人教A版选修22 1.7.2 定积分在物理中的应用 课件（40张）.ppt

1 7 2定积分在物理中的应用 1 变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s 等于其速度函数v v t v t 0 在时间区间 a b 上的定积分 即s 2 力做功 1 恒力做功 一物体在恒力f 单位 n 的作用下做直线运动 如果物体沿着与f相同的方向移动了s 则力f所做的功为 w fs 2 变力做功 如果物体在变力f x 的作用下做直线运动 并且物体沿着与f x 相同的方向从x a移动到x b a b 那么变力f x 所做的功为w 1 判一判 正确的打 错误的打 1 速度是路程与时间的函数关系的导数 2 一个物体在2 t 4时 运动速度为v t t2 4t 则它在这段时间内行驶的路程为 t2 4t dt 3 一物体在力f x 作用下沿f x 相同的方向从x 0运动到x 10 则该力对物体做的功为w f x dx 解析 1 正确 路程关于时间的函数关系的导数就是运动速度 2 错误 因为2 t 4时 v t t2 4t 0 s t2 4t dt 3 正确 在f x 作用下 物体沿f x 相同的方向从x 0运动到x 10 该力对物体做的功为w f x dx 答案 1 2 3 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 一物体在变力f x 2x2 1作用下沿直线由x 1运动到x 3 则力f x 所做的功等于 2 一列车沿直线轨道前进 刹车后列车速度v t 27 0 9t 则列车从刹车到停车所前进的路程为 3 做变速直线运动的物体速度是v t 5 t2 单位 m s 则该物体在第1s到3s间运动的位移为 m 解析 1 w 2x2 1 dx x3 x 答案 2 由27 0 9t 0解得x 30 路程s 27 0 9t dt 27t t2 405 答案 405 3 位移为 5 t2 dt 5t 答案 要点探究 知识点定积分在物理中的应用1 变速直线运动物体的路程 位移与定积分的关系如果做变速直线运动物体的速度 时间函数为v v t 则物体在区间 a b 上的位移为定积分v t dt 物体在区间 a b 上的路程为 v t dt 2 确立变力做功的策略首先要确定变力与位移的函数式f x 其次是确定变力作用下物体产生的位移 求积分区间上的定积分w f x dx即可 知识拓展 如果做变速直线运动的物体的运动速度与时间的函数关系为 v v t 其在区间 a b 上的运动路程可分以下三种情况求解 1 当t a b v t 0时 路程s v t dt 此时路程与位移相等 2 当t a b v t 0时 路程s v t dt 3 当t a c v t 0 t c b v t 0时 路程s v t dt v t dt 微思考 1 物体做变速运动时 运动速度是否一定为正值 提示 不一定为正值 2 做变速运动的物体的路程与位移一定相等吗 如何计算 提示 不一定 路程s v t dt 位移x v t dt 3 物理上进行功的计算时 力 位移的单位是什么 相应功的单位是什么 提示 一般情况下 力的单位是 n 位移的单位是 m 功的单位是 j 即时练 1 物体以速度v t 2t 1做直线运动 则它在t 1到t 3这段时间的位移为 a 6b 5c 6d 52 物体以速度v t 2 t做直线运动 则它在t 1到t 3这段时间的路程为 3 如果1n力能拉长弹簧1cm 为了将弹簧拉长6cm 所耗费的功为 解析 1 选a 位移为 2t 1 dt t2 t 6 2 路程s 2 t dt 2 t dt 2t 2t 1 答案 1 3 设f x kx 当f 1n时 x 0 01m 所以k 100 即f x 100 x 于是拉长6cm所耗费的功为w f x dx 100 xdx 50 x2 0 18 j 答案 0 18j 题型示范 类型一求做变速运动的物体的路程 位移 典例1 1 物体以速度v t 3t2 2t 3做直线运动 它在t 0到t 3这段时间内的位移是 a 9b 18c 27d 36 2 一质点在直线上从时刻t 0 s 开始以速度v t2 4t 3 m s 运动 求点在t 4s时的位置及经过的路程 解题探究 1 题 1 中速度与位移之间如何建立联系 2 在题 2 中 质点在4s时的位置与什么有关 探究提示 1 对速度在某一时间段进行积分即得这一时间段的位移值 2 质点在4s时的位置决定于质点的位移 自主解答 1 选c 所求位移 v t dt 3t2 2t 3 dt t3 t2 3t 27 2 在t 4s时该点的位移为 t2 4t 3 dt t3 2t2 3t m 即在t 4s时该点距出发点m 又因为v t t2 4t 3 t 1 t 3 所以在区间 0 1 及 3 4 上的v t 0 在区间 1 3 上 v t 0 所以在t 4s时的路程为s t2 4t 3 dt t2 4t 3 dt t2 4t 3 dt 2t2 3t 2t2 3t 2t2 3t 4 m 延伸探究 在本例题 2 中 