【毕业学位论文】(Word原稿)六自由度机械手运动控制

六自由度机械手运动控制 摘 要 本文以示教型六自由度串联机械手为试验设备，进行机械手的复杂运动控制，使机械手完成各种复杂轨迹的运动控制等功能，能够在现代工业焊接、喷漆等方面的任务。 本文从运动学分析的基础上着手研究轨迹控制的问题，利用运动学逆解的方式分析复杂轨迹运动的可行性和实用性。目前，六自由度机械手的复杂运动控制已经有了比较好的逆解算法，也有一些针对欠自由度机械手的逆解算法。逆解算法求出的解不是唯一的，它能使机械手达到更多位姿，完成大部分的原计划任务，但其中的一些解并不是最优化的，因此必须 讨论其反解的存在性和唯一性。 本文通过建立机械手的笛卡尔坐标系，推导出机械手的正、逆运动学矩阵方程，并研究了正、逆运动学方程的解；在此基础上建立机械手的工作空间，并讨论其工作空间的灵活性和存在可能性。 因此本文的另一种方式对六自由度串联机械手的复杂运动控制问题进行研究，提出以机械手示教手柄引导末端执行器对复杂运动轨迹进行预设计。然后通过记录程序进行复杂轨迹的再实现，再对记录程序进行预修改，最终通过现有的程序进行设计编程完成复杂轨迹设计任务。并利用比其实际与计算的正确性。 最后本 设计通过六自由度串联机械手实现平面文字轨迹，得出其设计的方式。即首先利用示教手柄实现轨迹预设，记录预设轨迹程序，然后再对比程序初始化坐标进行手动编程。 关键词：六自由度机械手，笛卡尔坐标系，运动学方程，仿真，示教手柄 n on of of so of In of be on of to of of of of At of of of by is it to of of is it is to of of is is of on of he So in to of of to of of of to of of of is of to of of of to of 目 录 绪论 1 课题研究背景和意义 1 国内外研究状况 2 六自由度机械手复杂运动控制的现实意义 4 课题的提出 5 本课题研究的主要内容 5 串联机器人运动学 7 器人运动学方程的表示 7 动姿态和方向角 8 动位置和坐标 9 杆变换矩阵及其乘和 12 械手运动方程的求解 15 拉变换解 16 、仰、偏变换解 20 面变换解 21 解的存在性和唯一性 23 解的存在性和 工作空间 23 解的唯一性和最优解 24 解方法 25 六自由度机械手的平面复杂轨迹设计及运动学分析 27 统描述及机械手运动轨迹设计方式 27 器人技术参数一览表 27 器人控制系统软件的主界面 27 器人各部位和动作轴名称 28 械手运动轨迹设计方式 29 面复杂轨迹设计目的 33 ”字的轨迹设计和分析 33 ”字的轨迹设计和分析 34 35 35 面轨迹设计的正运动学分析 43 43 运动学分析步骤及计算 44 面轨迹设计的逆运动学分析 45 面轨迹设计的逆运动学分析原理 45 46 设计实现过程和 50 计实现过程 50 53 结论与展望 57 论 57 望 58 致谢 59 参考文献 60 第一章 绪论 题研究背景和意义 在现代制造行业中，先进的制造技术不断的代替传统的加工方法和操作方式。现代工业的高技术要求，更促进了机器人的发展：例如，实行无人化的工作车间，自动生产线等。 特别九十年代以来，工业机器人性能不断提高，向着高速度、高精度、高 可靠性的方向发展，同时表现在以下方面： 1机械结构向模块化、可重构化发展。如关节模块中的伺服电机、减速机、检测系统三位一体化 :由关节模块、连杆模块用重组方式构造机器人整机。国外己有模块化装配机器人产品问市。 2工业机器人控制系统向基于 的开放型控制器方向发展，便于标准化、网络化 ;器件集成速度高，控制距日见小巧，且采用模块化机构 ;大大提高了系统的可靠性、易操作性和可维修性。 3机器人中的传感器作用日益重要。