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浙江师范大学初等数论考试卷（F卷）（20012002学年第一学期）考试类别 使用学生数理学院数学专业98本科 考试时间120分钟表 出卷时间2000年月日12月28日 说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理。一、 填空（36分）1、d（1000）= 。（1000）= 。（1000）= 。2、n， 若则n为 。3、不能表示成5X+3Y（X、Y非负）的最大整数为 。4、7在2003！中的最高幂指数是 。5、（1515 ，600）= 。6、有解的充要条件是 。7、威尔逊定理是 。8、写出6的一个简化系，要求每项都是5的倍数 。9、化为分数是 。10、的末位数是 。11、-2.3= 。12、（1）（P）（）= 。13、且能被4、5、7整除，则最小的是 。14、被7除后的余数为 。15、两个素数的和为31，则这两个素数是 。16、带余除法定理是 。二、 解同余方程组（12分）三、 叙述并且证明费尔马小定理。（12分）四、 如果整系数的二次三项式 时的值都是奇数，证明 没有整数根（6分）五、 设为奇素数，则有（8分）（1）（2）六、 证明：对任何正整数，有| （6分）七、证明：是无理数。（8分）八、试证：对任何的正整数不能被4整除。（6分）九、解不定方程 （6分）初等数论模拟试卷（F）答案一、1、16，2340，93601、 素数2、 73、 3314、 155、6、7、 5，258、9、 810、 -311、12、 14013、 514、 2，2915、 a，b是两个整数，b0,则存在两个惟一的整数q，r使得二、由孙子定理三、 费尔马定理：对任意的素数p有证明：设p|a，则有，有， 若（a，p）=1，由欧拉定理有两边同乘a即有四、 由条件可得c为奇数，b为偶数如果p（x）=0有根q，若q为偶数，则有为奇数，而p（q）=0为偶数，不可能，若q为奇数，则有为奇数，而p（q）=0为偶数，也不可能，所以没有整数根五、 ：由欧拉定理由费尔马定理六、（5，11）=1，（4，11）=1，（3，11）=1由欧拉定理得，进一步有，对任何正整数，有即有| 七、证：假设是有理数，则存在自数数a,b使得满足即，容易知道a是3的倍数，设a=3a1，代入得,又得到b为3的倍数，设，则,这里这样可以进一步求得a2，b2且有aba1b1 a2b2但是自然数无穷递降是不可能的，于是产生了矛盾，为无理数。八、 n=2k时有=，不能被4整除当n=2k+1时有=，不能被4整除，所以有对任何的正整
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