质点在1s至3s运动的位移和路程分别是多少 解析 位移为 t2 4t 3 dt 2t2 3t 路程s t2 4t 3 dt 方法技巧 求做变速直线运动物体位移与路程的方法 1 做直线运动物体的位移与路程是两个不同的概念 位移是指物体位置的改变 位移不但有大小 而且有方向 是一个矢量 或向量 路程是物体运动轨迹即质点运动时所经过的实际路径的长度 路程只有大小 没有方向 是个标量 或数量 2 用定积分计算做直线运动物体的路程 要先判断速度v t 在时间区间内是否为正值 若v t 0 则运动物体的路程为s v t dt 若v t 0 则运动物体的路程为s v t dt v t dt 3 若已知做直线运动物体的速度 时间图象 可以先求出速度 时间函数式 再转化为定积分计算路程 也可以直接计算曲边梯形的面积得到路程 若速度 时间函数是分段函数 要利用定积分的性质进行分段积分再求和 变式训练 已知a b两地相距400米 甲 乙两人都沿直线从a地运动到b地 甲的运动速度为v甲 2t 米 秒 乙的运动速度为v乙 t 5 2 米 秒 若甲比乙先出发5秒钟 问从a地到b地的过程中 甲 乙两人能否相遇 其中t为时间 单位 秒 解题指南 若从a地到b地的过程中 两人能相遇 那么甲 乙相遇时所走过的路程应该不超过400米 否则甲 乙相遇时已在a b两地之外 解析 设乙出发x秒后两人相遇 则相遇时甲走过的路程是s1 2tdt x 5 2 乙走过的路程是s2 t 5 2dt x 5 3 53 由s1 s2 得 x 5 2 x 5 3 53 整理 得x3 3x2 105x 450 0 设f x x3 3x2 105x 450 则f 10 0 f 14 0 所以该方程在区间 10 14 内必有解 并设此解为x0 显然x0 0 当x x0时 s1 s2 x0 5 2 14 5 2 361 400 因此 从a地到b地的过程中 甲 乙两人能相遇 补偿训练 从空中自由下落的物体 在第一秒时刻恰经过电视塔顶 在第二秒时刻物体落地 已知自由落体的运动速度为v gt g为常数 则电视塔高为 解析 选c h gtdt gt2 类型二求变力做功 典例2 1 一物体在力f x 3x2 2x 5 力的单位 n 位移单位 m 的作用下沿与力f x 相同的方向由x 5m运动到x 10m时f x 做的功为 a 925jb 850jc 825jd 800j 2 如图所示 一物体沿斜面在拉力f的作用下由a经b c运动到d 其中ab 50m bc 40m cd 30m 变力在ab段运动时f与运动方向成30 角 在bc段运动时f与运动方向成45 角 在cd段运动时f与运动方向相同 求物体由a运动到d所做的功 1 732 1 414 精确到1j 解题探究 1 变力做功的公式是什么 2 在题 2 中 ab段 cd段做功的力是多少 探究提示 1 变力做功的公式w f x dx 2 在ab段上做功的力为fcos30 在cd段上做功的力为fcos45 自主解答 1 选c 依题意f x 做的功是w f x dx 3x2 2x 5 dx x3 x2 5x 825 j 2 在ab段运动时f在运动方向上的分力f1 fcos30 在bc段运动时f在运动方向上的分力f2 fcos45 由变力做功公式得 w x 5 cos30 dx x 5 cos45 dx 600 所以物体由a运动到d变力f所做的功为1723j 方法技巧 求变力做功的方法步骤 1 要明确变力的函数式f x kx 确定物体在力的方向上的位移 2 利用变力做功的公式w f x dx计算 3 注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米 功的单位才为焦耳 变式训练 在弹性限度内 用力把弹簧从平衡位置拉长10cm所用的力是200n 求变力f做的功 解题指南 弹簧的拉力与弹簧伸长的长度成正比 即f kx 利用已知关系求出k 然后对f x 求定积分即可 解析 设弹簧所受到的拉力与弹簧伸长的函数关系式为f x kx k 0 当x 10cm 0 1m时 f x 200n 即0 1k 200 得k 2000 故f x 2000 x 所以力f把弹簧从平衡位置拉长10cm所做的功是 补偿训练 设有一长25cm的弹簧 若加以100n的力 则弹簧伸长到30cm 求使弹簧由25cm伸长到40cm所做的功 解析 设x表示弹簧伸长的长度 单位 厘米 f x 表示加在弹簧上的力 设f x kx 依题意得x 5时f x 100 所以k 20 x 40 25 15 所做的功为 2250 n cm 22 5 j 易错误区 因忽视单位换算导致计算错误 典例 已知某弹簧原长5dm 在100n的拉力作用下伸长到5 1dm 在弹性限度内 使弹簧伸长到6dm拉力的做功为 解析 设弹簧所受的拉力f x kx 将x 0 01m f x 100n 代入上式 得100 0 01k 解得k 104 n m 故f x 104x 使弹簧从5dm伸长到6dm 伸长了0 1m 所以拉力做的功为答案 50j 常见误区 防范措施 1 正确应用物理知识在弹性限度内 弹簧的弹力大小 等于拉力 与弹簧的