除采用传统的位置、速度、加速度等传感器外，装配、焊接机器人还应用了视觉、力觉等传感器 :而遥控机 器人则采用视觉、声觉、力觉、触觉等多传感器的融合技术来进行环境建模及决策控制 ;多传感器融合配置技术在产品化系统中己有成熟应用。 4虚拟现实技术在机器人中的作用已从仿真、预演发展到用于过程控制，如使遥控机器人操作者产生置身于远端作业环境中的感觉来操纵机器人。 5当代遥控机器人系统发展的特点不是追求全自治系统，而是致力于操作者与机器人的人机交互控制，即遥控加局部自主系统来构成完整的监控遥控操作系统，使智能机器人走出实验室进入实用化阶段。美国发射到火星上的“索杰纳”机器人就是这种系统成功应用的最著名实例。 6机器人机械化开始兴起。从 1994年美国开发出“虚拟轴机床”以来，这种新型装置已成为国际研究的热点之一，纷纷探索开拓其实际应用的领域。 当今机器人技术的发展趋势主要有两个突出的特点 :一个是在横向上，机器人的应用领域在不断扩大，机器人的种类日趋增多 ;另一个是在纵向上，机器人的性能不断提高，并逐步向智能化方向发展。在 21 世纪，机器人技术将继续是科学与技术发展的一个热点。机器人技术的进一步发展必将对社会经济和生产力的发展产生更加深远的影响。机器人将成为集机械、电子、计算机、控制、传感器、仿生学和人工智能等多学科理 论与技术的机电一体化机器。在未来的 100年中科学与技术的发展将会使机器人技术提高到一个更高的水平。机器人将成为人类多才多艺和聪明伶俐的“伙伴”，更加广泛地参与人类的生产活动和社会生活。 串联式机器人是一种典型的工业机器人，在自动搬运、装配、焊接、喷涂等工业现场中有着广泛的应用，通过该系列教学机器人可使学生能够模拟工业现场的实际运行状况。结构紧凑，工作范围大，具有高度的灵活性，是进行运动规划和编程系统设计的理想对象。 多自由度机械手做为现代机器人的一个重要组成部分，也随着技术的发展不断更新。普通机械手只能完成 单工作任务或者较简单的操作，多自由度机械手在很多的工程技术及工程实际中能更为合理的进行一些现实操作。本课题正是在此背景下，研究其六自由度机械手复杂运动控制也更为重要。 六自由度串联机械手是由六个关节组成，机械手安装在工作台上，这种结构使机械手拥有几乎无限大的工作空间和高度的运动冗余性，并同时具有移动和操作功能，这使它优于普通的移动机器人和传统的机械手；另一方面，工作平台和机械手不但具有不同的动力学特性，同时考虑轨迹规划的不同特点，六自由度串联机械手在对固定机械手具有优势的同时，在运用上存在诸 多难点，如逆解优化、控制方法、路径规划、解决方案的选用等。因此，六自由度串联机械手复杂运动控制的研究有十分重要的理论意义。 本课题的六自由度串联机器人具有重量轻、运动速度快、空间通过能力强、完成空间范围大等特点，通过在通用控制窗口上不同轴的控制上各个关节角度来实现不同的功能以完成各种示教及工作任务，由于其采用的控制方式为软件编程实现，对于国内工业发展各种机械手运用于现代工业焊接和汽车企业等的喷漆等方面有重要意义，因此对提高国家工业水平、实现其重要价值也具有十分重要的意义。 内外研究 状况 位置逆解问题是机械手机构学乃至机械手学中的最基础也是最重要的研究问题之一，它直接关系到机械手运动分析、离线编程、轨迹规划和实时控制等工作。因为速度和加速度分析都要在进行位置分析的基础之上才能进行，所以位置逆解问题是机械手运动规划和轨迹规划的基础，只有通过运动学逆解把空间位姿转换为关节变量，才能实现对机械手末端执行器的控制。而从工程应用的角度出发，位置逆解问题的研究成果可以很容易地应用到机械手上面去，往往更引起我们的兴趣，因此就更加促进了对位置逆解问题的研究。 对于运动学正解来说，它的解是唯一确定的，即 各个关节变量给定之后，机械手的末端抓手和工具的位姿是唯一确定的 ;而运动学反解往往具有多重解，也可能不存在解。位置逆解的复杂程度往往与机械手的结构有很大关系。由于一般情况下，六个自由度便可满足机械手在工作空间内可达任一位姿，因此六自由度机械手最具有研究价值和实用价值。