函数题的命题新趋势人教

2006年高考函数题的命题新趋势随着新教材课程改革的不断向前发展，高考数学命题已从理论上和实践上发生了深刻的变化，本课结合考试说明和新课程理念就函数部分的命题新趋势进行讨论。一 正向考查转向逆向考查逆向型问题能很好地考查学生的思维能力，已成为近年高考的热点题型。函数中的逆向型问题，主要是以已知函数的性质求参数的取值范围形式出现的。【例1】 已知函数的定义域为R,对任意的实数、都满足：【例2】 (+)=()+()，当0时0且(2)=3(1) 试判断的奇偶性和单调性；(2) 当0，时，(23)+(42)0对所有的均成立，求实数的取值范围。解：(1)令=0，则(0)=0令=，=，则+()=(0)=0()=，函数为奇函数。设0，()()=()+()=()0()()，函数在R上为增函数。(2)由(23)+(42)0对0，均成立则(23)( 24)对0，均成立2324，对0，均成立对0，均成立而=2+442。二 重结果考查转向重过程考查新课程教学的重要理念是重视过程教学，近年高考函数题也体现了此点。【例3】 (2003河南)已知0，1，设P：函数=(+1)在(0，+)内单调递减；Q：曲线=+(23)+1与轴交于不同的两点。如果P与Q有且只有一个正确，求的取值范围。解：当01时，函数=(+1)在(0，+)内不是单调递减。曲线=+(23)+1与轴交于不同的两点等价于(23)40即。情形：P正确，Q不正确，即函数=(+1)在(0，+)内单调递减，曲线=+(23)+1与轴不交于不同的两点。因此(0,1)，1)(1，即，1)。情形：P不正确，Q正确，即函数=(+1)在(0，+)内不是单调递减，曲线=+(23)+1与轴交于不同的两点，因此(1，+)(0，)(，+)即(，+)综上所述，的取值范围为，1)(，+)三 从具体函数的考查转向抽象函数的考查所谓抽象函数，是指只给出函数的一些性质，而未给出解析式的一类函数，一般以中学阶段所学的基本函数为背景，且构思新颖、条件隐蔽、技巧性强，解法灵活，所以理解和研究起来较为困难，其解法通常是紧扣定义、类比猜想、抽象思维等方法。抽象来源于具体。抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的。如有可抽象为。那么=就叫做抽象函数满足的“原型”（函数），分析抽象函数问题的解题过程及心理变化规律可知，一般均是由抽象函数的结构，联想到已学过的具有相同或相似结构的某类（基本）“原型”函数，并由“原型”函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能具有的某种性质使问题获解的，称这种解抽象函数问题的方法为“原型”解法。中学阶段常用抽象函数的“原型”（函数）抽象函数性质原型函数(特殊函数)性质(为常数）=0，纯单调=（0且1）=1，纯单调，0 (0且1)=0，0，0 (0且1)=0，纯单调(为常数）=1或=(为常数）=1周期函数特殊地=0周期函数抽象函数问题可以分为以下几类：(一) 求函数解析式【例4】 是否存在这样的函数，使下面3个条件：(1)()0，；(2)()=()()，、；(3)(2)=4同时成立？若存在，求出的解析式，若不成立，说明理由。分析：题设给出了函数的3个条件，探索结论是否成立，可以用不完全归纳法寻找的解析式，再证明。解：若存在这样的函数，由条件得：(2)=(1+1)=(1)(1)=2，又(2)=2(3)=(2+1)=(2)(1)=2(4)=(3+1)=(3)(1)=2由此猜想=()可以验证满足题设的三个条件(略)存在函数=()评注：利用所给条件，通过数据实验，用不完全归纳法作出猜想，再证明是处理抽象函数递推综合题的常用方法。(二) 判断函数单调性【例5】 已知函数对于一切实数、满足(0)0，且当0时，1。（1）当0时，求的取值范围；（2）判断在R上的单调性。分析与略解：由：想：原型：=（0, 1），=10。当1时为单调增函数，且0时，1，0时，01；01时为单调减函数，且0时，1，0时，01。猜测： 为减函数，且当0时，01。（1）对于一切、R，且(0)0令=0，则(0)=1，现设0，则-0，f(-) 1又(0)=(-)= =1 = 101（2）设，、R，则0，试判断函数的单调性。分析：判断抽象函数的单调性，一般由函数单调的定义，考虑差()()，这里，1,1且，再利用题设条件变形，考察()()的符号。解：，1,1且0，又0()()0，()()在1,1上是增函数。评注：判断抽象函数的单调性，一般利用函数单调性定义。使用中对于条件中等式的情况可以考虑：若条件等式中积形式，如(+)=()()考虑用1(1)判断；对于和形式，如(+)=+()，考虑作差()()判断。(三) 求函数值或值域【例7】 已知函数对于任意实数、都有，且当0时，0，(-1)=-2，求函数在区间-2，1上的值域。分析与略解：由：想：(+)=+原型：（为常数）为奇函数。0时为减函数，0时为增函数。猜测：为奇函数且为R上的单调增函数，且在2,1上有4,2设0 ()0=0,为R上的单调增函数。令=0,则(0)=0,令=，则()=为R上的奇函数。(-1)=- (1)=-2 (1)=2，(-2)=2(-1)=-4-42(x-2,1)故在-2,1上的值域为-4，2【例8】 已知定义在上且在上取值的增函数=()，对任意，当，互质时，()=()()，又(180)=180，求(2004)的值。分析：由(180)及题设可推出(1)=1，再利用()寻找()及的关系，然后求值。