九年级数学下册 第28章锐角三角函数 28.2 解直角三角形第3课时习题课件 新人教版

28 2解直角三角形第3课时 1 理解坡度 方位角等概念 重点 2 掌握数学建模的方法 解决方位 坡面测量等问题 重点 难点 解直角三角形应用中的概念1 坡度 坡角的概念 如图 我们通常把坡面的 高度h和 宽度l的比叫做坡度 或坡比 用字母i表示 即i tan 这里 是坡面与 面的夹角 这个角叫坡角 垂直 水平 水平 2 方位角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90 的角 叫做方位角 如图中的目标方向线oa ob oc od的方位角分别表示为 北偏东30 东南方向 南偏西80 北偏西60 打 或 1 坡度是指坡的度数 2 坡度是一个比值 3 若从点a观察点b的方位角是北偏东50 那么从点b观察点a的方位角是南偏西50 知识点1与方位角有关的计算 例1 2013 黄石中考 高考英语听力测试期间 需要杜绝考点周围的噪音 如图 点a是某市一高考考点 在位于a考点南偏西15 方向距离125m的c点处有一消防队 在听力考试期间 消防队突然接到报警电话 告知在位于c点北偏东75 方向的f点处突发火灾 消防队必须 立即赶往救火 已知消防车的警报声传播半径为100m 若消防车的警报声对听力测试造成影响 则消防车必须改道行驶 试问 消防车是否需要改道行驶 说明理由 取1 732 思路点拨 作ab cf 先求 acb的度数 再求ab的长 最后比较100与ab的长下结论 自主解答 作ab cf 垂足为b 由题意知 acf 75 15 60 在rt abc中 sin acb ab 125 sin60 125 125 108 25 m 108 25 100 消防车不需要改道行驶 总结提升 解答与方位角有关的计算问题的方法1 弄清航行中方位角的含义 根据题意画出图形 画图时要先确定方向标 把实际问题转化为数学问题是解题的关键所在 2 船在海上航行 在平面上标出船的位置 灯塔或岸上某目标的位置 关键在于确定基准点 当船在航行时 基准点在转移 画图时要特别注意 3 常说的东南 西南 东北 西北是特指方向 均与南 北方向成45 角 知识点2与坡度有关的计算 例2 学校校园内有一小山坡ab 经测量 坡角 abc 30 斜坡ab长为12m 为方便学生行走 决定开挖小山坡 斜坡bd的坡比是1 3 即为cd与bc的长度之比 a d两点处于同一铅垂线上 求开挖后小山坡下降的高度ad 解题探究 1 在rt acb中如何求ac bc的长 提示 在rt acb中 abc 30 ac ab 6 m bc ab cos abc 12 m 2 在rt dcb中如何先求cd的长 再求ad的长 提示 斜坡bd的坡比是1 3 cd bc m ad ac cd 6 m 答 开挖后小山坡下降的高度ad为 6 m 总结提升 解答坡度问题的方法1 坡度问题需明确坡度的概念 即坡度i tan 然后根据具体情况代入计算 当给出的条件是坡面长度和坡度时 根据定义 构建方程来求解 应用时要注意与三角函数的结合 2 坡度是坡角的正切值 坡度越大 坡角也越大 3 与坡度有关的问题常与水坝有关 即梯形问题 常用的方法一般是过上底的顶点作下底的垂线 构造直角三角形和矩形来求解 题组一 与方位角有关的计算1 如图 轮船从b处以每小时50nmile的速度沿南偏东30 方向匀速航行 在b处观测灯塔a位于南偏东75 方向上 轮船航行半小时到达c处 在c处观测灯塔a位于北偏东60 方向上 则c处与灯塔a的距离是 a 25nmileb 25nmilec 50nmiled 25nmile 解析 选d 如图所示 bca 90 abc 75 30 45 bc 25 nmile ac bc 25nmile 2 在一自助夏令营活动中 小明同学从营地a出发 要到a地的北偏东60 方向的c处 他先沿正东方向走了200m到达b地 再沿北偏东30 方向走 恰能到达目的地c 如图 那么 由此可知 b c两地相距 m 解析 由已知得 abc 90 30 120 bac 90 60 30 acb 180 abc bac 180 120 30 30 acb bac bc ab 200m 答案 200 3 2013 泰安中考 如图 某海监船向正西方向航行 在a处望见一艘正在作业渔船d在南偏西45 方向 海监船航行到b处时望见渔船d在南偏东45 方向 又航行了半小时到达c处 望见渔船d在南偏东60 方向 