如果机械手的结构尺寸有些特殊，如轴线平行或相交或轴线长度为零等情况下，逆解运算相对比较简单；而如果结构尺寸一般，且6 个关节又都是转动副，则逆解运算较为困难，该问题被喻为是空间机构运动分析中的珠穆朗玛峰。无论是结构特殊还是一般，仅仅用某种方法求得 6自由度机械手的位置逆解不是不够的，还要在计算方法，计算精度等各个方面作进一步的研究。 机械手的位置逆解问题一般最终都归结为求解非线性方程组的问题。非线性 方程组的求解方法有很多，主要包括数值方法和代数方法。 在位置逆解问题中常用的数值方法主要包括牛顿拉夫森法、优化算法，区间算法，遗传算法和同伦算法等方法。数值方法求解一般是先建立包括若干个未知量的一个方程组，然后提供一组初始值，再利用各种优化法进行迭代，使之逐步收敛于机构的一组解。这一类方法的优点是求解过程比较简单，但是在计算中需要提供适当的初始值，因此涉及 到初始值的选取问题。另外，采用数值方法不能根据方程组的情况来确定机械手机构有多少组解，也很难得到全部解。 在位置逆解问题中常用的代数法主要包括析配消元法，聚筛法， 些代数方法求解一般是先建立若干个关系式，然后进行消元，最终得到只含有一个变量的一元高次方程，求解该方程得到变量的全部根。然后对应此变量求出一系列的中间变量 (被消去的变量 )。在该过程中，只要保证各个步骤都是同解变换，就能够保证得出全部的解，而且不产生增根。这一类方法的优点是可以解出全部解，而且不需要初始值，但是求 解过程较为复杂，有一定的难度。 对于六自由度机械手的位置逆解问题，有许多学者作了大量的研究工作。毕洁明等采用位置和姿态分别迭代的数值算法进行分析，可以快速求得全部解，但是当机械手末端位置和姿态高度藕合时会造成迭代过程发散，求解失败。 根据分布式人工智能的概念，提出了一种新的数值方法，采用此迭代和分布式的算法，能够求出 6R， 3构 6自由度机械手的位置逆解全部解廖启征将位移封闭方程由三角函数形式转化为复指数形式，通过 10 个方程求出一般 6R 机械手没有增根的全部逆解。于艳秋将 有理数逼近实数和三角函数的理论引入机械手位置逆解算法中，提高了计算精度以及运算当中处理异常情况的能力。 自由度机械手复杂运动控制的现实意义 在实际应用中，六自由度机械手的某关节出现故障，系统将该关节锁定在当前角度，这样六自由度机械手就成为五自由度机械手，或称欠自由度机械手。对于欠自由度机械手，如何通过有效的运动控制和轨迹规划使其完成预期的任务至关重要。例如，机械手在航空航天方面的应用中，如果某航天飞行器所载的六自由度机械手的某关节出现故障成为欠自由度机械手，则该机械手不能再投入工作，将使该航天飞行 器的一部分任务不能完成。但如果通过控制系统使用一种新的逆解算法代替机械呼 它在欠自由度情况下仍可到达其原工作空间中的大部分位姿，则该机械手仍可投入工作，并可完成原计划的大部分任务，从而提高了整个航天飞行器系统的可容性和可用性。由于是在某关节出现故障的情况下所使用的，所以可以称之为具有容错性能的六自由度机械手位置逆解算法。在其它方面的应用中也是如此。在有些情况下机械手代替人类在恶劣的环境中或人类不易工作的环境中工作。对于机械手来说，虽然一般是按照其工作环境特需的高级材料制成， 如耐高温金属等，但是由于其系统结构复杂，作工精密，在这些环境中仍极易出现故障。而一旦某关节出现故障不能正常工作，环境又不允许立时维修的话，将给机械手应用带来严重的影响，甚至造成巨大的损失。这时如果能够使用具有容错性能的机械手位置逆解算法来代替机械手的原位置逆解算法，使机械手在欠自由度情况下仍可到达其原工作空间中的大部分位姿，能够完成原计划的大部分任务，则因关节故障所造成的缺失就可大大减少，该机械手应用系统的可容性和可用性也大大提高。 欠自由度机械手，在其工作空间内，只能达到全部定位和部分定向，对于轨迹规划出 来的一系列中间位姿点，可能没有对应的逆解。由于位置全部可解，姿态部分可解，出现某些姿态不可实现问题，从而导致机械手不能完成预期的特定任务。