B05选修222.3 数学归纳法2课时

第一课时 2.3 数学归纳法（一）教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教学难点：数学归纳法中递推思想的理解.教学过程：一、复习准备：1. 问题1： 在数列中，先算出a2，a3，a4的值，再推测通项an的公式. （过程：，由此得到：）2. 问题2：，当nN时，是否都为质数？过程：=41，=43，=47，=53，=61，=71，=83，=97，=113，=131，=151， =1 601但是=1 681=412是合数3. 问题3：多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒.二、讲授新课：1. 教学数学归纳法概念： 给出定义：归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点：由特殊一般.不完全归纳法：根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫不完全归纳法.完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法. 讨论：问题1中，如果n=k猜想成立，那么n=k+1是否成立？对所有的正整数n是否成立？ 提出数学归纳法两大步：（i）归纳奠基：证明当n取第一个值n0时命题成立；（ii）归纳递推：假设n=k（kn0， kN*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，命题都成立. 关键：从假设n=k成立，证得n=k+1成立. 2. 教学例题： 出示例1：.分析：第1步如何写？n=k的假设如何写？ 待证的目标式是什么？如何从假设出发？小结：证n=k+1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形. 练习：求证：. 出示例2：设a+ (nN*)，求证：a(n1).关键：a(k1)+(k+1)+n(n1) 3. 小结：书写时必须明确写出两个步骤与一个结论，注意“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n=k到n=k+1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.三、巩固练习： 1. 练习：教材108 练习1、2题 2. 作业：教材108 B组1、2、3题.第二课时 2.3 数学归纳法（二）教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教学难点：经历试值、猜想、归纳、证明的过程来解决问题.教学过程：一、复习准备：1. 练习：已知，猜想的表达式，并给出证明？ 过程：试值， 猜想 用数学归纳法证明.2. 提问：数学归纳法的基本步骤？二、讲授新课：1. 教学例题： 出示例1：已知数列，猜想的表达式，并证明. 分析：如何进行猜想？（试值猜想） 学生练习用数学归纳法证明 讨论：如何直接求此题的？ （裂项相消法） 小结：探索性问题的解决过程（试值猜想、归纳证明） 练习：是否存在常数a、b、c使得等式对一切自然数n都成立，试证明你的结论. 解题要点：试值n=1,2,3， 猜想a、b、c 数学归纳法证明2. 练习： 已知 ，考察；之后，归纳出对也成立的类似不等式，并证明你的结论. （89年全国理科高考题）是否存在常数a、b、c，使得等式 （答案：a=3,b=11,c=10）1对一切自然数n都成立？并证明你的结论3. 小结：探索性问题的解决模式为“一试验二归纳三猜想四证明”.三、巩固练习：1. 平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)=n2n+2个部分.2. 是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）3n+9对任意正整数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. （答案：m=36）3. 试证明面值为3分和5分的邮票可支付任何的邮资. 证明：（1）当时，由可知命题成立；（2）假设时，命题成立. 则当时，由（1）及归纳假设，显然时成立.根据（1）和（2），可知命题