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德宏师范高等专科学校 数学教育 论文毕业论文浅谈数学思想及方法姓名：胡云祥 学号：20090731312指导教师：申玉红 2012年4月10号毕业论文提纲题目：浅谈数学思想及数学方法关键词：数学 数学思想 数学方法摘要：M.克莱因说:“数学不仅是一种方法,一门艺术或一种语言,数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系。”那么，数学思想是对数学事实与数学理论（数学理论是由数学的概念、法则、性质、公式、公理、定理等知识范围来建立的）的本质认识。数学方法是以数学思想、理论为工具进行科学研究的方法,数学思想是其相应的方法的精神实质和理论基础,数学方法则是实施有关思想的技术手段。目录摘要1、 数学概念的诠释。2、 几种重要的数学思想。 2.1、领悟化归思想，为解决数学问题带来方便。 2.2、渗透分类讨论的思想，才能灵活处理数学问题。 2.3、渗透数形结合的思想，才能提对数学中数形转化和迁移思维的进步有所加深。 2.4、渗透从特殊到一般的数学思想，才能更有效地对创造性思维的形成和创新能力的加强。3、数学中常见的几种方法。 3.1、数学归纳法。 3.2、分类讨论法。 3.3、数形结合法。 3.4、定义法及特殊化法。4、 结论 5、参考文献 正文浅谈数学思想及数学方法关键词：数学 数学思想 数学方法摘要： M.克莱因说:“数学不仅是一种方法,一门艺术或一种语言,数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系。”那么，数学思想是对数学事实与数学理论（数学理论是由数学的概念、法则、性质、公式、公理、定理等知识范围来建立的）的本质认识。数学方法是以数学思想、理论为工具进行科学研究的方法,数学思想是其相应的方法的精神实质和理论基础,数学方法则是实施有关思想的技术手段。1、数学概念的诠释。数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生4。2、几种重要的数学思想。所谓数学思想,是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中,经过思维活动而产生的结果,它是对数学事实与数学理论的本质认识3。 2.1、领悟化归思想，为解决数学问题带来方便。所谓“化归”是指把待解决或未解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决的一种思想或方法。 2.2、渗透分类讨论的思想，才能灵活处理数学问题。 分类讨论的思想，就是对问题进行分类，逐一讨论满足条件的各类情况，达到问题的全面解决，从而达到培养自身思维的严密性、全面性。 2、3渗透数形结合的思想，才能将数学中数形转化和迁移思维的进步有所加深。 著名的数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”把数和形结合起来考虑，或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化。体现数中有形、形中有数、数形紧密联系，从而得到数形之间的对应关系。 2.4、渗透从特殊到一般的数学思想，才能更有效地对创造性思维的形成和创新能力的加强。 从特殊到一般的数学思想与方法，即先观察一些特殊的事例，然后分析它们共同具有的特征， 从中领悟了数学思想与方法，达到解放思想、开阔视野，促进了创新思维的发展。3、数学中常见的几种方法。数学方法是指人们为了达到某种目的而采用的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式。 3.1、数学归纳法。数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用2。 【案例1】已知数列an满足a1=0，a2=1，当nN时，an+2=an+1+an 求证：数列an的第4m+1项(mN)能被3整除。分析：本题由an+1=an+1+an求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法。证明：当m=1时，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3，能被3整除。当m=k时，a4k+1能被3整除，那么当n=k+1时，a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3=a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1=a4k+2+a4k+1+a4k+2+a4k+2+a4k+1=3a4k+2+2a4k+1由假设a4k+1能被3整除，又3a4k+2能被3整除，故3a4k+2+2a4k+1能被3整除。因此，当m=k+1时，a4(k+1)+1也能被3整除。由、可知，对一切自然数mN，数列an中的第4m+1项都能被3整除。注：运用数学归纳法证明问题时，关键是时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。3.2、分类讨论法。在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论。分类讨论是一种数学思想，也是一种逻辑方法，同时还是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次。其中最重要的一条是“不漏不重”。【案例2】 已知集合和集合各含有个元素，含有个元素，当同时满足条件且中含有个元素，的集合的个数是多少？分析 由已知并结合集合的概念，中的元素分两类：属于元素；不属于而属于的元素。并由含中元素的个数,而将取法分三种。解 3.3、数形结合法。数形结合的方法，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。 【案例3】: 对于 xR, y 取 4 - x, x + 1，(5 - x)三个值的最小值。求y 与x 的函数关系及最大值5。 分析：在分析此题时, 要引导学生利用数形结合思想, 在同一坐标系中, 先分别画出 y = 4 - x, y = x + 1, y = (5 - x)的图像，如图3。易得:A (1, 2) ，B (3, 1) , 分段观察函数的最低点，故y与x 的函数关系式是:y= 图1它的图像是图形中的实线部分。结合图像很快可以求得,当x= 1 时, y 的最大值是 2。 3.4、定义法及特殊化法。所谓定义法，就是直接用数学定义解题1。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。定义是基本概念对数学实体的高度抽象。【案例4】 椭圆上有一点，它到左准线的距离为，那么点到右焦点的距离为_。分析 椭圆的第二定义 平面上到定点距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合。解 利用椭圆的第二定义得到即，4、结论 本文主要介绍了数学中的几种重要的数学思想。同时还列举了解中学数学解题常用的几种方法如数学归纳法、定义法、数形结合法、分类讨论法，并辅以例题阐述。从而反映了数学知识是基础，数学方法是手段，数学思想是策略。数学思想与方法是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容，只有领会了数学思想与方法，才能有效地应用，形成能力。数学思想与方法是借助于数学知识、技能为载体而体现出来的，思想要融入内容和应用中，才成为思想，就思想讲思想，就方法讲方法，反而枯燥无味，是不能真正掌握数学思想与方法的。只有反复渗透，方能“随风潜入夜，润物细无声”。5、 参考文献1赵建勋.例谈数学填空题的基本解法J. 语数外学习(高中版高三年级)，2007,06：31-33.2张志军，张建军.怎样解高考数学填空题J.中学生数理化（高中版），2005，05：26-2