函数的性态研究林威

专题1 函数的性态研究 （3课时）苍南龙港高中 林威【考点透视】1、函数的性质主要涉及函数的定义域、对应法则，值域（最值）、奇偶性、单调性、周期性、对称性以及反函数的概念及性质。在高考试题中常以选择题、填空题的形式出现，有时也以函数内容为主的综合性解答题的形式进行考查。函数是一种思想，它重在渗透。函数的图象是函数的直观体现，运用函数的图象研究函数的性质是高考命题的热点之一。函数由定义域和对应法则所确定，函数的值域由函数的定义域所确定，函数的单调区间是定义域的子集，奇（偶）函数的定义域必须关于原点对称，在解题时，应重视定义域在解决函数问题中的作用。函数的综合运用主要是指综合运用函数的知识，思想和方法解决问题。近年来，高考试题中经常在函数与其他方面知识的交汇点编制试题，这样的试题通常以中高档题的形式出现。对函数以及函数思想方法应用的考查是数学高考的一大热点和亮点。解函数综合题首先要仔细审题，弄清题意，然后把握问题的本质，展开广泛的联系，再是要运用转化和化归、分类讨论等数学思想，将一个较为复杂的问题转化为一次、二次函数的问题加以解决。解函数综合问题，还必须要加强对向量、导数等新增内容与函数的交汇问题的剖析和训练，熟练掌握用导数的工具来研究函数的有关性质，因为这将是高考考查的一个新的着眼点。2、五年科学归纳时间题号分值题型高考要求考试内容能力等级200015选择理解映射的概念A65选择应用实际问题的应用C196解答应用函数的单调性C2112解答应用应用题、函数的最值C2001105选择掌握单调性B2212解答应用函数的性质C200295选择掌握单调性A105选择掌握函数图象B134填空掌握对数的性质B164填空应用函数的性质C200335选择理解函数概念B1912解答应用指数函数的单调性C200425选择理解函数的奇偶性B45选择理解反函数B3、合理预测单调性、性质会在解答题中出现。分值会在1015分左右。一、 2004高考题汇总【高考风向标】以客观题的形式考查函数的概念、性质和图象。（一）选择题1 (2004. 天津卷)若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则=( A )(A) (B) (C) (D) 2. （2004.江苏）设k1，f(x)=k(x-1)(xR) . 在平面直角坐标系xOy中，函数y=f(x)的图象与x轴交于A点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y轴交于B点，并且这两个函数的图象交于P点. 已知四边形OAPB的面积是3，则k等于 ( B )(A)3 (B) (C) (D)3(2004.全国理)已知函数（ B ）AbBbCD4(2004.全国理)函数的反函数是（ B ）Ay=x22x+2(x1)By=x22x+2(x1)Cy=x22x (x1)Dy=x22x (x1)5、（2004.上海理）若函数y=f(x)的图象可由函数y=lg(x+1)的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到,则 f(x)=( A ) (A) 10-x-1. (B) 10x-1. (C) 1-10-x. (D) 1-10x.6、（2004. 上海卷文科)若函数y=f(x)的图象与函数y=lg(x+1)的图象关于直线x-y=0对称,则 f(x)=( A ) (A)10x-1. (B) 1-10x. (C) 1-10-x. (D) 10-x-1.7（2004.湖北理）已知的解析式可取为（ C ）ABCD8（2004. 福建理）已知函数y=log2x的反函数是y=f1(x)，则函数y= f1(1x)的图象是（ B ）9（2004. 福建理）定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x3，5时，f(x)=2|x4|，则（ D ）Af(sin)f(cos1)Cf(cos)f(sin2)10（2004. 重庆理）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：（ C ） A B C D11（2004. 辽宁卷）对于，给出下列四个不等式D 其中成立的是A与B与C与D与12（2004.湖南理）设是函数的反函数，若，则 的值为 （ B ）A1B2C3D13（2004.湖南理）设函数则关于x的方程解的个数为（ C ）A1B2C3D414（2004.湖南理）设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，且则不等式的解集是（ D ）ABCD（二）填空题15（04. 上海春季高考）方程的解_.216（04. 上海春季高考）已知函数，则方程的解_.1 (x0)，17（2004. 福建理）设函数f(x)= a (x=0). 在x=0处连续，则实数a的值为 1/2 .18（2004. 福建理）如图1，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为 2/3 时，其容积最大.19、（2004.上海理）若函数f(x)=a在0,+)上为增函数,则实数a、b的取值范围是 a0且b0 .20、（2004. 人教版理科）设函数 ，则使得的自变量的取值范围为（ ）A、 B、 C、 D、二、错解分析1已知函数的值域。误解（1）（2）错因剖析求函数的定义域不能随意化简函数，一定要确保函数解析式的等价变形，其次求函数的值域一定要考虑到函数的定义域。2已知函数上是增函数，求实数a的取值范围。误解：又综上所述错因剖析本题不需要上有3试比较下面两个问题的差别：（1）若函数的定义域为R，求a的取值范围；（2）若函数的值域为R，求a的取值范围。错解：（2）三、焦点透视考试大纲强调数学科命题，注重“对数学基础知识的考查”，“注重学科的内在联系”。