【毕业学位论文】（Word原稿）有界分形市场假说与中国股市的实证研究

硕士研究生学位论文 题目 ： 有 界 分 形 市 场 假 说 与 中 国 股 市 的 实 证 研 究 姓 名 ： 学 号 ： 院 系 ： 中国经济研究中心 专 业 ： 金 融 学 研究方向 ： 金 融 学 导 师 ： 教授 二 年六月 版权声明：任何收存和保管本论文各种版本的单位和个人，未经本论文作者授权，不得将本论文转借他人并复印、抄录、拍照、或以 任何方式传播。否则，引起有碍作者著作权益之问题，将可能承担法律责任。I 摘 要 本文从现代金融学的一个基本问题：股价运动是否随机出发，探讨了两种不同的理论框架 均衡体系和复杂系统对金融市场本质的不同刻划。我们表明有效市场假说代表的均衡体系与经验证据不符，不能反映金融市场的复杂系统本质。基于前沿的金融研究领域 经济物理学，我们提出了有界分形市场假说，该假说使用复杂系统的一支 分形的方法来研究金融市场的行为。我们主要考察了分形系统的长程相关和统计标度行为，并表明二者作为复杂系统的特征具有内在一致性。在对中 国股市进行的实证研究中，我们发现上证指数和深圳指数存在长程相关和统计自相似的有力证据。我们使用 R/S 分析估计了长程相关的特征量赫斯特指数，并通过 0 概率的标度行为估计了列维稳定分布的自相似参数。稳定性分析验证了以上结果的稳健性。在 R/S 分析中我们发现上证指数存在着“非周期性循环”，其平均周期约为一年，而深圳成份指数则没有发现类似的非周期循环证据。实证研究的结果一致地表明中国股市存在内在的分形性质，验证了有界分形市场假说。本文的研究对于发展新的理论框架，应用新的数理工具和统计方法认识金融市场的本质提供了令人感兴 趣的证据，并为进一步的研究提供了基础。 关键字 ：有效市场假说，有界分形市场假说，标度行为，长程相关， R/维稳定分布 a of of of of We in of as on we on of in We as of In we of , we to by of we We to of “of we t In in of to of it to R/S I 目 录 I. 引论：数理逻辑、经济信念与现代金融学 (1) 有效市场假说与分形市场假说：方法论、工具与创新 (1 ) 2 1 有效市场假说 2 2 随机游走假说、高斯分布假定及其检验 2 3 一个新的视角：作为复杂系统的金融市场 2 4 有界分形市场假说 模型与方法 . (8) 3 1 重标度极差分析（ R/S 分析） 3 1 1 重标度极差分析（ 3 1 2 解释 R/S 分析 3 1 3 R/S 分析的问题与改进 3 2 分形分布 列维稳定分布（ 3 2 1 列维分布 3 2 2 从经验分布中推断分布参数 中国股市的实证研究 (1 4) 4 1 数据集 4 1 1 日价格和收益序列 4 1 2 高频金融数据 4 2 长程相关行为 4 2 1 R/S 分析的结果 4 2 2 稳定性分析 4 2 3 解释 R/S 分析的发现 4 3 统计分布研究 4 3 1 对正态分布的偏离与统计自相似 4 3 2 估计列维分布参数 4 3 3 应用估计的列维分布参数 4 3 4 讨论：列维分布的研究结果 4 4 进一步的讨论 4 4 1 不足与弱点：非线性特征的不稳定性 4 4 2 进一步的研究 V. 金融学与经济物理学：延伸的讨论 . (30 ) 参考文献 . (31) . (1) . ( 1) 2 1 2 3 A as 4 . (8) 3 1 R/S 3 1 1 1 2 1 3 2 2 1 2 2 V. s . (14) 4 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 3 3 3 1 3 2 3 3 4 3 4 of 4 4 1 of 4 2 . . (30 ) . (31) 1 I. 引论：数理逻辑、经济信念与现代金融学 自 20 世纪 30 年代数理经济学产生以来，现代经济学开始建立基于严密的数理逻辑的形式体系，日益趋于以严密的语言逻辑为特征的现代科学体系的一部分。