对于欠自由度机械手的位置逆解，大多采用向量代数、线性变换等方法。但对于这种因关节故障原因形成的欠自由度机械手，如果采用普通的欠自由度机械手的位置逆解算法，一旦某位姿的位置逆解无解，机械手的轨迹规划就不可能实现，则任务就不可能完成。因此，研究具有容错性能的六自由度机械手位置逆解算法具有很高的研究价值和实用价值。 同时，在有些机械手的实际应用中，往往对机械手末端执行器的某个姿 态不加限制，采用关节数少于 6个的欠自由度机械手。则这种具有容错性能的六自由度机械手位置逆解算法也可以应用在这种普通的欠自由度机械手的位置反解问题中。 题的提出 基于六自由度串联机械手的复杂运动控制的研究，期望通过一种使用的轨迹设计方法，即利用六自由度串联机械手实现平面复杂运动轨迹的设计，使其能在不同的工业生产下完成预定的轨迹实现的准确性和实用性，则该机械手将在实在加工工业中发挥更重要的作用，并可完成许多人工条件无法完成的任务，从而提高机械手的利用性。 另外，基于六自由度机械手轨迹设计中位置逆解算法 的研究，期望通过 真实现六自由度机械手位置逆解的准确性，尤其是在其逆解不唯一的情况下，配合 真数据进行对比，实现轨迹控制的最优化，即满足轨迹设计要求和运动控制的要求。 课题研究的主要内容 本文研究的主要内容和结构安排如下 : 第一章：概括了六自由度机械手的研究背景和研究现状，并且详细介绍了六自由度机械手复杂运动控制问题的研究意义和用 真对比位置逆解算法解的现实意义。在此基础上阐述了课题的提出，最后介绍了本文研究的主要内容。 第二章：阐述了机器人运动方程的表示，通过 研究其机器人的运动姿态和方向角，运动位置和坐标等并结合矩阵的计算方法对机器人的运动进行求解。其中通过矩阵的变换研究其各种解的形式特征，最终以反解的存在性和工作空间等确定其机器人的解的唯一性和最优解。 第三章：对六自由度串联机械手的系统进行描述，然后运用 仅详细叙述了六自由度串联机械手的正运动学原理和逆运动学原理，并通过原理对机械手进行正运动学分析和逆运动学分析；列出机械手运动轨迹的设计方式。本章为此课题的主要方面，通过六自由度串联机械手的平面复杂运动轨迹的控制来实现六自由度串联机 械手完成平面文字轨迹的规划路径和实现方式。 第四章：主要是利用示教手柄引导末端执行器经过要求的位置由控制系统记录，然后利用记录中的程序对机械手任务进行再编程并结合 串联机器人运动学分析 新式的工业机器人都是以关节坐标直接编制程序的。机器人的工作是由控制器指挥的，而关节在每个位置的参数是预先记录好的。当机器人执行工作任务时，控制器给记录好的位置数据，使机器人按照预定的位置序列运动。 开发比较高级的机器人程序设计语言，要求具 有按照笛卡儿坐标规定工作任务的能力。物体在工作空间内的位置以及机器人手臂的位置，都是以某个确定的坐标系来描述的；而工作任务则是以某个中间坐标系（如附于手臂端部的坐标系）来规定的。 由笛卡儿坐标系来描述工作任务时，必须把上述这些规定变换为一系列能够由手臂驱动的关节位置。确定手臂位置和姿态的各关节位置的解答，即运动方程的求解。 要知道工作物体和工具的位置，就要指定手臂逐点运动的速度。雅可比矩阵是由某个笛卡儿坐标系规定的各单个关节速度对最后一个连杆速度的线性变换。大多数工业机器人具有六个关节，这意味着雅可比矩阵是 个 6阶方阵。 器人运动方程的表示 可以把任何机器人的机械手看作是一系列由关节连接起来的连杆构成的。我们将为机械手的每一连杆建立一个坐标系，并用齐次变换来描述这些坐标系间的相对位置和姿态。通常把描述一个连杆与下一个连杆间相对关系的齐次变换叫做 A 矩阵。一个 A 矩阵就是一个描述连杆坐标系间相对平移和旋转的齐次变换。如果 么第二个连杆在基系中的位置和姿态可由下列矩阵的乘积给出： 2 1 2T 同理，若 有： 3 1 2 3T A A A 在历史文献上，称这些 矩阵，其前置上标若为 0，则可略去不写。