高中数学第二章2.1.2由曲线求它的方程由方程研究曲线的性质课后导练新人教选修.docx

2.1.2 由曲线求它的方程由方程研究曲线的性质课后导练基础达标1.已知点O(0，0)，A(1，-2)，动点P满足P3P，则P点的轨迹方程是（ ）A.8x2+8y2+2x-4y-5=0 .8x2+8y2-2x-4y-5=0.8x2+8y2+2x+4y-5=0 .8x2+8y2-2x+4y-5=0答案：A2.已知直线l:2x+4y+3=0，P为l上的动点，O为坐标原点，点Q分线段OP为1两部分，则点Q的轨迹方程为（ ）A.2x+4y+1=0 .2x+4y+3=0.2x+4y+2=0 .x+2y+1=0答案：3.到点（，）的距离等于3的动点M的轨迹方程是（ ）.(x+1)2+(y+2)23 .(x+1)2+(y+2)2.(x-1)2+(y-2)23 .(x-1)2+(y-2)2=9答案：B4.弦经过抛物线y2=2px的焦点,则该弦的中点的轨迹是( )A.抛物线 B.椭圆 C.双曲线 D.直线答案：A5.线段AB的长度是10，它的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，则AB中点P的轨迹方程是_.答案：x2+y2=256.已知平面上有两定点A、B，AB2a，平面上一动点M到A、B两点距离之比为2，则动点M的轨迹方程为_.答案：3x23210x3207.已知B(-3，0)、C(3，0)，ABC中BC边上的高的长为3，求ABC的垂心H的轨迹方程.解析:设H的坐标为(x，y)，则A点的坐标为(x，3)或(x，-3).当A的坐标为(x，3)时，ABCH，kABkCH=-1,即=-1（x3）.化简整理得y=x2+3（x3）.x=3时，y=0也适合此方程，所以方程y=x2+3为所求轨迹方程.当A的坐标为(x，-3)时，同理可得H的轨迹方程为y=x2-3.总之，ABC的垂心H的轨迹方程是y=x2+3或y=x2-3.8.已知ABC的顶点B、C的坐标分别为(-1，-3)、(3，5)，若点A在抛物线y=x2-4上移动，求ABC的重心P的轨迹方程.解析:设ABC的重心P的坐标为(x，y)，顶点A的坐标为（x1，y1），则y1=x12-4.由重心坐标公式得代入y1=x12-4得3y-2=(3x-2)2-4.化简整理得9x2-12x-3y+2=0.又直线BC的方程为，即y=2x-1.由得或A、B、C三点不在一条直线上，P、B、C三点不共线.轨迹中应去掉点(，)和(，-).故ABC的重心P的轨迹方程是9x2-12x-3y+2=0(x且x).综合运用9.线段AB与CD互相垂直且平分于点O，AB2a，CD2b，动点P满足PPPCPD，求动点P的轨迹方程.解析：以AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立直角坐标系,如右图所示.设P（x,y）,又A（-a,0）、B（a,0）、C（0，-b）、D（0,b），由题设知|PA|PB|=|PC|PD|.=.化简得x2-y2=为所求.（证明略）10.等腰直角三角形ABC中，A=90，BD是AC边上的中线，AEBD交BC于点E，用坐标法证明ADB=CDE.证明:建立坐标系如右图所示，设AB=AC=a，则在坐标系中各点坐标是A(0，0)、B(0，a)、C(a，0)、D(，0).由斜率公式得kBD=-2.由已知AEBD，得AE所在的直线方程是y=x.E点的坐标(x0，y0)满足解得kDE=2.也就是tanCDE=2.而tanADB=tan(180-CDB)=-tanCDB=-kBD=-(-2)=2，tanCDE=tanADB.又CDE和ADB都是锐角，CDE=ADB.11.过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程.解析：如右图，设点M的坐标为(x，y).M为线段AB的中点，A的坐标为(2x，0)，B的坐标为(0，2y).l1l2，且l1、l2过点P(2，4)，PAPB，kPAP.而kP(x1)，P，=-1(x1).整理，得x+2y-5=0(x1).当x=1时，A、B的坐标分别为(2，0)、(0，4),线段AB的中点坐标是(1，2)，它满足方程 x+2y-5=0.综上所述，点M的轨迹方程是x+2y-5=0.12.已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数（0），求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.解析：设切点为N，则|MN|=|MQ|.于是|MO|2-r2=（|MQ|）2.将M（x，y）代入上式，得x2+y2-1=2（x-2）2+2y2，整理得（2-1）（x2+y2）-42x+（1+42）=0.当=1时，方程为x=，表示一直线.当1时，方程为（x）2+y2=1+，表示一个圆.拓展探究13.已知A、B、C是直线l上的三个定点，其中AB的长为a，BC的长为c.动点Pl，但P与l在确定的平面内，且恒有APB=BPC，求动点P的轨迹.解析：如右图，以AC为x轴，以B为坐标原点建立直角坐标系.设P点的坐标为（x，y）.由已知APB=BPC，得.设A（-a，0），C（c，0），a0，c0.则|PA|=，|PC|=.将其代入得根，化简，得（a2-c2）x2+（a2-c2）y2-2ac（a+c）x=0