数学成为经济学表达思想的语言，数理逻辑成为经济学论证的一部分。然而在数理形式下隐含着的，更为根本的则是经济信念。经济学的基本假设、观念甚至价值判断决定 了其逻辑体系的构建，影响其对数学工具的选择。从现代经济学的开端至今，主流经济学的一个基本信念是相信均衡： 在市场参与各方充 分竞争、信息完全的条件下，在“看不见的手”作 用下，供给与需求相等，市场会趋向唯一的一般均衡状态 ，实现商品的公平价格和资源的有效配置。基于这一共同的信念，经济学的多数流派都可以归入均衡学派。与此相应，构建线性 均衡体系的优化理论成为经济学的主要数学工具。这一信念与经济学家的直觉有关，而放在更广阔的科学史背景下来考察， 则受到科学认识论中均衡观念的深远影响。 在新观念产生以前， 平衡态热力学 的 负反馈机制 统治了人们的思维，使得均衡作为一种常态被普遍接受 。 而 主流 的 经济学 理论，其核心观念就是市场的负反馈机制。 作为现代经济学的重要分支，金融学 与数学 和物理学 的进展密切相 关 ，均衡观念也成为人们理解金融市场的出发点 。 对于股价运动随机的观察与均衡观念的结合 发展 出 现代金融学中一个 基本 概念：有效市场假说。它相信金融市场如同其他经济系统一样，存在着唯一的一般均衡竞争均衡。 均衡学派的理论 在经济学中 取得了巨大的成功。但随着认识的不断进步， 人们发现简单的均衡 往往不能解释现实经济运动的复杂性。 上 世纪 70 年代以后，新兴的非平衡态科学 极大地改变了人们认识世界的观念和方法。人们由 相信世界是均衡的、同质的到 意识到 世界是复杂的、多样的。 而新的研究方法则提供了有力的工具来更深入地理解系统的本质。这一重 要的转变 被认为是 20 世纪最重要的科学进展之一，被笼统地称为“复杂科学”。 本文的主要目的是应用 新兴的复杂科学方法对中国股票市场进行实证研究，检验 从复杂系统角度认识金融市场的重要命题 有界分形市场假说。本文第二部分将概要地介绍有效市场假说和分形市场假说，第三 部分讨论 本文研究 分形市场假说使用的基 本模型和方法，第四 部分是对中国股票市场的实证研究，在最后一部分，我们将 总结我们的研究，并探讨复杂科学在金融学研究中的贡献和弱点。 有效市场假说与分形市场假说：方法论、工具与创新 2 1 有效市场假说 “有效市场假说”（ 金融学中最基本，也是最富有争议的命题之一。这一理论的起源是人们对资本市场价格运动没有规律的观察。最早可以追溯到 1900 年 于债券价格运动的研究，他首次提出了债券价格运动是随机的，成为有效市场观念的鼻祖 (L. 1900)。这一工作在数十后由美国海军实验室的 新发现 (1959)，他研究了股票2 市场上的价格运动，并把它与物理学中随机粒子的布朗运动联系起来。现代经济学中的 文献从 始，其贡献恰好可以用论文的名字概括：“关于合理预期的价格波动随机性的证明” (1960)。在 20 世纪 60 年代到 70 年代，芝加哥大学的 出有效市场假说。 依据 定义，若资本市场的价格对新到来的信息迅速做出反应，并且完全反映了当前信息集的全部可用信息，那么这个市场就是一个“有效”的市场 (1965, 1970)。 定义直观模糊， 1992 年的帕尔格雷夫金融学词典作了更清晰的解释 ：“资本市场被称作是“有效”的，如果它完全且正确地反应了决定证券价格的相关信息。正式地说，资本市场关于某个信息集是有效的，若向市场参与者披露信息后证券价格不受影响；更进一步，关于某个信息集的市场有效性意味着不可能在该信息集下进行交易以获取经济利润。” (1992)。 因此，市场有效主要指的是信息有效 (。这一思想包含三个要点： A. 新的信息迅速综合进价格里：当新的信息到来时，市场上众多理性的参与者会迅速作出反应，使得价格在瞬时作出调整，综 合进新的信息； B. 价格变动无法预测：当前的价格已经包含了迄今为止的所有信息，因此价格变动仅仅取决于未来信息。而未来信息是随机的，价格变动也就无法预测。