柯西不等式证明过程的教学价值探微.doc

柯西不等式证明过程的教学价值探微普通高中课程标准试验教科书数学选修4-5不等式选讲中通过猜想的形式引入了一般形式的柯西不等式:设是实数,则,并给出了证明及其应用.在教学过程中,对柯西不等式的证明,笔者和同学们一起在课堂上广泛的探究,深入的挖掘,取得了极大的收益,获得了良好的教学效果.现整理如下.为行文方便,先给出教材中的分析过程.教材中说到:由于不等式中括号内含较多的项,直接展开并比较左右比较麻烦,我们采用下面的证法.如果设,那么不等式就是,这正好与二次函数的判别式密切相关.这就启发我们可以通过构造二次函数并通过讨论相应的判别式来证明不等式.一 证明中蕴藏的数学思想方法上述文字具有丰富的内涵,包含着许多常用的重要的数学思想方法,仔细体会这些内容,挖掘这些思想方法,会对我们的学习具有重要的指导意义.在教学过程中,我们体会到上述文字至少包含以下数学思想方法.1 换元思想分析中说到:“由于不等式中括号内含较多的项,直接展开并比较左右比较麻烦,我们采用下面的证法.如果设,，”.这段文字正是换元思想的的具体体现.在解题过程中,当一个问题的叙述比较繁琐,式子的结构特征比较复杂时,如果我们能够通过分解,进行换元,就能够把复杂的问题变成几个简单的问题,从而使得复杂问题的结构特征变得简捷,直观,形象,这样更加有利于问题的解决.例如:求式子的值.此题形式繁琐,结构复杂,若就题验算下去,就出现“僵持”的局面,无法得出最后结果.但若通过换元,巧妙一设,局面便会豁然开朗.设,则,所以, .所以,即原式的值为1.2 联想思想分析中说到:“这正好与二次函数的判别式密切相关”.这句话体现了我们学习过程中进行广泛联想的思想方法. 联想是由当前感知的事物特征回忆起有关另一事物相似、相近或相同特征的心理现象，联想可以沟通数学对象中未知与已知、新与旧知识间的联系，它不仅对掌握数学知识，发展思维能力有积极意义，而且有利于提高解题速度，提高解题能力，常见的联想方法有类比联想法、接近联想法、关系联想法、逆向联想法和横向联想法等. 联想,是记忆的延伸,是解决数学问题的法宝之一.由此及彼的联想,常能拓宽我们的视野,启发我们的思维,纵向横向的联想,往往迸发出创造性思维的火花.在学习过程中, 我们在理解记牢基础知识以后,在实际应用中,对于具体问题,特别是较为复杂的问题,我们更多的是通过联想,将问题进行转化,变为简单的问题,变为我们熟悉的问题,从而与我们所学的基础知识结合起来,将问题解决.例如: 是我们在学习中经常遇到的一个式子,以它为条件,我们能产生哪些联想呢?联想之一:由,联想到成等差数列,如果设公差为,就可设.联想之二:由,联想到,从而可设.联想之三: 由,联想到直线方程.联想之四: 由,联想到真分式,可设.爱因斯坦说过:“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界的一切，推动着进步，而且是知识进化的源泉”.解决数学问题如能通过数形联想,把问题中的隐含条件挖掘出来加以利用,则常常会使问题的解答避繁就简,化难为易,收到出奇制胜的效果.3 构造思想分析中说到:“这就启发我们可以通过构造二次函数并通过讨论相应的判别式来证明不等式”.这句话体现了我们在学习中常用的构造思想. 所谓构造法，就是根据题设条件和结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助它认识与解决原问题的一种思想方法.构造法解题是一种富有创造性的思维方法,构造思想 ,充分渗透了猜想、归纳、试验概括、特殊化等重要的手段 ,灵活应用 ,可以培养学生的创造性思维 ,提高分析问题和解决问题的能力 ,巧妙地构造可以获得新颖、简捷的解法 ,使原本很艰涩抽象的数学问题变得通俗易懂 . 应用好构造思想解题的关键有二：一是要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合. 就构造对象来看，常用的有构造命题、构造表达式、构造几何体（图形）等.在构造命题中又有构造等价命题和辅助命题之别；在构造表达式中又有构造函数、构造方程、构造数列、构造二项展开式等.4 分类讨论思想在证明过程中,分和中至少一个不为0进行了解答.这里利用了分类讨论的思想方法. 分类讨论思想是指把所要研究的数学对象划分为若干不同的情形,然后再分类研究和求解的一种思想方法,其实质是把整体问题化为部分问题来解决. 很多数学问题不仅在涉及的范围上带有综合性,而且就问题本身而言也受到多种条件的交叉制约,形成错综复杂的局面,很难从整体上着手解决,这时可从“分割”入手,化整为零,各个击破,最后达到整体解决的目的.在应用这一思想时,一定要搞清引起分类讨论的原因,寻找正确的分类讨论的方法和步骤,做到无遗漏,不重复.5 转化思想上述证明过程是通过换元,联想,构造等一系列步骤完成的,这实质上是数学中的一种重要思想-转化思想的具体体现.当我们遇到一个比较复杂的问题,较难解决的问题时，一般都不是直接解原题目，而是将原题进行分解转化，转化为一个已经解决的或比较容易解决的问题，从而使原题得到解决.转化这种重要的思维策略有着广泛的应用，在数学知识体系中充满了转化, 在解题中转化更是一种重要的策略和基本的手段.通常的转化有下面几种: 问题的情境的转化, 即把需要解决的问题从一个陌生的情境转换成熟悉的、直观的、简单的问题; 特殊与一般的转化; 数量与图形的转化; 命题间的映射转化; 构造新命题的转化; 参数与消元的转化; 条件强弱间的转化; 命题结构形式的转化; 等价与非等价的转化等等. 转化的本质特征是知识和方法的迁移，这需要我们在学习中要注意知识间的联系与演变，不断开拓思路，不断收集、积累联想、转换的实例, 逐步掌握数学的基本思想方法，由简单到复杂，由低级向高级、由模仿到创新.二 证明的其他方法对二维形式的柯西不等式,教材中从其几何意义出发,给出了其向量证法,并给出了二维柯西不等式的向量形式.事实上, 这一形式也适用于一般形式的柯西不等式,即一般形式的柯西不等式也可以模仿二维形式的柯西不等式的向量证法给出证明.这一点在课堂上向学生提出,并请同学们自己完成.三 教学启示课本是教学大纲的集中体现，是有着丰富教学经验的数学家和教育家编写而成的，其习题的全面性、基础性、典型性是任何资料无法比拟的.高考大纲是以教学大纲为依据的，高考试题考查的知识和能力要求，都不能超出教学大纲的规定，因此抓住了课本习题，也就是抓住了高考试题.纵观近几年新课标高考试题，可以发现，源于课本例题、练习题、习题的试题占了一定的份量.有些高考试题是对课本习例题、练习题、题或知识点的改编、重组；有些试题是对课本原题进行改编而成的.“重基础、考能力”，“源于课本、高于课本”，做到“两个有利”是高考命题的原则因此，对课本进行深入的挖掘,合理的利用，特别是对课本习题进行挖掘