于是对于六连杆机械手，有下列 6 1 2 3 4 5 6T A A A A A A (2 一个六连杆机械手可具有六个自由度，每个连杆含有一个自由度，并能在其运动范围内任意定位与定向。其中， 三个自由度用于规定位置，而另外三个自由度用来规定姿态。 示机械手的位置和姿态。 动姿态和方向角 图 2示机器人的一个夹手。把所描述的坐标系的原点置于夹手指尖的中心，此原点由矢量 述夹手方向的三个单位矢量的指向如下： z 向矢量处于夹手进人物体的方向上，并称之为接近矢量 a； y 向矢量的方向从一个指尖指向另一个指尖，处于规定夹手方向上，称为方向矢量 o；最后一个矢量叫做法线矢量 n，它与矢量 o 和 a 一起构成一个右手矢量集合，并由矢量的交乘所规定： n o a 因此，变换 六连杆机械手的 T 矩阵（ 由指定其 16 个元素的数值来决定。在这 16 个元素中，只有 12个元素具有实际含义。底行由三个零和一个 1 组成。左列矢量 对 要机械手能够到达期望位置，那么矢量 o和 且互相垂直即有： 1， 1， 0。这些对矢量 o和 得对其分量的指定成为困难，除非是末端执行装置与坐标系处于平行这种简单情况。 机械手的运动姿态往往由一个绕轴 x， y和 种转角的序列，称为欧拉（ 。欧拉角用绕 z 轴旋转角，再绕新的 y 轴（ y）旋转角，最后绕新的轴 z（ z）旋转角来描述任何可能的姿态，见图 2 在任何旋转序列下旋转次序是十分重要的。这一旋转序列可由基系中相反的旋转次序来解释：先绕 绕 后绕 欧拉变换 , , )可由连乘三个旋转矩阵来求得，即： ,)=z, )y, )z,) 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0( , , )0 0 1 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0c s c s c ss c s cE u l e (2 0000 0 0 1c c c s s c c s s c c ss c c c s s c s c c s ss c s s c 仰和偏转角表示运动姿态 另一种常用的旋转集合是横滚（ 俯仰（ 偏转（ 如果想象有只船沿着 图 2么这时，横滚对应于绕 仰对应于绕 偏转则对应于绕 用于机械手端部执行装置的这些旋转角度，如图 2-1(b)所示。 图 2横滚、俯仰和偏转表示机械手运动姿态 对于旋转次序，我们作如下规定 ,)=z ,)y, )x,) (2式中， 仰和偏转三旋转的组合变换。也就是说，先绕 绕 后绕 旋转变换计算如下： (2动位置和坐标 一旦机械手的运动姿态由某个姿态变换规定之后，它在基系中的位置就能够由左乘个对应于矢量 61 0 00 1 00 0 10 0 0 1某 姿 态 变 换(2这一平移变换可用不同的坐标来表示。 除了已经讨论过的笛卡儿坐标外，还可以用柱面坐标和球面坐标来表示这一平移。 1用柱面坐标表示运动位置 首先用柱面坐标来表示机械手手臂的位置，即表示其平移变换。这对应于沿 x 轴平移 r，再统 后沿 z，如图 2 图 2柱面坐标和球面坐标表示位置 即有 z ,a, r )=0,0,z) z, a )r,0,0) 式中 算上式并化简得： (2如果，用某个如式 2么，手臂将相对于基系绕 是需要相对于不转动的基系来规定姿态，那么我们就应对式 2有 : (2这就是用以解释 柱面坐标 (z ,a, r)的形式。 2用球面坐标表示运动位置 现在讨论用球面坐标表示手臂运动位置矢量的方法。这个方法对应于沿 r,再绕 后绕 图 2为 ,r) =z, )y, )0,0,r) (2式中， 上式进行计算结果如下 : (2如果，不希望用相对于这个旋转坐标系来表示运动姿态，那么就必须用 y,和 z,右乘式 2 ( , , ) ( , ) ( , ) ( 0 , 0 , ) ( , ) ( , )S p h R o t z R o t y T r a n s R o t y R o t z 1 0 00 1 00 0 10 0 0 1r c sr s (2这就是我们用于解释球面坐标的形式。 