对明天价格的最好预期就是今天的价格。 C. 股价运动近似为随机游走。随着时间推移信息集是相互包含的，当前的价格已经综合进了既往的全部信息，股价下一时点的运动方向与历史信息无关。换句话说，股票市场是 没有记忆 的 。没有有用的信息可以在市场上长期存在保存而不消散。 这也是为什么有效市场理论被称为“公平赌博”模型 (1970)。在一个高度竞争的、理性的市场上，没有谁可以从既往的信息中获得系统性的预测能力，价格的变动则取决于未来的信息，与过去的历史无关。而对未来价格的最好预期就是当前的价格。因此，我们可以把有效市场称作没有记忆的市场模型。一个有趣的推论是，市场越是有效，价格序列就越是随机，如果市场是完全有效的，那么价格序列就是完全没有规律和不可预测的。换个角度，也可以说股票市场是一个没有结构的市场， 然而 义的最后一句也揭示了为什么有效市场假说是金融学中最富有争议的假说之一。在学术界，相信市场均衡的金融学家们认 为市场是公平的，没有谁可以获得系统性的预测能力，并由此获取稳定的经济利润；金融市场信息的高度流动性和竞争性保证了市场可以以最快的速度实现资产的均衡价格。而在现实的金融市场，庞大的交易者群体却被另外一个截然不同的信念驱使着，他们交易的动机就是相信可以“打败市场”。市场交易者的主流派别之一 技术分析派的基本信条就是相信市场上存在着某种结构，而交易者则可以通过分析历史价格序列来获得这种结构的有用信息，从而有助于预测价格变动趋势。 对市场有效性的检验成为金融学长期热衷的少数研究课题之一。从 70 年代工作开 始，一直到 90 年代末，新的方法不断被用于检验各个金融市场的有效性。最初的证据基 本上支持市场有效的预言。一般认为越是发达的金融市场，市场就越是有效。 但 在任一市场上， 完全有效的市场 都 是 不现实 的 ，这已逐渐被金融学界承认 。价格变动 并不能即时地反应所有相关信息，而人们在进行交易时，1 信息有效不等同于资源配置的帕雷托有效，但在一定条件下，二者是等价的。 3 所依据的也 不仅仅是当时的价格。 在传统的理论框架内对有效市场假说 作出了部分修正，如区分有效市场的形式（弱式、半强和强式市场有效） (1967)，有效市场信息悖论（ 1980）， 现的 股价运 动可预测性（ 1988） 等。 即使完全的市场有效性一般并不成立，但 有效市场假说仍然 如同 经济学中的一般均衡被认为是理解金融市场的一个出发点。它的意义一是在于在金融市场上构建了与一般经济学一致的均衡框架，二是这一假设成为发展随机金融理论的基础。 2 2 随机游走假说、高斯分布假定及其检验 与有效市场假说密切相关的随机游走假说是数理金融中最重要的假设，它把有效市场的思想与物理学中的布朗运动联系起来，由此而来的一整套的随机数学方法成为构建数理金融的基石。 有效市场假说实 际上是一个鞅模型。 独立于 t 时刻的信息集 味着 ,| 11 ，这是一个鞅过程。而随机游走假说对价格运动施加了更强的限制。我们称 服从几何随机游走，若： （ 此处 为独立同分布 ( 随机序列。 价格在下一时点的运动取决于随机变量 正是有效市场思想的推论 2。 时间运动的轨迹正像物理学中一个无规粒子的游走运动，随机游走因此而得名。在随机游走趋于极限的情况下， 列就是一个标准的几何布朗运动（ ， 1997），这一假设成为随机金融理论的基石。著名的 权定价公式就建立在布朗运动基础上。 价格和收益序列的独立性假定还导致了金融市场统计分布的一个重要假定：收益序列的高斯分布假定。依据定义，某一时间尺度的对数收益 rt(k)可以分解为更短尺度的收益之和：11)( （ ， 1997）。依据大数定律， rt(k)服从正态分布。因此，在资本市场均衡理论框架下，一个完全有效的市场，应该是一个平均化的，噪声驱动的市场。 随机游走假说构成了随机金融的基础，但这一假说也因其过分严格的统计性质假定从一开始就受到置疑。对随机游走假说的检验一直是金融学的一个重要问题（如 , 1997）。