2019-2020学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2 平面与平面垂直的判定课件 新人教A版必修2

2 3 2平面与平面垂直的判定 1 二面角二面角 从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角 叫做二面角的棱 这 叫做二面角的面 如图 1 可记作 二面角 或 或 两个半平面 这条直线 两个半平面 l p ab q p l q 如图 2 对二面角 l 若有 o l oa ob oa l ob l 则 aob就叫做二面角 l 的平面角 直二面角 垂线 a 1 判一判 正确的打 错误的打 1 二面角的平面角的大小与其顶点在二面角棱上的位置有关 2 二面角可以看成是一个半平面以其棱为轴旋转而成的 3 如果平面 内有一条直线垂直于平面 内的一条直线 则 答案 1 2 3 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 已知l 则过l与 垂直的平面有 个 2 把等腰rt abc沿斜边bc上的高线ad折成一个二面角 此时 bdc 60 那么此二面角的大小为 答案 1 无数 2 60 3 思一思 平面与平面垂直的判定定理的条件是什么 减少一个条件 定理是否还成立 解析 判定定理有两个条件 它们是a a 若去掉一个条件 则定理不一定成立 例1 下列命题中 两个相交平面组成的图形叫做二面角 异面直线a b分别和一个二面角的两个面垂直 则a b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补 二面角的平面角是从棱上一点出发 分别在两个面内作射线所成的角的最小角 二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系 其中正确的是 直线与平面垂直定义的应用 a b c d 解题探究 根据二面角的定义进行判断 答案 b 解析 由二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 所以 不对 由a b分别垂直于两个面 则a b都垂直于二面角的棱 故 正确 中所作的射线不一定垂直于二面角的棱 故 不对 由定义知 正确 故选b 8 1 要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致 2 要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角面上的角的联系与区别 3 可利用实物模型 作图帮助判断 1 若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面 那么这两个二面角 a 相等b 互补c 相等或互补d 关系无法确定 答案 d 解析 如图所示 平面efdg 平面abc 当平面hdg绕dg转动时 平面hdg始终与平面bcd垂直 所以两个二面角的大小关系不确定 因为二面角h dg f的大小不确定 例2 如图所示 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab ad 1 aa1 2 m是棱cc1的中点 求证 平面abm 平面a1b1m 面面垂直判定定理的应用 8 1 证明平面与平面垂直的方法通常有两种 一是利用定义 二是利用面面垂直的判定定理 2 根据面面垂直的定义判定两平面垂直 实质上是把问题转化成求二面角的平面角 通常情况下利用判定定理要比定义简单些 这也是证明面面垂直的常用方法 即要证面面垂直 只要转证线面垂直 其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直 2 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 ac bc a1b与ab1交于点d a1c与ac1交于点e 求证 平面a1bc 平面a1acc1 例3 如图 四边形abcd是正方形 pa 平面abcd且pa ab 求二面角b pc d的大小 二面角及其求解 解题探究 作be pc 连接de 证明de pc 确定二面角b pc d的平面角 解三角形求解 解析 作be pc于点e 连接de 连接bd交ac于点o 连接eo 如图所示 则由 pbc pdc 知 bpe dpe 从而 pbe pde 所以 dep bep 90 be de 1 求二面角的大小关键是要找出或作出平面角 再把平面角放在三角形中 利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值 其步骤为作角 证明 计算 2 为在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点 如是否为等腰三角形等 不能正确找出二面角的平面角 错解 过a在底面abcd内作ae cd于e 连接pe pa 平面abcd cd 平面abcd pa cd 又 pa ae a cd 平面pae 又pe 平面pae cd pe pea为二面角p cd b的平面角 以下略 错因 点e的位置应首先由已知的数量关系确定 而不是盲目地按三垂线法直接作出 在找二面角的平面角时 一般按照先找后作的原则 避免盲目地按三垂线法作二面角的平面角 正解 ab 1 bc 2 ac bc2 ab2 ac2 bac 90 acd 90 即ac cd pa 平面abcd cd 平面abcd pa cd 警示 二面角求解的关键是准确作出二面角的平面角 并将所作角放在直角三角形内求解 1 证明两个平面垂直的主要途径 1 利用面面垂直的定义 2 面面垂直的判定定理 即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 2 证明两个平面垂直 通常是通过证明线线垂直 线面垂直 面面垂直来实现的 因此 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直 线面垂直 面面垂直的相互转化 每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直 最终达到目的 3 下面的结论 有助于判断面面垂直 1 m n m n 2 m n m n 3 1 长方体abcd a1b1c1d1的六个面中 与面abcd垂直的面有 a 1个b 3个c 4个d 5个 答案 c 解析 与面abcd垂直的面有面abb1a1 面bcc1b1 面cdd1c1 面daa1d1 共4个 2 2019年辽宁大连双基训练 从空间一点p向二面角 l 的两个面 分别作垂线pe pf e f为垂足 若 epf 60 则二面角 l 的平面角的大小是 a 60 b 120 c 60 或120 d 不确定 答案 c 解析 若点p在二面角内 则二面角的平面角为120 若点p在二面角外 则二面角的平面角为60 3 对于不重合的直线m l和平面 要证 需具备的条件是 a m l m