杆变换矩阵及其乘积 曾把表示相邻两连杆相对空间关系的矩阵称为 叫做连杆变换矩阵，并把两个或两个以上 矩阵。例如， 23 4 4 3 4A A T A A和 的 乘 积 为 ,它表示 出连杆 4对连杆 2的相对位置。同理 , 6T ,即 06T ，表示连杆 6 相对于基系的位置。 6T 能够用不同形式的平移和旋转来确定。 义连杆 相邻坐标系间及其相应连杆可以用齐次变换矩阵来表示。要求出机械手所需要的变换矩阵，每个连杆都要用广义连杆来描述。在求得相应的广义变换矩阵之后，可对其加以修正，以适合每个具体的连杆。 机器人机械手是由一系列连接在一起的连杆（ 杆件）构成的。需要用两个参数来描述一个连杆，即公共法线距离 垂直于 在平面内两轴的夹角 i ；需要另外两个参数来表示相邻两杆的关系，即两连杆的相对位置 两连杆法线的夹角 i ，如图 2 除第一个和最后一个连杆外，每个连杆两端的轴线各有一条法线，分 别为前、后相邻连杆的公共法线。这两法线间的距离即为 我们称 连杆长度， i 为连杆扭角， 两连杆距离， i 为两连杆夹角。 图 2机器人机械手上坐标系的配置取决于机械手连杆连接的类型。有两种连接 转动关节和棱柱联轴节。对 于转动关节， i 为关节变量。连杆 i 的坐标系原点位于关节 i 和 i+1 的公共法线与关节i+1 轴线的交点上。如果两相邻连杆的轴线相交于一点，那么原点就在这一交点上。如果两轴线互相平行，那么就选择原点使对下一连杆（其坐标原点已确定）的距离 1为零。连杆 i 的 z 轴与关节 i+1的轴线在一直线上，而 i和 i+1的公共法线上其方向从 i+1，见图 2两关节轴线相交时， 平行或反向平行， i+1。当两轴 1和 行且同向时，第 i 为零。 当机械手处于零位置时，能够规定转动关节的正旋转方向或棱柱联细节的正位移方向，并确定 座连杆（连杆 0）的原点与连杆 l 的原点重合。如果需要规定一个不同的参考坐标系，那么该参考系与基系间的关系可 以用一定的齐次变换来描述。在机械手的端部，最后的位移 6d 或旋转角度 6 是相对于 5z 而言的。选择连杆 6的坐标系原点，使之与连杆 5的坐标系原点重合。如果所用工具（或端部执 行装置）的原点和轴线与连杆 6的坐标系不一致，那么此工具与连杆 6的相对关系可由一个确定的齐次变换来表示。 义变换矩阵 一旦对全部连杆规定坐标系之后，我们就能够按照下列顺序由两个旋 转和两个平移来建立相邻两连杆 图 2 1、 11i i i iz x x绕 轴 旋 转 角 ， 使 轴 转 到 与 同 一 平 面 内 。 2、 i i iz d x 平 移 一 距 离 ， 把 移 到 与 x 同 一 直 线 上 。 3、沿 ，把连杆 4、绕 1轴旋转 1i 角，使 1转 到与 一直线上。 这种关系可由表示连杆 i 对连杆 对位置的四个齐次变换来描述，并叫做 阵。此关系式为 ( , ) ( 0 , 0 , ) ( , 0 , 0 ) ( , )i i i i o t z T r a n s d T r a n s a R o t x (2展开上式可得 1 1 11 1 11100 0 0 1i i i i i i ii i i i i i i ic s c s s a cs c c c s a c d (2对于棱柱关节， 11110100 0 0 1i i i i ii i i i i ic s c s ss c c c c d (2当机械手各连杆的坐标系被规定之后，就能够列出各连杆的常量参数。对于跟在旋转关节 i 后的连杆，这些参数为 1和 1i 。对于跟在棱柱联轴节 些参数为 i 和 1i 。然后 ，角的正弦值和余弦值也可计算出来。这样， 于旋转关节）或变量 d 的函数（对于棱柱联轴节）。一旦求得这些数据之后，就能够确定六个 换矩阵的值。 