早期的检验大都验证了金融市场随机性质假定的合理性，但随着新的方法和工具不断进入经济学和金融研究领域， 严格的随机游走假说基本上已被实证证据否定。但即便如此，随机游走仍然是数理 金融中最基本的假定， 这既有经济学一贯的均衡信念原因，也有数学框架易于处理的原因。 2 3 一个新的视角：作为复杂系统的金融市场 上个世纪的著名科学家，诺贝尔奖得主 谈及科学的方法时说：“检视你的问题，然后挑选合适的武器 来解决它。” 与此相反，构建完美的理论框架，然后寻找支持它的经验证据则并不是好的科学方法。然而，在经济学中，2 严格地说，随机游走并不完全等同于有效市场，前者蕴含后者，反之则未必成立。主要的差别是在随机过程的高阶矩性质上。随机游走假说要求二阶矩以上不相关，而有 效市场假说允许二阶以上的相关性。 4 多数的理论却是通过后一种途径建立起来的。观念性假定成为理论的出发点。 有效市场假说处在资本市场均衡观念的核心。它的核心假设在于信息影响市场价格的方式：它假定人们以一致的 、线性的方式对信息作出反应，一旦信息到来就能迅速地被市场完全“吸收”，信息的作用仅限在很短的时间尺度内。因此，市场能迅速地达到一种“线性”的均衡。这一假定事实上是金融市场的“牛顿物理学”。而随机游走假说则可以视为金融市场上的“理想气体”模型。在这样一个稳态均衡的系统内，系统的相关尺度很短，演化是随机和无序的 。 然而非平衡态和非线性科学的兴起，尤其是对复杂系统认识的深入使传统的线性均衡观念受到了深刻挑战。我们认识到自然界普遍存在的是长期偏离单稳态均衡的非平衡系统，系统的行为必定包含了其结构演化的某种信息。 系统 的 演化虽然是复杂的并且难以预测，但却不是完全随机和无序的。 与此同时， 非线性机制 取代线性机制是 演化的决定性机制。 一个复杂系统的基本特征是存在大量自由度和多体之间复杂的相互作用。传统的观点认为大自由度系统行为表现出随机性，而新的方法则试图发掘隐藏于随机性之后的有序性。复杂系统区别于线性系统的一个重要特征是系统演化敏感地依赖于其初始状态，初始条件的微小差异可能导致系统沿着截然不同的路径演化。系统当前的状态可能记录着关于其历史的某种信息，并且这种信息可以被长期在系统内保留。因此，区别于线性系统的是，复杂系统往往呈 现出某种长程相关的特性。 而金融市场正是一个典型的经济复杂系统：有大量独立的金融市场参与者，存在适应性预期、正反馈等复杂的相互作用。在“牛顿物理学” 的 思维框架下，传统的代表者理性和一致性预期被认为是对系统复杂性的理想化模型，这事实上否认了金融市场的复杂性。随着对金融市场认识的深入，金融市场某些特殊的行为，如收益和波动的聚类行为、尖峰和重尾分布、收益的长期相关性等已被普遍发现 和 承认。它们被称为偏离市场有效的“异常”现象（ 主流的金融理论 对 这些 异常现象的解释大都着眼于 现实金融市场对均衡即有效市场 的偏离，而没有考虑 金融市场作为复杂系统 内在地表现出 以上特征的可能。有效市场假说消除了价格历史包含市场结构信息的可能，而从新的复杂系统的视角来看，金融市场的演化路径则必定包含着关于市场结构的某种信息。在现实的金融市场上，这一观点也是符合直觉的：多数市场主体在作出交易决策时，参考的变量远非仅仅是当前的价格水平，相反可能考虑到价格运动的历史和多种复杂的因素，试图识别出某种演化的模式（ 基于这一全新的视角，自上世纪 80 年代以来复杂科学的研究方法开始进入经济学和金融学领域。这一自然科学方法向社会、经 济领域扩散的新方法最初在自然科学界中流行，很快也吸引了经济学家的注意。混沌、分形、自组织系统、人工智能等新方法被广泛用于研究经济周期、经济系统演化、金融市场行为和市场机制等，并发现了经济复杂性的广泛证据，如货币指数中的混沌（ 987），经济系统自组织性（ W. B. 1992， 1995）等。 90年代中期，以波士顿大学的物理学家 然杂志上的论文一种经济指数动力学的标度行为为开端，逐渐兴起了一个新的物理学与金融学的交叉领域 经济物理学（ 995）。这一新的领域主要应用统计物理学研究大自由度系统的方法来研究金融市场，重点考察其标度行为、时间序列相关性质、统计分布及市场主体相互作用机制等。