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第二章 圆锥曲线 专项训练(7)坐标变换【例题精选】:例1:如果曲线,经过平移坐标轴后的新方程为=1,那么新坐标的原点在原坐标系中的坐标是什么?解:(一)待定系数法:设代入原方程得:代入方程得即:新坐标的原点在原坐标系中的坐标是(1,1)(二)配方法:即新坐标原点在原坐标系中的坐标是(1,1)。小结:从上面这个例题可以看出,对于缺少xy项的二元二次方程: (A、C不同时为0)利用坐标轴平移,可以使新方程没有一次项(或没有一个一次项和常数项)从而化成圆锥曲线的标准方程,配方法很简单,应熟练掌握。例2:用坐标平移化简方程并画出新旧坐标系和方程的曲线。解:这就是说将原点移到(2,3)时原方程化简为。例3:抛物线,把坐标系xoy平移到后,抛物线方程为,求:在原坐标xoy中的坐标。解:把代入方程令解得在原坐标系中的坐标为小结:此题所用方法叫待定系数法。例4:平移坐标轴化简方程,并求在原坐标系下的顶点坐标,焦点坐标、准线方程、渐近线方程,对称轴方程。解:令代入方程得这是焦点在轴上的标准双曲线方程。在中在中顶点(2,0)(2,0)(3,2)(1,2)焦点准线方程:渐近线方程: 即对称轴方程小结:作此题的几个关键步骤:1、配方、找出新坐标原点;2、写出在新坐标系下的各种量;3、用对比的方法写出在原坐标系下的各种量。例5:已知椭圆的长半轴长是5,焦点。求椭圆方程。例6:求以(3,0)(0,0)为顶点,离心率为的双曲线方程。解:双曲线的顶点为(3,0)(0,0)双曲线的中心为,且焦点在x轴双曲线方程为例7:焦点F(1,1),准线方程为,求抛物线方程。解:F(1,1),准线方程为抛物线应为焦点在的直线上且开口向左,即焦点到准线的距离抛物线的中心,即抛物线的顶点坐标为(2,1)抛物线方程为小结:作上面这几个求曲线方程的过程中可总结出一般步骤:1、根据条件确定中心、定型;2、根据过去所学过的知识确定各种量;3、写出方程。同时,用画图的方法也可帮助求出各种量。例8:求与椭圆有公共焦点,离心率为的双曲线方程。解:分析,有共同的焦点,则说明它们有共同的中心(2,3)同时焦点也在x轴上,则方程为。双曲线方程为例9:双曲线的渐近线方程为,准线方程为。求双曲线方程:解:分析:渐近线的交点应为双曲线的中心,由准线方程可定型为II型,再由斜率和之间的关系即可求出方程: 解得:双曲线的中心为(2,1)设双曲线的方程为,解得:双曲线方程为小结:在这道题中主要要注意准线方程,要相对于曲线中心,求距离。例10:平移椭圆使它左准线成为右准线,且椭圆中心在直线上。求:椭圆的新方程。解:分析:可以画图帮助分析,由于只是平移,因此只要找出中心位置即可。由题意将中心o平移至需将左准线改为右准线例11:已知一条与y轴平行的直线与曲线交于A、B两点,曲线中心为。求面积的最大值。解:先找出坐标,即将曲线方程配方从图形中可以发现的面积可以由线段AB和OH计算,AB为弦长,应在新坐标系下求比较简单。令在新坐标下的方程为代入找出了表达式,研究最值可以采用均值定理或配方法。当且仅当可取到最大值1。用不等式证明要注意条件,同时要在定义域范围之内,在此题中定义域为可以取到。如果用配方法:时有最大值1小结:通过此题可以看到利用平移可以简化计算。【专项训练】: 填空题:1、给定点平移坐标轴使原点移至才能使M的新坐标为。2、椭圆的焦距是,准线方程是。3、椭圆的中心是点 ,长轴在直线 上。4、双曲线的离心率等于,焦点坐标,准线方程。5、抛物线的焦点在轴上,则m的值为。6、一个焦点为(15,4),相应准线为,离心率为的椭圆方程为。【答案】:一、填空题:1、2、3、4、5、解:配方 则新系下的方程为 在新系下的焦点,则在原系下的焦点坐标为已知F在x轴上,所以

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