一起学奥数-数字谜(四年级)

数字谜 风子编辑 教育目标 灵活地运用运算法则和整数的性质 学会发现问题 分析问题 教育重点 掌握数字谜解题思路 及数字与数字之间的规律 教育难点 综合运用数论的知识 来解决数字谜问题 第一课横式数字谜 例1 下列算式中 各代表什么数字 1 1292 25 125 3 8 17 474 36 150 6 分析 用实物来表示数 如苹果 足球等 之前应该已学习过 用符号表示数 有的小朋友也应该碰到过了 下一步我们将会学习更加抽象的 用字母来表示数 这些都是学习方程的基础 我们可以把一个等式看作是天平 左边放着符号 右边放着表示重量的数字 我们知道天平两边同事加减等量的东西 天平不会倾斜 所以 等号的两边加减或乘除相等的数 等号仍然能够成立 1 是三个 的和 即3 所以等式两边都除3 就是1个三角形代表的数字 即129 3 43 2 两边都加上一个圆 再两边都减去25 就变成了 100 所以 50 3 两边都加上17 就变成了8 64 再除以8 所以 8 4 两边都减去6 再两边加上150 则变成30 150 接着两边都乘以 则得到新的等式 30 150 所以 5 引导学生对以上变化做小结 变化过程要让学生养成数字放右边 符号放左边的习惯 例2 如果 6 那么 分析 条件中出现两个等式 并且出现多个符号时 我们要想办法把其中一个等式的符号统一成一个 就像用天平称东西 左边放了1个苹果 1个桔子 右边放了代表它们重量的6 我们又知道一个苹果和2个桔子一样重 而旁边又有两个桔子 这是我们可以用两个桔子换下一个苹果 称出3个桔子的重量等于6 所以 条件中的两个等式中 我们可以用两个 替换掉 6中的 得到 6 则有 2 得到 代表的数字 就可以通过第二个等式算出 4 引导学生对以上变化做小结 让学生了解等式加减 例3 在下列方框中填上适当的数 使等式成立 1 5 40 32 148 8 4 分析 根据题目中给定等式的特点 我们可以利用带余数除法的特点来计算代表 的数字 1 代表的是被除数 这个等式的意思为 一个数被5除 商为40 余数为3 根据带余数除法的特点 或者采用还原法 代表的数为 40 5 3 203 2 代表的是除数 这个等式的意思为 148被一个数除 商为8 余数为4 根据带余数除法的特点 或者采用还原法 代表的数为 148 4 8 18 回顾带余数除法的特点 例4 将1 7这七个数字分别填入下面的空格内 使等式成立 每个数字只能用一次 分析 学会化繁为简 是做这类题目的关键 根据一个数可以拆分为几个约数的乘积的性质 我们可以发现 第一个等号可以变为 即 我们应该从1 7这7个数中找出一个数 能够拆分为3个不同的数的乘积 可以发现 只有6符合要求 即6 1 2 3 所以第三个方框内填6 等式的值为2 3 6 右边三个方框内填4 5 7 4 5 7填入右边三个方框 可以组成为4 5 7 2 4 7 5 6 5 7 4 8 即前两个符合等式的值 所以 这7个数可以为 1 2 6 3 4 5 7或2 3 6 1 4 7 5 例5 在下列等号左边的每两个数之间 添上加号或减号 也可以用括号 使算式成立 12345 1 分析 填符号的技巧在于缩小数字范围 或者说 对等号左边的数字进行分组 使一组能够使等式成立 而另一组为0或1 我们可以先对1 5进行分组 使一组等于1 另一组等于0或1 由连续数字的性质可以知道 相邻两数差为1 则剩下三个数在组合成一组 找4 5为一组 4 5 1 而1 2 3 0 再把两组数做连接 1 2 3 4 5 1 还可以有其它的分组方法 请动手试试 例6 添上适当的运算符号 使得下面的算式成立 55555 10 分析 填符号的技巧在于缩小数字范围 或者说 对等号左边的数字进行分组 使一组能够使等式成立 而另一组为0或1 我们可以先对5个5进行分组 因为两个5相加等于10 则使三个5等于0或1 很容易得到 5 5 5 0 接着 再把两组相连接即可 5 5 5 5 5 10 第二课竖式数字谜 例1 下面的算式中 5个相同的两位数AB相加得两位数MB 其中相同的字母表示相同的数字 不同的字母表示不同的数字 则AB ABABABAB ABMB 分析 观察这个竖式 5个B相乘 个位仍旧是B 这样的数只有0和5 而如果A 2 则乘积应该是三位数 且A 0 所以A 1 为保证乘积是二位数 还需要考虑个位相乘后进位的数 测试B 0或B 5 都能保证乘积为两位数 所以AB为10或15 例2 在下面算式的 内各填入一个合适的数字 使算式成立 00 50 91 93 分析 竖式运算中 补上某些漏掉的数的关键 是找到突破点 这是一个减法 观察已知的各个位置 可以发现个位数字是突破点 非常确定的是 被减数的个位数必须是2 00 50 91 93 2 被减数的十百位都是0 所以向千位借1 而千位减5等于1 则被减数千位数为7 7 由差的十位是9 减少的百位为0 可以得出 减数的十位为0 差的百位为9 0 9 例3 下面是一个六位数乘以一个一位数的算式 不同的汉字表示不同的数 相同的汉字表示相同的数 其中的六位数是 小学希望杯赛 赛999999 分析 这是一个六位数与一位数的乘法 结果为999999 分析左边竖式 突破口在两个相同的数相乘个位为9 在0 9这十个数中 符合条件的只有3和7 如果是3 则以上竖式等同于 小学希望杯赛 1 333333 即所有汉字表示了相同的数 所以 