经济物理学的研究发现各种类型和发达程度的金融市场都具有某些类似5 的复杂性特征，而这些特征的稳定性则很可能表明了金融市场作为大自由度复杂系统的本质（ 2000）。这一研究方向在最初主要由物理学家和数学家参与，但很快进入了主流金融学研究的视 角（例如 1999），成为金融理论、尤其是数理金融和金融计量研究的前沿领域之一。本文将要研究的就是经济物理学中一个重要的假说：分形市场假说，通过这一全新的视角对中国股市的特殊行为进行考察。 2 4 有界 分形市场假说 分形是 20 世纪 70 年代后发展起来的一门新兴的复杂科学，它研究的是一种特殊的复杂系统 “自相似”系统，即在不同标度下存在相同或相似特征的系统。分形的一个奇怪性质是，它们不具有通常情况下用于测量的特征标度，并且具有特殊的特征量：介于整数维之间的分数维。著名的海岸线测量就是分形的一个例子。人 们发现在测量海岸线长度时，所测长度取决于用来测量的尺子长度，尺子越短，所测的实际长度就越长。其原因是所用的尺子越短，系统内部相似的细微结构就越多地被揭示出来。 在金融市场上，我们也观察到类似的分形结构 。 价格序列在日、周、月的轨迹具有相似性， 我们无法确切地将它们分辨开来 。基于这一观察，以及金融市场分形性质的不断发现， 出了分形市场假说（ 1994），即金融市场本质上是一个复杂系统，而分形是刻划这一系统的有力工具。依据最近的研究进展，我们对这一假说提出部分修正：即金融市场事实上是 有界的分形系统。有界分形指的是市场的分形性质是有界的，金融市场上并不存在无限尺度上的自相似特征。 分形市场假说主要考察金融市场上存在的长程相关（ 标度行为（ 通过全新的观念和工具，它为揭示金融市场可能存在的内在结构提供了新的洞察力。 A分形时间序列 分形时间序列是指在不同时间尺度下具有类似统计分布的序列，在进行标度变换后它们具有同样的统计特性。 定义 ：我们称序列 的“自相似序列”，若对于任一正的尺度扩展参数 c，重标度的序列原始序列： （ 标准的布朗运动 B(t)是参数 H 自相似序列，因为 ),0()( 所以有 )()( 5.0 d 。各时间尺度的分布在方差的标度变换下服从同样的正态分布。 这种标度不变性意味着在不同的时间分辨率下，系统具有相似的行为，也就是说，系统的微观性质可以扩展到相距很远的宏观尺度。这一特征对于通常的线性系统是难以想象的，但却的确存在于大量的自然系统之中。需要指出的是，在现实的复杂系统中，标度不变性不是无穷的，而是在一定的尺度跨度内成立（亦即，标度变换常数 c 只能在一定区间内取值）。对于某些系统，分形性质可能持6 续到分子尺度，而在金融市场上，这种跨度则从分钟到月（ 2000）。 分形维 自相似系统的重要特征量，它给定了依时间尺度所进行的标度变换参数 H： 2。分形维的意义在于它刻划了系统是否随机：若 么过程是完全随机的，对应的统计分布为高斯分布；而若 5.1么序列并不随机，而是呈现令人感兴趣的特殊的统计特性。例如， 5.1列在长时间尺度内存在反相关； 5.1列在长时间尺度内存 在正相关，其统计分布则呈现尖峰和重尾行为。 B长程相关 经济学和工程中常用的时间序列都是短程相关的。如 列，其自相关函数相对于滞后阶数呈指数衰减。而长程相关序列则是一类特殊的时间序列，它的自相关衰减速度很慢，以至于在很长的滞后阶数后，系统前后两个随机变量之间仍然存在显著的相关性，而且这种相关性在一定的时间尺度范围内同样成立。这就意味着系统早期的历史对于决定系统当前和未来的状态都是重要的。而系统当前的状态也可能包含着系统演化的部分信息，并能够影响将来。 定义 ：若对于平稳序列在实数 )1,0( 及常数 0c，使得： 1/)(L （ 那么序列者慢速衰减的 平稳过程。 该过程的自相关依幂律衰减，显著地慢于常见的指数衰减时间序列。 对于参数为 H 的自相似过程，可以证明（ 1994）： )1(2)1(21)( 22 ，对于 0k 。