矩阵 机械手的末端装置即为连杆 6的坐标系，它与连杆 6i T 表示为 1 6 1 6.i A A (2可得连杆变换通式为 11 1 1 111 1 1 100 0 0 1i i ii i i i i i i i i i i c c c s d s c s c d c (2而由式 2械手端部对基座的关系 6T 为 6 1 2 3 4 5 6T A A A A A A 如果机械手与参考坐标系的相对关系是由变换 且机械手与其端部工具的关系由变换 么此工具端部对参考坐标系的位置和方向可由变换 6X 此机械手的有向变换图如图 2 从式 2 116T Z (2图 2械手运动方程的求解 大多数机器人程序设计语言，是用某个笛卡儿坐标系来指定机械手末端位置的。这一指定可用于求解机械手最后一个连杆的姿态 6T 。不过，在机械手能够被驱 动至这个姿态之前，必须知道与这个位置有关的所有关节的位置。 求解运动方程时，我们从 6T 开始求解关节位置。使 6T 的符号表达式的各元素等于 6T 的一般形式，并据此确定 i 。其他五个关节参数不可能从 6T 求得，因为所求得的运动方程过于复杂而无法求解它们。我们可以由上节讨论 的其他 旦求得 i 之后，可由 11A 左乘 6T 的一般形式，得 : 111 6 6A T T (2式中，左边为 1 和 6T 各元的函数。此式可用来求解其他各关节变量，如 2 等。 不断地用 得下列另四个矩阵方程式 1 1 22 1 6A A T (21 1 1 33 2 1 6A A A T (21 1 1 1 44 3 2 1 6A A A A T (21 1 1 1 1 55 4 3 2 1 6A A A A A T (2上列各方程的左式为和 6T 前（ 关节变量的函数。可用这些方程来确定各关节的位置。 求解运动方程，即求得机械手各关节坐标，这对机械手的 控制是至关重要的。根据 6T 我们知道机器人的机械手要移动到什么地方，而且我们需要获得各关节的坐标值，以便进行这一移动。求解各关节的坐标，需要有直觉知识，这是将要遇到的一个最困难的问题。只已知机械手的姿态，没有一种算法能够求得解答。几何设置对于引导求解是必需的。 拉变换解 1、基本隐式方程的解 首先令 ,)=T (2由式 2 ， ,)=z, )y, )z,) 已知任一变换 T，要求得，和。也就是说，如果已知 么其所对应的， 和值是什么？ 由式 2们有下式 0000 0 0 1 0 0 0 1x x x xy y y yz z z zn o a p c c c s s c c s s c c sn o a p s c c s s s c s c c s sn o a p s c s s c (2令矩阵方程两边各对应元素一一相等，可得 16个方程式，其中有 12个为隐式方程。我们将从这些隐式方程求得所需解答。在式（ 2，只有 9个隐式方程，因为其平移坐标也是明显解。这些隐式方程如下 xn c c c s s (2 yn s c c s s (2zn s c (2xo c c s s c (2yo s c s c c (2zo s s (2xa c s (2ya s s (2 (22、用双变量反正切函数 确定角度 可以试探地对，和进行如下求解。据式 2a rc c o s( ) (2据式 2a r c c o s ( / ) (2又据式 2a r c c o s ( / ) (2但是，这些解答是无用的，因为 （ 1）当由余弦函数求角度时，不仅此角度的符号是不确定的，而且所求角度的准确程度又与该角度本身有关，即 ) =) 以及 9 0 ,1 8 0c o s ( ) / | 0 。 （ 2）在求解和时，见式 2们再次用到反余弦函数，而且除式的分母为 样，当 时，总会产生不准确。 （ 3）当 =0或 = 180时，式 2 因此，在求解时，总是采用双变量反正切函数 示 确定角度。 供二个自变量，即纵坐标 x，