北京高二数学直线与平面测人教

2006年北京市高二数学直线与平面测试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题后给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1经过平面a外一条直线a与平面a平行的平面（ ） A有且只有一条 B不存在 C至多有一个 D至少有一个2设a、b是两条异面直线，在下列命题中正确的是 （ ） A有且仅有一条直线与a、b都垂直 B有一个平面与ab都垂直 C过直线a有且仅有一个平面与b平行 D过空间中任一点必可作一条直线a、b都相交3四面体A-BCD被平行于棱AB、CD的平面EFGH所截（如图1所示）。其中AC=AD=BC=BD，AB=2CD， 则当四边形EFGH面积最大时，AHHC等于 （ ） A11 B12 C21 D13 A 图1 图24如图2所示，BAD=90的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直，E是BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为 （ ） A. B. C. arccos D. 5对于直线m，n和平面a，下列命题中的真命题是 （ ） A如果ma,na,m、n是异面直线，那么na B如果ma,na,m、n是异面直线，那么n与a相交 C如果ma,na,m、n共面，那么mn D如果 ma，na，m、n共面，那么mn6如图3所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中BN与ED平行；CN与BE是异面直线；CN与BN成60 角；DN与BN垂直。以上四个命题中，正确命题的序号是 ( ) A B C D 图3 图47有一条东西方向的河流如图4所示，在岸边设探照灯P，PO地面xOy,灯光PA射在东北方向，且与地面成60角，则灯光PA与河流Ox所成的角为余弦值为 （ ） A B C D 8如图5所示，在棱长为2的正体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于 （ ） A. B. C. D. 图5 图69如图所示,ABCD-A1B1C1D1是正方体,E、F分别是AA1、AB的中点,则EF与对角面A1C1CA所成角的度数是 （ ） A30 B45 C60 D150 10已知直线l、m、n及平面，下列命题中的假命题是 （ ）A若lm，mn，则ln B若l，n，,则lnC若lm，mn，则ln D若la，na，则ln11如图7所示，定点A和B都在平面内，定点P，PB，C是内异于A和B的动点，且PCAC，那么，动点C在平面内的轨迹是 （ ）A一条线段，但要去掉两个点B一个圆，但要去掉两个点C一个椭圆，但要去掉两个点 图7D半圆，但要去掉两个点12AOB在平面内，OC是平面的一条斜线，若AOB=BOC=COA=（90120），则OC与平面所成角的余弦值是 （ ）A B C D二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上。）13正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD与过ACE的平面的位置关系是 。14在ABC中，C=90，AB=8，ABC=30，PC面ABC，PC=4，P是AB边上的一个动点，则PP的最小值为 。15在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是A1D1C1D1的中点，则直线AA1与梯形AMNC所在平面成的角的正切值为 。16已知集合A，B，C，A=，B=，C=AB，若Aa，bB，cC，在下列命题中ac ac ac ac。正确命题的序号是 。（注：把你认为正确的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17（本小题满分12分） 如图8所示，空间四边形ABCD被两个分别A和C的平行平面所截，平面AEF交BD于E，交CD于F，平面CGH交BD于G，交AB于H，BG=ED。求证：AEF的面积与CHG的面积相等。 图818（本小题满分12分） 如图9所示，P是ABC所在平面外一点，PA=PB，CB面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，AN=3NB。（1）求证：MNAB； （2）当APB=90，BC=2，AB=4时，求MN的长。 图919（本小题满分12分） 已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，PC面ABCD，PC=2。求点B到平面PEF的距离。20（本小题满分12分） 如图10所示，在RtABC中，ACB=90，PA平面PB， 垂足为E，AFPC，垂足为F。（1）求证：PB平面AEF；（2）若PA=AB=2，设BPC=，试用tan表示AEF的面积，当tan为何值时，AEF的面积最大？