和更快的收敛性。笔者把逆算符方法应用于混沌行为的研究, 并将此法在微机上实现了数学机械化。该法有很大的普适性, 特别适用于对复杂间题的定量计算, 大有应用和发展前途。4.4 求解非线性动力学方程的渐近数值方法 笔者利用精细积分技术11 对同伦摄动方法进行了改进,构造了一种求解非线性动力学方程的新的渐近数值方法。数值算例结果表明,该方法的计算精度高于简单的同伦摄动方法,同经典的精细积分法相比,该方法计算量小,对时间步长不敏感,更适合于求解非线性问题。4.5 求解非线性动力学方程的分段直接积分法 笔者10 针对维未知向量的一阶微分方程进行求解。首先，将非线性部分在所论时刻处用的次多项式来近似，然后借助分段直接积分法，导出了各段内的、用的解析函数表达的求解公式，通过选取值，可获得一系列具有不同精度的近似解，便于研究非线性动力学行为与其物理参数的依赖关系。为适应实际计算，还全面讨论了上述多项式的确定方法，其中包括避免求导数的算法。算例表明所提出的方法不仅可用于求解非线性动力响应问题，而且对研究解的形态和稳定性，如对吸引子、极限环、二次Hopf分岔等分析也不失为一个有效的工具。参考文献1 吴小红. 拓展的Riccatic方程映射法在非线性联立薛定谔方程中的应用J. 西北师范大学学报( 自然科学版),2007,43(3):34-36.2 刘利敏，张运章，王建宏.形变映射法求Hamilton方程的行波解J.云南民族大学学报(自然科学版),2007,16(1):9-12.3 钟太勇，刘利敏, 贾卫红.形变映射法求非线性薛定谔方程的显示精确行波解J. 西南民族大学学报(自然科学版),2007,33(6):1264-1268.4 翁建平.形变映射法求广义Kuramoto2Sivashinsky方程的行波精确解J. 山西师范大学学报(自然科学版),2005,19(1):34-37.5 张文亮,吴国将,张苗,王军帽,韩家骅.映射法与Klein-Gordon方程新的精确解J.安徽大学学报(自然科学版),2007,31(5):50-53.6 张文亮,吴国将,张苗,王军帽,韩家骅. 映射法与非线性波动方程新的精确解J. 皖西学院学报,2007,23(2):49-55.7 钟太勇，钟远涛. 用形变映射法求KdV 方程的显式精确行波解J. 江汉大学学报(自然科学版),2009,37(7):10-12.8 方锦清，姚伟光. 逆算符方法求解非线性动力学方程及其一些应用实例J. 物理学报,1993,42(9):1375-1384.9 张小杭，樊社新，袁军，秦宇. 求解非线性动力学方程的错差迭代法J. 机械设计与制造,2009,(11):219-221.10 裘春航，吕和祥，钟万勰. 求解非线性动力学方程的分段直接积分法J. 力学学报,2002,34(3):369-378.11 梅树立，邢如义，张森文. 求解非线性动力学方程的渐近数值方法J. 中国农业大学学报,2004,9(4):92-96.12 李兆军，蔡敢为，杨旭娟. 求解非线性动力学方程的模态叠加多尺度法J. 华中科技大学学报( 自然科学版),2010,38(8):115-117.13 黄涛，樊建平，何建平，王乘. 求解非线性动力学方程的预测2校正数值算法J. 固体力学学,2007,28(1):2-6.论文目录1 引言 2 对于一般非线性物理方程求解方法3 Fisher方程的求解 4 广义Fisher方程求解 4.1 n=1的情况 4.2 n=2的情况 4.3 n(0,)的情形 5 总结和讨论 6 参考文献 非线性方程的求解数理学院物理系 物理071本 魏超 指导老师：方建平摘要： 本文利用Riccati方程映射法求解广义Fisher方程。首先求解n等于1和2的方程，在这基础上，利用幂变换求得方程在高次情况下的精确解，最后对所求得的解进行简单的讨论。本文所用的方法简单而初等，能够推广到其他一些高次方程的求解。关键词：广义Fisher方程；Riccati方程映射法；幂变换；精确解Solving nonlinear equationWeichao Director: Fang jian-pingDepartment of Physics, College of mathematicalAbstract：Using the Riccati equation mapping method to solve the generalized Fisher equation. Firstly， solving the equation when n equals to 1 and 2 , under the circumstance, using the index transformation to get the accurate solution of the equations under the high index ,finally have a simple discussion wed gotten. The method used in this paper is simple and basic, which can be approached to solve other high index equations . Key words: generalized Fisher equation；Riccati equation mapping method；index transformation；accurate solution1 引言在相当长的一段时间里，非线性物理问题的研究都处于难以深入的境地。二十世纪六七十年代，计算机逐渐发展起来，人们利用现代工具有效的解决了一些问题，才实现了开启非线性物理学的大门。