解：(180)=(1180)=(1)(180)，而(180)=1800，(1)=1由()是增函数及函数值是自然数可得1=(1)(2)(3)(179)0时，0且(1)=2。求函数在3,3上的最值。分析：抽象函数的最值问题，一般是根据条件确定函数的单调性，然后再确定其最值。解：设30，()0()()()在3,3上是减函数。当=3时有最大值，其值为(3)=(3)=(1+2)=(1)(1+1)=3(1)=6当=3时，取最小值，最小值为(3)=(3)=6。(四) 判断函数的周期【例9】 设函数满足，且()=0，、R；求证：为周期函数，并指出它的一个周期。分析与简证：由想：=2coscos原型：=，为周期函数且2为它的一个周期。猜测：为周期函数，2为它的一个周期令=+，= 则=0为周期函数且2是它的一个周期。【例10】 已知函数满足，若，试求(2005)。分析与略解：由想：(+)=原型：=为周期函数且周期为4=。猜测：为周期函数且周期为41=4=-(+4)=是以4为周期的周期函数又f(2)=2004=-f(2005)=-练习：设是定义在R上的函数，且()=，其图象关于直线=1对称，对任意、0，1都有(+)=()()。(1)设(1)=2，求()、()； (2)证明是周期函数。解：(1)由函数=的性质知=0，0,1又=2，()=，(2)根据题意=图象关于直线=1对称，故=(2)，又()=，()=(2)从而对均有=(2+)，即是以2为一个周期的周期函数。(五) 不等式问题【例11】 已知函数定义域为(0,+)且单调递增，满足(4)=1，（1）证明：(1)=0；(2)求(16)；（3）若+ (-3)1，求的范围；（4）试证()=（nN）分析与略解：由：想：（、R+）原型：（0，0）猜测：有(1)=0，(16)=2，（1）令=1，=4，则(4)=(14)=(1)+(4)(1)=0（2）(16)=(44)=(4)+(4)=2(3)+(3)=(3)1=(4)在（0，+）上单调递增 （3，4（4）练习：定义在(1,1)上的函数满足：(1)对任意的，(1,0)都有+；(2)当（1,1）时有0求证：分析：（1,1）时有0，而结论中要求0时的值，可以考虑先判断奇偶性，再考虑用单调性。解：在等式+中令=0得(0)=0再令=得+()=0即()=，是(1,1)上的偶函数。设10，则()()=()+()=由10得0，10()()函数在(1,0)上是减函数。由的奇函数性知，在(0,1)上也是减函数，且0=，故所证的不等式成立(六) 图象对称性问题【例12】 设是常数，函数对一切都满足，求证：函数的图象关于点(，0)成中心对称图形。分析：证明函数的图象的对称性问题，只需在此函数图象上任取一点，证明它的对称点也在其图象上。证明：对一切均成立。=在的图象上任取一点(，)，则其关于点(，0)的对称点(2，)也在其图象上。的图象是关于点(，0)成中心对称图形。(七) 方程根问题【例13】 已知函数对于一切正实数、都有且1时，1，(2)=。(1)求证：0；（2）求证：；（3）求证：在（0，+）上为单调减函数；（4）若=9，试求的值。分析与简证：由想：原型：（为常数（=）猜测：0，在（0，+）上为单调减函数，(1)对任意0，=)=0假设存在0，使=0，则对任意0=f(=0，这与已知矛盾故对任意0，均有0（2），0, (1)=1()=()=(1)=1 (3)、(0,+)，且，则1，()1， 即在（0，+）上为单调减函数。（4）(2)=，()=9 (2)()=1，故所证的不等式成立(八) 图象对称性问题【例14】 设是常数，函数对一切都满足，求证：函数的图象关于点(，0)成中心对称图形。分析：证明函数的图象的对称性问题，只需在此函数图象上任取一点，证明它的对称点也在其图象上。证明：对一切均成立。=在的图象上任取一点(，)，则其关于点(，0)的对称点(2，)也在其图象上。的图象是关于点(，0)成中心对称图形。(九) 方程根问题【例15】 已知函数对于一切正实数、都有且1时，1，(2)=。(1)求证：0；（2）求证：；（3）求证：在（0，+）上为单调减函数；（4）若=9，试求的值。分析与简证：由想：原型：（为常数（=）猜测：0，在（0，+）上为单调减函数，(1)对任意0，=)=0假设存在0，使=0，则对任意0=f(=0，这与已知矛盾故对任意0，均有0（2），0, (1)=1()=()=(1)=1 (3)、(0,+)，且，则1，()1， 即在（0，+）上为单调减函数。（4）(2)=，()=9 (2)()=1的最小值为。练习：1(2002北京)如图所示：O1O1O1O1是定义在0,1上的四个函数，其中满足性质：“对0,1中的任意和，任意0,1，恒成立”的只有：()A、B、C、D、(提示：利用特殊值法，取=，则不等式变为，几何特征是：连接两点P(，)、Q(，)的线段中点M位于横坐标为的曲线=上的点N上方或其上，即函数为凹函数或线性函数。应选A)2(2003荆州质检)已知集合X，Y且X=Y=R，映射：XY的对应法则为：=，若对于实数 Y，在集合X中没有原象，则的取值范围是：()。A、1,1B、(1,1)C、(，11，+)D、(，1)(1，+)3设函数是定义在R上的奇函数，对于任意，当01时，=2，则(5.5)= ()A、1B、1C、D、4已知0(1)对满足|2的一切实数都成立，则的取值范围是 。6(2003湖北八校联考)已知函数对任意实数，Y都有：，(1)=1(1) 若为自然数，试求的表达式；(2)