若海监船的速度为50nmile h 则a b之间的距离为 取 1 7 结果精确到0 1nmile 解析 dba dab 45 dab是等腰直角三角形 过点d作de ab于点e 则de ab 设de x 则ab 2x 在rt cde中 dce 30 则ce de x 在rt bde中 dbe 45 则de be x 由题意得 cb ce be x x 25 解得 35 7 ab 2x 2 35 7 71 4 nmile 答案 71 4nmile 4 某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l 如图 救生员甲在a处的瞭望台上观察海面情况 发现其正北方向的b处有人发出求救信号 他立即沿ab方向径直前往救援 同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙 乙马上从c处入海 径直向b处游去 甲在乙入海10s后赶到海岸线上的d处 再向b处游去 若cd 40m b在c的北偏东35 方向 甲 乙的游泳速度都是2m s 问 谁先到达b处 请说明理由 参考数据 sin55 0 82 cos55 0 57 tan55 1 43 解析 由题意得 bcd 55 bdc 90 tan bcd bd cd tan bcd 40 tan55 57 2 m cos bcd 70 2 m t甲 10 38 6 s t乙 35 1 s t甲 t乙 乙先到达b处 5 2013 遂宁中考 钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土 为维护国家主权和海洋权利 我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理 如图 某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船a b b船在a船的正东方向 且两船保持20nmile的距离 某一时刻两海监船同时测得在a的东北方向 b的北偏东15 方向有一我国渔政执法船c 求此时船c与船b的距离是多少 结果保留根号 解析 作bd ac于d 由题意可知 bac 45 abc 105 acb 180 bac abc 30 在rt abd中 bd ab sin bad 20 10 nmile 在rt bcd中 20 nmile 答 此时船c与船b的距离是20nmile 题组二 与坡度有关的计算1 如图 某游乐场一山顶滑梯的高为h 滑梯的坡角为 那么滑梯长l为 b c d 解析 选a 由已知得 sin l 2 如图 一个小球由地面沿着坡度i 1 2的坡面向上前进了10m 此时小球距离地面的高度为 a 5mb 2mc 4md m 解析 选b 如图 ab 10m tana 设bc x 则ac 2x 由勾股定理得 ab2 ac2 bc2 即100 4x2 x2 解得x 2 ac 4m bc 2m 3 2013 聊城中考 河堤横断面如图所示 堤高bc 6m 迎水坡ab的坡比为1 则ab的长为 a 12mb 4mc 5md 6m 解析 选a 根据坡比的意义可知bc ac 1 即6 ac 1 所以ac 6m 由勾股定理得ab 12 m 或者根据tana 1 则 a 30 根据 在直角三角形中 30 所对的直角边等于斜边的一半 可知ab 2bc 12m 4 某水库大坝的横断面是梯形 坝内斜坡的坡度i1 1 坝外斜坡的坡度i2 1 1 则两个坡角的和为 解析 设坝内斜坡的坡角为 坝外斜坡的坡角为 坝内斜坡的坡度i1 1 说明tan 则 30 坝外斜坡的坡度i2 1 1 说明tan 1 45 两角和为75 答案 75 5 2013 广安中考 如图 广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400m 高8m 背水坡的坡角为45 的防洪大堤 横截面为梯形abcd 急需加固 经调查论证 防洪指挥部专家组制定的加固方案是 背水坡面用土石进行加固 并使上底加宽2m 加固后 背水坡ef的坡比i 1 2 1 求加固后坝底增加的宽度af的长 2 求完成这项工程需要土石多少立方米 解析 1 分别过点e d作eg ab dh ab交ab于g h 四边形abcd是梯形 且ab cd dh平行且等于eg 故四边形eghd是矩形 ed gh 在rt adh中 ah dh tan dah 8 tan45 8 m 在rt fge中 i 1 2 fg 2