人教A版选修11 习题课3.3.1 利用导数研究函数的单调性 课件（30张）.pptx

习题课 利用导数研究函数的单调性 1 已知函数的单调性 求参数的取值范围 1 解题步骤 函数在区间 a b 上单调递增 减 f x 0 f x 0 在区间 a b 上恒成立 利用分离参数法或函数性质求解恒成立问题 对等号单独验证 2 注意事项 一般地 要检验由f x 0 或f x 0 恒成立解出的参数取值范围中是否有取值使f x 恒等于0 若f x 恒等于0 则参数的这个值应舍去 若只有在个别点处有f x 0 则该参数取值范围为最后解 3 解决该类问题常用的有关结论 m f x 恒成立 m f x max m f x 恒成立 m f x min 2 解析式中含参数的函数单调区间的求法函数解析式中含有参数时 讨论其单调性 或求其单调区间 问题 往往要转化为解含参数的不等式的问题 这时应对所含参数进行适当的分类讨论 做到不重不漏 最后再将各种情况分别进行表述 3 利用导数证明不等式利用导数证明不等式 是导数应用的一个重要方面 其证明思路主要是运用构造函数的方法 一般地 要证明不等式f x g x 或f x 0 或h x h x max 0 证得要证明的不等式 4 利用导数解不等式利用导数解不等式 也是导数应用的一个重要方面 其求解思路主要是运用构造函数的方法 通过函数的单调性进行求解 做一做1 若函数f x x3 ax在 2 1 上单调递增 则实数a的取值范围是 a a 3b a 12c a 3d a 12解析 f x 3x2 a 依题意3x2 a 0在 2 1 上恒成立 即a 3x2 而g x 3x2在 2 1 上的最小值等于3 所以实数a的取值范围是a 3 答案 a 做一做4 求证 当x 0时 ex x 1 证明 令h x ex x 1 h x ex 1 由于x 0 所以h x 0 因此h x 在 0 上单调递增 于是h x h 0 0 故ex x 1 探究一 探究二 探究三 规范解答 已知函数的单调性求参数的值或取值范围 例1 求解下列各题 思路点拨 对于 1 和 2 可转化为f x 0或f x 0在相应区间上恒成立进行求解 但要注意对端点值的检验 对于 3 可先求f x 的递增区间 再令所给区间是其子集即可 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 反思感悟1 已知函数的单调性求参数的取值范围 若参数在函数解析式中 则可转化为不等式恒成立问题求解 一般地 如果函数f x 在区间i上单调递增 递减 则等价于不等式f x 0 f x 0 在区间i上恒成立 然后可借助分离参数等多种方法求出参数的取值范围 在利用这种方法求解时 还应注意 得到参数的取值范围后 要检验端点处的参数值能否使f x 恒等于0 若恒等于0 应舍去这个端点值 若f x 不恒等于0 则其符合题意 2 已知函数的单调性求参数的取值范围 若参数出现在区间的端点中 则可以先求出函数的单调区间 然后令给定区间是函数相应单调区间的子区间 建立关于参数的不等式 从而求出参数取值范围 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 求含参数函数的单调区间 例2 已知函数f x x2 alnx a r a 0 求f x 的单调区间 思路点拨 先确定函数定义域 再求导数 最后结合定义域以及参数a的取值范围 讨论f x 的符号 从而确定函数的单调区间 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 反思感悟当函数解析式中含有参数时 求其单调区间问题往往就要转化解含参数的不等式问题 这时应对所含参数进行科学合理的分类讨论 做到不重不漏 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 利用导数解决不等式问题 探究一 探究二 探究三 规范解答 反思感悟利用导数证明不等式的常见形式与步骤1 常见形式 已知x a b 求证 u x v x 2 证明步骤 1 将所给的不等式移项 构造函数f x u x v x 转化为证明函数f x 0 2 在x a b 上 判断f x 的符号 3 若f x 0 说明f x 在区间 a b 上是增函数 只需将所给的区间的左端点的值代入f x 检验其值为零 或为正 即证得f a 0即可 若f x 0 说明f x 在区间 a b 上是减函数 只需将所给的区间的右端点的值代入f x 检验其值为零 或为正 即证得f b 0即可 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 例4 定义域为r的可导函数y f x 的导函数为f x 满足f x f x 且f 0 2 则不等式f x 2ex的解集为 a 0 b 2 c 0 d 2 思路点拨 构造函数 判断其单调性 根据单调性进行求解 探究一 探究二 探究三 规范解答 反思感悟本题关键在于根据题意构造函数 通过导数研究函数的单调性 然后借助单调性求解不等式 构造函数时 注意以下技巧 1 若已知条件中有f x f x 或f x 0 或f x f x 0 或f x xf x 0 可构造函数y xf x 探究一 探究二 探究三 规范解答 变式训练4已知函数f x 的定义域为r f 0 2 且对 x r 有f x f x 1 则不等式ex f x ex 1的解集为 a x x 0 b x x1 d x xex ex 0 所以h x 在r上单调递增 又因为h 0 1 所以不等式ex f x ex 1可转化为h x h 0 所以得x 0 故选a 答案 a 探究一 探究二 探究三 规范解答 利用导数解决函数单调性综合问题 典例 若函数f x x2 2x alnx a r 在区间 0 1 上为单调函数 求实数a的取值范围 审题策略 函数为单调函数 应分为两种情况 单调递增或单调递减 分别进行求解 然后合并即得a的取值范围 探究一 探究二 探究三 规范解答 规范展示 解 函数定义域为 0 设g x 2x2 2x a 若f x 在区间 0 1 上为单调递增函数 则f x 0恒成立 即g x 0恒成立 因此a 2x2 2x 而当x 0 1 时 h x 2x2 2x 4 所以a 4 综上 实数a的取值范围为a 0或a 4 探究一 探究二 探究三 规范解答 答题模板第1步 确定定义域 求导数 第2步 对导数进行转化 第3步 求当函数在 0 1 上单调递增时 a的取值范围 第4步 求当函数在 0 1 上单调递减时 a的取值范围 第5步 得到a的取值范围 探究一 探究二 探究三 规范解答 失误警示通过阅卷统计分析 发现造成失分的原因主要如下 1 没有事先确定函数的定义域 从而导致无法对导数进行转化 或即使求出了定义域 但想不到对导数进行转化 导致问题复杂化 无法继续求解 2 对 单调函数 理解不全面 只求解函数为单调递增函数这一种情况 导致漏解 3 利用导数转化为不等式恒成立问题求解时 相应函数的最值求解错误 导致结果出错 探究一 探究二 探究三 规范解答 1 函数在x 1 4 上单调递减 则实数a的最小值为 a 1b 2c 4d 5解析 由题意知 当x 1 4 时 f x 0恒成立 即a 2 恒成立 故a 4 答案 c2 已知函数f x x3 6x2 9x 2 f x 是函数f x 的导数 则函数f x 和f x 单调性相同的区间是 a 1 2 3 b 1 2 和 3 c 2 d 2 解析 根据题意可知f x 3x2 12x 9 令f x 0 解得x1 1 x2 3 所以当x 1 3 时 函数f x 单调递增 当x 1 3 时 函数f x 单调递减 由f x 的图象可知当x 2 时 f x 单调递减 当x 2 时 f x 单调递增 则函数f x 和f x 单调性相同的区间是 1 2 和 3 答案 b 3 已知定义在实数集r上的函数f x 满足f 1 2 且函数f x 的导数f x 在r上恒有f x 1 答案 a4 求证 当时 tanx x 5 求函数f x ex kx k