对 0k ， )()( （ 因此，对 121 H，有 1)12(/)( 22 ，该过程具有长程相关。H ，大于一阶的相关均为 0，这正是布朗运动的特征。除去作为特例的布朗运动外，长程相关是自相似系统的一个普遍特 征，自相似参数 H 正是刻划长程相关的参数。关于计算长程相关参数 H 的办法，最早发展起来也是最完善之一的是 R/S 分析。在 R/S 分析中，长程相关参数又称作“赫斯特指数”。我们将在下一部分“模型与方法”中详细论述。 在经济现象中， 早注意到了许多经济时间序列存在长程相关（ C， 1996）。在金融市场上，“羊群效应”，聚类行为等等是长程相关存在的直观证据。我们将在第四部分“中国股市的实证研究”中详细地分析中国股市存在的长程相关行为。 C标度行为与统计分布 7 统计分布是金融市场实证研究的最重 要问题，因为完整的序列多元分布刻划了随机过程的全部性质。基于有效市场假说和对随机系统的认识，多元正态分布是金融研究中使用得最为广泛的分布。而在金融市场实证研究获得的统计分布却普遍倾向于偏离正态。金融市场的收益和波动分布呈现出在均值附近集中和在尾部分散的特征，也就是说，收益在均值附近波动的幅度小于正态分布的预测，而剧烈波动的频率又大于正态分布。这被称为“尖峰” (“重尾”（ 布。 中国股市同样呈现显著的尖峰和重尾现象，如图 示。这一现象早在 60、 70 年代就 被发现（ B. 1963； 1965），但因为数学处理上的困难而没有被广泛地使用。 证指数收益率的经验分布与正态分布 拟合 的比较 。显见，经验分布在均值附近和尾部出现的概率要远大于正态分布（同均值、方差）。 具有尖峰 和重尾特征的分布之一 是分形分布。存在一类特殊的分布，这类分布在标度变换下保持统计特性的稳定性（相似性），其概率密度函数在标度变换下仅相差常数项。具有这一特征的分布我们称为稳定分布（族）（ 3。由（ 知，稳定 分布恰恰刻划了分形系统的特征，因此，我们也称之为分形分布。高斯分布是稳定分布最简单的例子，而在自相似参数 ，分形分布就呈现出重尾特征。正如复杂系统所预示的，这种重尾分布与长程相关行为等都是系统内在的行为，它们是相互关联的。 在金融市场上高频金融数据的出现使得研究统计分布的标度行为成为可能。在下一部分“模型与方法”中，我们将详细论述研究中国股票市场采用的列维分布。 模型与方法 3 稳定分布现象最早由经济学家帕雷托在收入分布中观察到，因此又称为帕雷托分布。 8 3 1 重标度极差分析（ R/S 分析） 在研究长程相关时，主要有三种工具： R/S 分析， 法和谱方法。 在本文中我们将采用 R/法。这一方法在 20世纪 50年代首先被经验性地提出，随后分形的奠基人之一 其进行了严格的数学证明和发展，使之成为研究长程相关的有力工具。与近期发展的其他方法相比， R/S 分析具有一些独特的优点，例如它对长程相关持续期间的识别。以下我们将详细讨论这一方法。 3 1 1 重标度极差分析（ R/S 分析最早由英国水利学家赫斯特提出（ 1951）。他研究的问题是基于已观测到的水库流量时间序列，计算尼罗河水 库的最佳蓄水量。 反在长达几年的时间尺度上存在某种稳定的相关行为。他发现流入量倾向于“聚类”，即接连数年流入量都低于平均水平，而接下来几年流入量却可能持续地高于平均水平。这一聚类现象明显地证明系统内存在着长程相关，后来在自然科学，如气象学和地理学研究的大自由度系统中被广泛地发现。 用圣经中七年连旱七年洪水的故事，形象地把它称为“约瑟夫效应”。 出了一个新的统计量 H 来识别这一系统性的非随机特征，即赫斯特指数。 证明这一统计量优于传统的判别相关性的方法，如自相关函数、方差比等。对研究金融市场尤为重要的一点是，在真实分布为非高斯分布的情况下，赫斯特指数对随机和非随机序列具有强健的判别能力（ B. 1969）。 R/S 分析的主要思想是分析重标度的累积均值离差的标度行为 (假定一个质点在一维时间轴上游走，那么累积均值离差就是质点随时间偏离起始点的距离。 定义长度为 N 的收益序列 ,1， 并将它分割为长度为 n 的 A 个连续子区间 4。