赛 7 因为 赛 赛 产生进位4 所以 杯 赛 个位要等于9 还差5 与7相乘个位为5的数只有5 所以 杯 5 以此类推 望 8 希 2 学 4 小 1 解乘法竖式数学谜的关键是找到突破口 例4 请在下面算式的 里填上合适的数字 使算式成立 4 61 0 58 分析 一般突破口不是在头上 就是在尾部 中间部分受到后边数字的影响 存在干扰因素 观察这个题目 第一行的个位数受到0和5的制约 即两个数相乘 个位必须是0或5 那么这两个乘数中必定有一个5 5 接着可以确定第三行的十位数字为7 同时 产生进位2 而6的倍数 10 且小于20的 只有12和18 但18 2为20 所以第一行的百位数是2 第三行的百位为4 7 2 4 下一步的突破口应该是2 8 且 处为奇数 所以 1或3 尝试可知 第二行的十位数字为3 3 确定两个乘数后 其它的就很容易确定了 3 6 0 2 8 注意 有没有学生不理解第二行的乘数十位是奇数 例5 在下面竖式的 里填入合适的数字 使竖式成立 9 41 55 37 0 分析 利用5 99559 可以确定商十位为6 6 因为与3相加个位为1的数只有8 所以可以确定第三行个位数为8 8 558 6 93 所以可以确定除数的个位为3 3 在 41 551时 产生连续借位 且差最高位为0 所以被除数最高位为6 余数为83 6 8 被除数的个位是非常清楚的 应该一眼就能够看出为7 7 接着 只要做837 93 9即可 9 8 7 3 第三讲提高篇 例1 如图 请在右图每个方框中填入一个不是8的数字 使乘法竖式成立 则最后的乘积是多少 8 8 8 8 8 分析 乘法竖式谜的突破口往往在头和尾的计算 而这个算式的尾部数字受制约数几乎没有 所以只能通过头部数字来确定范围 8 998 8000 所以即使第一行的乘数是最大值 所得积仍不足 而加法最大进位为1 因此 可以确定第一行最高位为9 第四行最高位为7 9 7 8 988 7900 8 968 7800 所以第一行为978 那么 第四行的数就确定了 978 8 7824 7 2 4 方框内的数字不能是8 所以第二行的个位不能是6和8 9 又因为第三行是四位数 所以 不能是0或1 尝试978乘2 3 4 5 7 9 能使积的百位为8的是5 4890 7 6846 当6846时 最后一排方框中会有8 所以应该是5 那么 其它方框中的数也就能确定了 5 4 9 0 3 3 0 1 例2 如下图 所示算式的每个方框内填入一个数字 要求所填的数字都是质数 并使竖式成立 7 分析 设两个乘数为a7b和cd 其中a b c d只能是2 3 5 7 b c d中如果有一个2 则下面方框中会出现非质数 所以这三个数只能是3 5 7中选 且必定有一个为5 如果b 5 则c d必定有一个5 而5 73 365 5 77 385 不符合要求 所以b 5 5 使a75 c或d相乘大于2000 只有775 3 2325 575 5 2875 775 5 3875 375 7 2625 575 7 4025 775 7 5425 由此可见 符合要求的只有775 3 2325 7 3 3 3 5 2 2 3 5 2 2 5 2 5 5 7 例3 数数 科学 学数学在上面的算式中 每一汉字代表一个数字 不同的汉字代表不同的数字 那么 数学 所代表的两位数是多少 分析 用文字表示等式不容易分析 可以把数字用字母来表示 上边等式转化为 aa bc cac aa a 11 所以cac能被11整除 则c c a能被11整除 即2c a或2c a 11 cac c 101 a 10 a 11 bc c 101 a 10 即a c 101 a 10 则a c即c na 与2c a矛盾 则有2c a 11 使2c a 11 则c为6 7 8 9 分别代入得 a为1 3 5 7 符合c na的数为c 6 a 1 即 数学 两字代表的是16 例4 迎杯 春杯 好好好在上面的算式中 相同的汉字代表相同的数字 不同的汉字代表不同的数字 那么 迎 春 杯 好 之和等于多少 分析 用文字表示等式不容易分析 可以把数字用字母来表示 上边等式转化为 ac bc ddd ddd d 111 d 3 37 所以37是ac或bc的约数 因为两个乘数存在交换律 所以可设37为ac的约数 则ac为37或74 若ac 37 则bc 3 d 因为c 7 所以d 9 b 2 则四个字相加为21 若ac 74 则bc 3 d 2 因为c 4 即3 d的个位数是8 所以d 6 bc 9 不符合要求 知识点小结 解决巧填算符的基本方法 1 凑数法 根据所给的数 凑出一个与结果比较接近的数 再对算式中剩下的数字作适当的增加或减少 从而使等式成立 2 逆推法 从算式的最后一个数字开始 逐步向前推想 从而得到等式 最值问题 1 横式转化为竖式数字谜 乘法转化为除法2 找突破口 末尾和首位 进位和错位 个位数字 位数的差别等3 采用特殊分析方法 个位数字分析法 高位数字分析法 数字大小估算分析法 进位错位分析法 分解质因数法 奇偶分析法等4 除了数字谜问题常用的分析方法外 还常采用比较法 通过比较算式计算过程的各步骤 得到所求的最值的可能值 再验证能否取到这个最值5 数字谜问题往往综合了数字的整除特征 质数与合数 分解质因数 个位数字 余数 分数与小数互化 方程 估算 找规律等题型 竖式数字谜技巧 1 从首尾或者末尾找突破口 突破口指在做