求解非线性动力学方程，长期以来都是物理学家和数学家研究的重要课题。随着研究方法不断地涌现和计算机代数系统的快速发展，非线性方程的解日趋丰富。19751978年，Aronson和Weinberger系统地研究了如下的非线性问题1,2， （1）这里要求非线性函数满足如下的泛定条件， （2）在相应的限制下, 文献1,2给出了非线性方程（1）解的渐近行为已相当普遍和深人的讨论。所得重要结论之一表明, 在任意局域的初始扰动下, 方程（1）的解将发展成为具有确定波速的局域行波。这种性质的行波是耗散系统中的一种孤波.非线性扩散方程（1）的研究具有广泛而深刻的物理背景。核反应中的中子增殖, 液晶等凝聚态物质中波动的传播, 成核相变中动态物理过程的描述, 生物物理中神经传导和种群遗传等问题均联系着方程（1）的研究。方程（1）最简单的特殊形式是取非线性函数，这时方程（1）成为， （3）方程（3）是熟知的Fisher方程，下文将会给出求解过程。1936年Fisher提出该方程后，Kolmigoroff，Petrovski和Piscounoff对方程（2）进行过严格的探讨。半个多世纪以来，围绕Fisher方程有大量的工作出现，其中由Ablowitz和Zeppetella首次求得（2）式的孤波解3，受到他们的启发，Abdelkader考虑了广义的Fisher方程4， （4）但他利用复杂的参数方程表示（4）式的孤波解。他所用的方法是复杂的,其结果也是繁复的，不便于利用。文献6已对方程（4）进行讨论，本文将对Fisher方程以及给定的广义Fisher方程 （5）给出新的求解过程，并讨论以及时的情形，以便研究c为任意正整数时方程（5）的求解方法，进而得出结果。2对于一般非线性物理方程求解方法对于给定的一个非线性物理模型5：, （6）可设它有如下形式的解：，其中满足7： （7） 其中是待定常数，将式（7）代入（6），然后合并的同次幂，并令各项系数为零，得到一系列关于及的方程，从中得到并代入式（7），根据Riccati方程7的解（9）： （9）就可以确定所求系统的精确解。3 Fisher方程的求解通过对Fisher方程的求解，提出在应用映射法的过程中根据Riccati方程的解去求Fisher方程的方法。先给出Fisher方程： （10） 以行波解7代入上式积分一次令积分常数为0可得： （11）考虑方程（11）中最高阶导数项和具支配地位的最高次非线性项齐次平衡8，可确定式（7）中的=2，所以方程（11）的解具有以下形式： （12）其中，将式（12）代入式（11）可得到关于及的方程： （13）令各项系数为零，可得： （14）对（14）进行求解，用表示可得：， （15）将式（15）代入式（12）可得Fisher方程的解有如下形式： （16）Riccati方程的解（9）代入式（16），并令，可以进一步得到方程（11）的精确解： ： ： 4 广义Fisher方程的求解这里主要介绍物理现象中典型非线性方程广义Fisher方程，并利用上述方法求解其新的精确解。4.1 n=1的情况考虑如下形式的广义Fisher方程 （17）首先我们讨论的情况，此时式（17）可变化为： （18）以行波解代入上式积分一次令积分常数为0可得： （19）同样，考虑方程（19）中最高阶导数项和具支配地位的最高次非线性项齐次平衡8，可确定式（7）中的=2，所以方程（19）的解具有以下形式： （20）其中，将式（20）代入式（19）可得到关于及的方程，合并的同类项之后，令 的各次项系数为零，可解得的解： ， ， （21）将式（21）代入式（20）可得到新的精确解： （22）将Riccati方程(9)代入式（22）可进一步得到精确解：其中，4.2 n=2的情况接下来我们讨论的情况，此时式（17）可变化为： （23）以行波解代入上式积分一次令积分常数为0可得： （24）我们考虑方程（24）中最高阶导数项和具支配地位的最高次非线性项齐次平衡8，可确定式（7）中的=1，所以方程（24）的解具有以下形式： （25）其中，将式（25）代入式（24）可得到关于及的方程，合并的同类项之后，令 的各次项系数为零，可解得的解： ， ， （26）将式（26）代入式（25）可得到新的精确解： （27） （28）将Riccati方程(9)代入式（27）可进一步得到精确解：将Riccati方程(9)代入式（28）可进一步得到精确解：其中，4.3 n(0,)的情况以上讨论了和两种特殊条件下广义Fisher方程的精确解，虽然这对实际物理研究起不到预期的贡献，但对于继续研究的情况起到了辅助性的作用：在引言中有提到Abdelkader所用的方法与结果5是复杂的，不便于实际物理研究。以简洁的形式表示出相应方程的精确解对具体物理问题的讨论是极有价值的。令，则广义Fisher方程如式（17）所示，针对式（17）做如下幂变换： （29）方程（17）变换为： （30）设上式方程有行波解： （31）则方程（31）成为： （32）接下来考虑方程（32）中最高阶导数项和具支配地位的最高次非线性项齐次平衡8，可确定式（7）中的=1，所以方程（32）的解具有以下形式： （33）其中，将式（33）代入式（32）可得到关于及的方程，合并的同类项之后，令 的各次项系数为零，可解得的解： ， ， (34)将式（34）代入式（33）可得到新的精确解： （35） （36）将Riccati方程(9)代入式（35）可进一步得到精确解： （37）因为，故：（38）将Riccati方程(9)代入式（36）可进一步得到精确解：（39）因为，故：(40)其中，。