将每一子区间标为 ,1, 。于是,1;,1, 。 对每一长度为 n 的子区间算其均值为： nk ,1 （ 我们对单个子区间计算其累积均值离差 ki , )( ， ,2,1 （ 4 依据分割长度 n 划分序列，最后一个子区间长度可能小于 n。 9 由（ 知，单个子区间累积均值离差序列 ,2,1 之和为零。定义单个子区间的极差（ ： )()( , M i a xR a ， ,2,1 （ 随后我们计算每一子 区间的标准差用它对极差进行重标度 /标准化（I ）： nk a 1 2, )(1 （ 因此，对分划长度 n，我们可以计算 A 个子区间平均的重标度极差： 1)/( （ 对不同的分划长度（即不同的时间尺 度） n 重复以上计算过程，我们可以得到多个平均重标度极差值。 明（ B. 1972）， )与n)存在线性关系： )(*)/( nL o o g n （ 因此，对 n 和 R/S 进行双对数回归，其 斜率就是长程相关的参数，即赫斯特指数 H。因此，我们可以通过普通最小二乘方法得出序列的长程相关参数。计算出 H 以后，对于分形系统，我们可以由此推算出其分形维： 2。 3 1 2 解释 R/S 分析 依据（ 当前一期对未来一期的影响可以表示为一阶相关函数： 12)1( )12( H （ H 味着序列在各个尺度上都是相互独立的，但如前所述，这并不意味着序列的统计分布为高斯分布。若 H 1， 1，表明序列完全正相关，这是确定性系统的特征。若 2 n)H=1=2= 4.4(a)：上证指数的 R/S 分析。在 n)=即 n=251 天的时间尺度上，我们观察到R/S 回归存在明显的断点。在断点以前，上证指数收益呈现显著的长程相关；在断点之后，这种长程相关退化为接近随机的相关行为。18 n)H= 4.4(b)：深圳指数收益序列的 R/S 分析。与上证指数不同 ，在深指收益序列中我们没有发现显著的“断点”，而是在我们所考察的时间尺度内呈现稳定的长程相关行为。 4 2 2 稳定性分析 在分形理论中，长程相关是系统内在的特征，因此在系统结构或其动力学机制不发生显著变动的情况下，刻划长程相关的赫斯特指数应该是稳定的。为此我们将上证和深圳指数分割为不重叠的两个区间， 1993 年至 1997 年以及 1997 年至 2001 年，并分别计算其赫斯特指数。回归结果如图 示。 从分段序列的 R/S 分析中我们发现在不同的时期，上证指数和深圳指数的赫斯特指数都保持基本稳定，这表明长程相关是中 国股市一个比较稳定的特征。深圳指数 1993 年至 1997 年赫斯特指数 H=1997 年至 2001 年 H=与总体结果 H=为接近。有所偏离的原因可能是数据长度的原因，也可能归因于市场的结构变化，但指数总体保持稳定的长程相关特征。 值得注意的是在上证指数的分段 R/S 分析中，我们同样观察到了斜率断点。在 n) 前，赫斯特指数与总体序列 R/S 回归结果相近，而在此后则近似为随机范围。 1993 年至 1997 年的赫斯特指数 H=1997 年至 2001 年赫斯特指数 H=与总体结果 H=近。分段序列的断点与整体序列断点位置不同，主要原因可能是数据长度的影响。 R/S 对数回归呈现稳定的线性行为需要较长的时间序列，因此我们在断点 后发现散点图的线性关系变得不稳定。 因此，从 R/S 分析中我们基本上可以得到稳定的长程相关的证据。但我们需要进一步验证 R/S 分析得到的结果是否反映了分形市场的本质。 19 n)1993= 4.5(a)：上证指数 R/S 分析的稳定性 n)1993.5(b)：深圳指数 R/S 分析的稳定性 20 4 2 3 解释 R/S 分析的发现 由上节分析的结果可见，在 中国股市收益序列中存在着稳定的长程相关行为。赫斯特指数稳定地高于 明市场总体存在着非随机的模式，是非有效的。与其它研究的结果相一致，这可能反映了非成熟市场的特征。与此区别的是，在成熟市场上，收益序列中的长程相关证据并不明显 12。图 例了美国S&数收益的 R/S 分析，其赫斯特指数为 常接近于随