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17 4一元二次方程的根与系数的关系 第17章一元二次方程 濉溪县南坪中心学校陶兴强 1 一元二次方程的求根公式是什么 想一想 方程的两根x1和x2与系数a b c还有其它关系吗 2 如何用判别式b2 4ac来判断一元二次方程根的情况 对一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 b2 4ac 0时 方程有两个不相等的实数根 b2 4ac 0时 方程有两个相等的实数根 b2 4ac 0时 方程无实数根 引 1 填表 21 3 2 探 探索一元二次方程的根与系数的关系 1 2 猜想 如果一元二次方程ax2 bx c 0 a b c是常数且a 0 的两根为x1 x2 则 x1 x2和x1 x2与系数a b c的关系 证一证 任何一个一元二次方程的根与系数的关系 如果方程ax2 bx c 0 a 0 的两个根是x1 x2 那么x1 x2 x1 x2 韦达定理 注 能用根与系数的关系的前提条件为b2 4ac 0 如果方程x2 px q 0的两根是x1 x2 那么x1 x2 p x1 x2 q 韦达 Fran oisVi te 1540 1603 法国杰出数学家 年轻时当过律师 后来致力于数学研究 第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数 未知数及其乘幂 带来了代数理论研究的重大进步 他讨论了方程根的多种有理变换 发现了方程根与系数的关系 所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为 韦达定理 在欧洲被尊称为 代数学之父 在法国和西班牙的战争中 韦达利用精湛的数学方法 成功破译西班牙的军事密码 为他的祖国赢得战争主动权 例1 不解方程 你能判断下列方程的两根之和 两根之积吗 1 x2 7x 6 0 2 2x2 3x 2 解 a 1 b 7 c 6 b2 4ac 72 4 1 6 25 0 方程有两个实数根 设方程的两个实数根是x1 x2 那么x1 x2 7 x1x2 6 2 2x2 3x 2 解 a 2 b 3 c 2 b2 4ac 3 2 4 2 2 7 0 方程没有实数根 所以无法判断两根之和与两根之积 例2 已知方程2x2 kx 4 0的一个根是 4 求它的另一个根及k的值 解 设方程的另一根是 则 你还有别的解法吗 练 3 如果 1是关于x的一元二次方程2x2 x m 0的一个根 则另一个根是 m 1 下列各方程中 两实数根之和是 4的是 Ax2 4x 1 0Bx2 4x 4 0Cx2 4x 6 0D3x2 12x 0 1 2 3 2 已知关于x的一元二次方程x2 px q 0的两根分别为 2和1 则p q D 结 根与系数的关系 韦达定理 内容 如果一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两个根分别是x1 x2 那么 应用 学科素养 利用韦达
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