系数受到次数的影响，关系为，这也是本文研究方法上出现的问题，所以在今后的研究过程中需要继续深化，以便寻得更好的求解非线性方程的方法。4 总结和讨论对于一个给定的非线性高次方程（即本文中的广义Fisher方程），可以考虑将高次项转化9-11（本文中令），转化成新的非线性方程后再考虑用映射法求解，进而利用Riccati方程的解得到新的精确解。以简洁的形式表示出相应非线性动力学方程的精确解对具体物理问题的讨论是极有价值的，这里的方法简洁而初等, 并易用于求解广义Burgers-Fisher方程12、广义Burgers-Huxley方程13、Bretherton方程14、Pochhammer-chree方程15等非线性方程。参考文献：1 Aronson,D.G.and Weinberger,H.F,in Partial Differential Equations and Related Topics,Lecture Noses in Mathematics 446 (Ed.Goldstein,J.A.),Springer,1975,549.2 Aronson,D.G.and Weinberger,H.F,Adv.Math,80(1978),33.3 Ablowitz.M,J.and Zeppefella,A,Bull.Math.Biol,41(1979),835.4 Abdelkader,M.A,J.Math.Anal.Appl,85(1982),287.5 郭秀荣. Fisher方程的精确行波解J. 洛阳大学学报,2006,21(2):9-10.6 王心宜. 广义Fisher方程的显式精确孤波解J. 北京：科学通报, 1987, (9): 657-659.7 FANG Jian-Ping,ZHENG Chun-Long,LIU Qing.Nonpropagating Solitons in(2+1)-Dimensional Dispersive Long-Water Wave SystemJ.Commun.Theor.Phys,Beijing, 2005,43(2):245-250.8 张文亮,吴国将,张苗,王军帽,韩家骅. 映射法与非线性波动方程新的精确解J. 皖西学院学报,2007,23(2):49-55.9 罗琳, 汤燕斌. 一类广义Fisher 方程的行波解J. 湖北民族学院学报( 自然科学版),2003,21(2):57-59.10 王明新. 一类广义Fisher方程的波前解J. 科学通报,1994,39(2):102-105.11 陈义安. 关于广义Fisher方程的孤波解J. 川东学刊(自然科学版),1998,8(2):10-11.12 J.Satsuma,Topics in soliton theory and Soluvable nonlinear equations,ed.blowitzet.al(World Scientific,Singapore,1987).13 M.L.Wang,Phys.Lett.A131(1988)277.14 F.P.Bretherton,Fluid Mech.12(1980)95.15 C.E.Seyler,Phys.Fluids27(1984)1109.英文文献原文：Localized Structures on Periodic Background Wave of (2+1)-DimensionalBoiti-Leon-Pempinelli System via an Object ReductionFANG Jian-Ping, MA Song-Hua, FEI Jin-Xi, HONG Bi-Hai, and ZHENG Chun-LongCollege of Mathematics and Physics, Li shui University, Li shui 323000, ChinaShanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics, Shanghai University, Shanghai 200072, China(Received October 27, 2006)Abstract In this paper, we present an object reduction for nonlinear partial differential equations. As a concrete example of its applications in physical problems, this method is applied to the (2+1)-dimensional BoitiLeonPempinelli system, which has the extensive physics background, and an abundance of exact solutions is derived from some reduction equations. Based on the derived solutions, the localized structures under the periodic wave background are obtained.PACS numbers: 03.65.Ge, 05.45.YvKey words: object reduction, (2+1)-dimensional BoitiLeonPempinelli system, exact solution1 IntroductionSome powerful