2019-2020学年高中数学 第二章 推理与证明能力检测 新人教A版选修2-2

第二章 推理与证明能力检测一、选择题(每小题5分，共60分)1用演绎推理证明函数yx3是增函数时的大前提是( )a增函数的定义b函数yx3满足增函数的定义c若x1x2，则f(x1)x2，则f(x1)f(x2)【答案】a2(2019年广西桂林期末)数列an中，已知a11，当n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是( )aan3n2ban4n3cann2 dan3n1【答案】c3(2019年安徽黄山校级期末)已知a0，b0，mlg，nlg，则m，n的大小关系是( )amn bmn cmn d无法比较【答案】a4(2018年陕西汉中模拟)给出以下数对序列：(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)记第i行的第j个数对为aij，如a43(3,2)，则anm()a(m，nm1)b(m1，nm)c(m1，nm1)d(m，nm)【答案】a【解析】由前4行的特点归纳可得：若anm(a，b)，则am，bnm1，所以anm(m，nm1)5已知a，br，若ab且ab2，则()a1abbab1cab1 dab1【答案】b【解析】b2a，aba(2a)(a22a)(a1)211.故选b6设实数a，b，c满足abc1，则a，b，c中至少有一个数不小于()a b c d1【答案】b【解析】假设a，b，c都小于，则abc1与abc1矛盾，故a，b，c中至少有一个数不小于.故选b7在abc中，sin asin ccos acos c，则abc一定是()a锐角三角形b直角三角形c钝角三角形d不确定【答案】d【解析】由sin asin ccos acos c，可得cos (ac)0.b为锐角，但a，c不能判断8(2017年天津期中)将正奇数1,3,5,7，排成五列(如表)，按此表的排列规律，2 017所在的位置是()a第一列b第二列c第三列d第四列【答案】b【解析】由题意，该数列是等差数列，则ana1(n1)d1(n1)22n1，由公式得n(2 0171)21 008，由四个数为一行得1 0084252，2 017在第252行第二列故选b9设a，b，c都是正数，则三个数a，b，c的值()a都小于2b至少有一个不大于2c至少有一个不小于2d都大于2【答案】c【解析】假设这三个数都小于2，即a2，b2，c2，则6.又由基本不等式，知当a0，b0，c0时，222 6与假设矛盾故选c10观察下面关于循环小数化分数的等式0.333，0.181 8，0.352 352，0.000 595 90.0010.595 9.根据此推测，循环小数0.233 3可化成分数()abc d【答案】d【解析】0.233 30.20.10.333.11如图，椭圆的中心在坐标原点，f为其左焦点，当时，椭圆的离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”类比“黄金椭圆”可得“黄金双曲线”的离心率为()a. b. c.1 d.1【答案】a【解析】设双曲线方程为1(a0，b0)，f(c，0)，b(0，b)，a(a，0)，则(c，b)，(a，b)，acb20.又b2c2a2，c2aca20，即e2e10.解得e.又e1，e.故选a.12(2019年湖南长沙校级月考)已知f(n)(2n7)3n9，存在自然数m，使得对任意nn*，都能使m整除f(n)，则m的最大值为()a6 b26 c30 d36【答案】d【解析】f(1)36，f(2)108336，f(3)3601036，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，推测m的最大值为36.可以利用数学归纳法作如下简要证明：f(n1)2(n1)73n19，f(n1)f(n)23n12(2n7)3n(4n20)3n，当n1时，该式的值为72可被36整除，当n2时，4n20可被4整除，3n可被9整除，则(4n20)3n可被36整除，即证二、填空题(每小题5分，共20分)13甲、乙、丙三位同学被问到是否去过a，b，c三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没有去过b城市乙说：我没有去过c城市丙说：我们三人去过同一个城市由此可判断乙去过的城市为_.【答案】a【解析】由甲、丙可知甲去过a，c城市由乙知乙只去过a或b城市假设乙去过a城市，则丙去过a城市，符合题意；假设乙去过b城市，则三个人没去过同一个城市，不合题意所以可以判断乙去过a城市14某题字迹有污损，大致内容是“已知|x|1，用分析法证明|xy|1xy|”估计污损部分的文字内容为_【答案】|y|1【解析】要证|xy|1xy|，需证(xy)2(1xy)2，化简得x2y21x2y2，(x21)(1y2)0.因为|x|1，又要证的不等式成立，所以估计污损部分的文字内容为“|y|1”15设等差数列an的前n项和为sn，则s4，s8s4，s12s8，s16s12成等差数列类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为tn，则t4，_，_，成等比数列【答案】【解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列bn的前n项积为tn，则t4a1a2a3a4，t8a1a2a8，t12a1a2a12，t16a1a2a16.因此a5a6a7a8，a9a10a11a12，a13a14a15a16.而t4，的公比为q16，因此t4，成等比数列16(2019年广东实验中学月考)已知点a(x1，ax1)，b(x2，ax2)是函数yax(a1)的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段ab总是位于a、b两点之间函数图象的上方，因此有结论a成立运用类比思想方法可知，若点a(x1，sin x1)，b(x2，sin x2)是函数ysin xx(0，)图象上的不同两点，则类似地有_成立【答案】sin 【解析】由题意知点a，b是函数yax(a1)的图象上任意不同两点，函数yax(a1)图象下凸，线段ab总是位于a，b两点之间函数图象的上方，因此有结论0，y0，要证，只需证3x(x2y)3y(2xy)2(2xy)(x2y)，即证x2y22xy，此式显然成立.再证.同理，只需证3x(2xy)3y(x2y)2(x2y)(2xy)，即证x2y22xy，这显然成立.综上，存在常数c，使得不等式c对任意正数x，y恒成立21(12分)已知函数f0(x)x(sin xcos x)，设fn(x)是fn1(x)的导函数，nn*.(1)求f1(x)，f2(x)的表达式；(2)写出fn(x)的表达式，并用数学归纳法证明解：(1)f1(x)f0(x)(sin xcos x)x(cos xsin x)(x1)sin x(x1)cos x，f2(x)f1(x)sin x(1x)cos xcos x(1x)sin x(x2)sin x(x2)cos x.(2)由(1)得f3(x)f2(x)(x3)cos x(x3)sin x.f1(x)(x1)sin(x1)cos，f2(x)(x2)sin(x)(x2)cos(x)，f3(x)(x3)sin(x3)cos.猜想fn(x)(xn)sin(xn)cos.下面用数学归纳法证明上述等式，当n1时，由(1)可知，猜想的等式成立假设当nk时，猜想的等式成立，即fk(x)(xk)sin(xk)cos，则当nk1时，fk1(x)fk(x)sin(xk)coscos(xk)sin(xk1)cos(xk1)sinx(k1)sinx(k1)cos，即当nk1时，猜想的等式也成立综上所述，当nn*，fn(x)(xn)sin(xn)cos成立22(12分)某同学在一次研究学习中发现以下五个式子的值等于同一个常数sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解：(1)选第二个式子，计算如下：sin215cos215sin