并求这个最大值。 图1021（本小题满分12分） 设ABCD和ABEF是两个互相垂直底正方形，N、M分别是BF、AC上的点，且AM=FN。 求证：不论点M的位置怎样，直线MN不可能同时与AC和BF垂直； 当点M在什么位置时，线段MN最短？22（本小题满分14分） 如图11（1）所示，直线m1：x=-2与x轴、直线n1：y=3、直线n2：y=6分别A、D、F三点，直线m2：x=2与x轴、直线n1、直线n2分别交于B、C、E三点，现把四边形ABCD绕x轴逆时针旋转90，得到四边形ABC1D1，如图11-（2）。求：（1）直线C1D1与直线EF的距离；（2）点1C到直线AF的距离；（3）点D1到平面BEC1的距离；（4）直线C1E与平面ABEF所成角的大小。 （1） （2） 图11参考答案一、选择题1C2C3A（点拨：四边形EFGH为平行四边形。 设AHHC=,则四边形EFGH面积：为AB、CD所成的角） CD为定值：当且仅当时，S取得最大值。即时，S最大。）4A5C6C（点拨：展开图可以抓成如图所示的正方体，由图可知不正确、正确。）7A8B（点拨：取面CC1D1D的中心为H，连结FH、D1H则D1FG为异面直线OE与FD1所成的角。在FHD1中FD1=， 第6题图FH=，D1H=由余弦定理，得D1FH的余弦值为。）9A（点拨：连BD，过F作FGBD交AC于G，连GE，则GEF为EF与对角面A1C1CA所成角，设正方体棱长为单位长度1，EF=，FG=在RtFGE中 ,得FEG=，FEG=30。）10D11B（点拨：由三垂线定理的逆定理得。 第9题图 ACPC且PC在内的射影为BCACBC，ACB=90以点轨迹为以AB为直径的圆且除A、B两点。）12A（点拨：如图所示，设点P为OC反向延长线上的一点，且OP=a，H为P在平面上的射影。依题意，BOC=AOC，则OH平分AOB，POH为OC与所成的角。cosPOH=,其中M是点H向直线OA引垂线的垂足。） 第12题图二、填空题13平行14215（点拨：作AENM交NM的延长线于E，则EAA1为所求的角。令AA1=a则在RtA1EM中，A1E=tanEAA1=。） 第15题图16（点拨：中c为平面时不成立；中不论c为直线或平面都成立；中c为直线时可能相交、异面，也可能平行；当c为平面时，a可能是c内的一条直线。）三、解答题17证明：平面HGC平面AEF，平面ABD平面HGC=HG，平面ABD平面AEF=AEAEHG，。同理又BG=DE，BE=DG，HGGC=AEEF，又HGAE，GCEF，HGC=AEF又SABC=HGGCsinHGC, SAEF=AEEFsinAEFAEF和CGH的面积相等。18（1）证明：取AB的中点Q，连结PQ，CQ，CB面PAB，CBPQ，又PA=PBPQAB，于是PQ面ABCPQC=90M是PC的中点，MQ=PC，又CBP=90 MB=PC MB=MQ而N是BQ的中点，MNAB；（2）解：当APB=90，BC=2，AB=4时， PB=2，PC=2，MB=PC=MN=。19解：如图所示，设对角线AC，BD相交于O点，EF交AC于H，连结PE，PF，PH。 BDEF，BD平面PEF。故点B到平面PEF的距离等于直线BD到平面PEF的距离，也等于O点到平面PEF的距离。易知H为EF的中点，PHEF，PCEF，EF平面PCH。平面PCH平面PEF。在平面PCH内，过O点作OKPH，垂足为K，则OK平面PEF。故OK的长为O点到平面PEF的距离。 第19题图在RtPCHk ,CH=AC=,PC=2,则PH=。sinPHC=。于是RtOKHk ,OK=OHsinPHC=即点B到平面PEF的距离为。20（1）证明：PA平面ABC，BCACBCAF又AFPC，AF平面PBC，PBAE，PBEF。PB平面AEF；（2）解：PA平面ABC，PAAB。又PA=AB=2，AE=PE=。在RtPEF中，EF=PE。在RtEFA中，。SAEF=。当且仅当，即时，SAEF取得最大值。21（1）证明：设MN同时垂直于AC、BF，作MPAB于P，连结PN，则2由1、2可得：AC/BFA、B、C、F四点共面，这与已知BF、AC不共面矛盾，故MN不能同时与AC和BF垂直； （2）解：设AM = FN = x，正方形边长为a， 第21题图 则MN= RtMPN中，当时，MN2有最小值为，即当M为正方形ABCD的中心（AC的中点）时，MN的长最短。22解：在图（1），由题设可知A、B、C、D、E、F六点的坐标依次是（-2，0），（2，0）（2，3）， （-2，3），（2，6），（-2，6）。四边形ABCD是矩形，且|AB|=4。旋转后：四边形ABC1D1是矩形，BE平面ABC1D1，| B1C |=3，| BE |=6。（1）BE平面ABC1D1，BC1是C1E在平面ABC1D1内的射影。C1D1BC1，C1D1C1E。 又EFAB，C1D1AB，EFC1D1，EFC1E。 由、可知，C1E就是直线C1D1与直线EF的距离，且CE=；（2）连结AC1。由AF平面ABC1D1可