高考数学试题已形成“重基础、出活题、考能力”的格局。因此在第二轮复习中要注重各知识板块进行纵横联系，寻找其共同点，从学科整体意义上建构盘根错节的知识网络，从而使学生明确知识的运用情境及其来龙去脉，使学生对基础知识做到深刻理解、熟练掌握和灵活运用，以致在解决问题的活动中达到“该出手时就出手”。【高考风向标】以解答题的形式综合考查二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、分式函数、分段函数的定义、性质、图象及应用。注重知识板块的综合考查。聚焦一：函数内综合的板块函数的性质和图象相结合的综合板块是我们要关注的重点之一。单调性是复习的重点，指数函数、对数函数具有融合函数性质、指数函数、对数函数的运算、指数函、对数不等式于一体，是一个好载体。例1(苏)、已知函数f(x)的图象与函数。（1）求f(x)的解析式；（2）若且g(x)在区间（0，2）上为减函数，求实数a的取值范围。【思路导引】：对称的问题可以通过图象或求轨迹中坐标转移代入法来求解，单调性可以根据定义或求导的方法。解：（1）设图象上的点，它关于A（0，1）对称的点为P（x、y）在y=f(x)上得： （2）在区间（0，2）上为减函数。法一：由基本不等式法二： 链接题：已知函数f(x)的图像与函数的图像关于点A（0，1）对称：求f(x)的解析式.若求实数a的取值范围.解：（1） （2） 链接题：函数（I）求g(x).（II）如果关于x的不等式解：（1） （2） 例2、设.（1）试求f(x)的反函数f1(x)的解析式及f1(x)的定义域；（2）设求实数k的取值范围。【思路导引】：求函数的解析式及反函数；恒成立的问题利用单调性。解：（1） （2）首先 恒成立 链接题：设a、b、，且定义在区间（b，b）内的函数（1）求实数b的取值范围；（2）讨论函数f(x)的单调性。解：（1）由 （2）链接题：设函数，其中（1）证明f(x)是（a，+）上的减函数；（2）解不等式f(x)1.解：（1） （2） 又 例3、定义在R上的函数（1）求f(x)在1，5上的表达式；（2）若【思路导引】：函数的奇偶性、周期性、求解析式同时存在，可以结合图象来辅助研究。略解：（1）T=4 （2）若f(x)a有解，只要a1即可。聚焦2：抽象函数及最值抽象函数、最值能体现函数整体的性质，综合了函数的单调性、奇偶性、对称性 、周期性、定义域、值域。例4、已知定义域为0，1的函数f(x)同时满足：对于任意，总有f(1)=1若（）试求f(0)的值.（）试求函数f(x)的最大值.（）（理科学生做，文科学生不做）试证明：满足上述条件的函数f(x)对一切实数x，都有【思路导引】：赋值法是常用的方法，根据单调性定义及题中的条件来证明单调性，（3）题中要根据分段来逐步讨论。略解：（1）由 由 （2）任取x1，x2有 （3） 再证链接题：又对于任意x1、x2，有（1）将D用区间表示；（2）求证：f(1)=f(1)=0；（3）解不等式【思路导引】：在（3）中要注意复合函数的定义域在解题中的影响。略解：（1） （2）令x1=x2=1令x1=x2=1（3） f(x)增 得 例5、已知f(x)是定义域为R的奇函数，当.（）求f(x)的解析式；（）是否存在实数a，b（），使f(x)在a，b上的值域为，若存在，求a和b，若不存在，说明理由。【思路导引】：当定义域与值域同时存在时，可根据图象使给定的区间从左到右移动来讨论函数值的变化，此时的分段要细致，不可遗漏。略解：（1） （2）说明：a、b同号链接题：已知在区间1，3上最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)=M(a)N(a).（）求g(a)的解析式；（）讨论g(a)在区间上的单调性；（）在时，证明：g(a)0，求动点P(x, )的轨迹C；（2） 过动点M(a,0)且斜率为1的直线L与轨迹C交于不同的两点A,B，若|AB|2p，求实数a的取值范围。【思路导引】创新题，理解信息题的含义，数形结合来解题。略解：（1）y2=2px (2)-p/23，求点P到直线AA距离的最小值及取得最小值时点P的坐标；（3）命题“若定义在R上的奇函数f(x)的图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，试给予证明，并举出一例；若不正确，试举一反例说明。略解：（1） 的实根。 （2）的方程为x28=0 设 等号当且仅当（3）若y=f（x）为奇函数，则必有f(0)=0，为不动点又必成对出现的共奇数个如：【热点冲刺】（4）函数与方程、不等式网络。例11、已知函数（1）若，试求f(x)的解析式；（2）令的图像在x轴上截得的弦的长度为，且，试确定解：（1） （2）则必有四、思维能力训练（所有题目均选自2004全国各地模拟卷）思维能力训练（一）1若函数的定义域是则该函数的值域是（ ）A、2，4，6B、2，4，8C、1，2，log32D、0,1,log232周长为定值的扇形，它的面积S是它的半径R的函数，则函数的定义域是（ ）A、B、C、D、3将函数的图像C向左平移一个单位后，得到的图像C1，若曲线C1关于原点对称，那么实数的值为（ ）A、1B、1C、0D、34函数f(x)是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若f(x)在-1，0上是减函数，那么f(x)在2，3上是（ ）A、增函数B、减函数C、先增后减的函数D、先减后增的函数5已知函数的最大值为7，最小值为1，则此函数的解析式为（ ）A、B、C、D、6设是奇函数，那么ab的值是_.7已知函数f(x)的图象与的图象关于直线y=x对称，令h(x)=f（1|x|），则关于函数h(x)有下列命题：h(x)的图象关于原点（0，0）对称；h(x)的图象关于y轴对称；h(x)的最小值为0；h(x)在区间（1，0）上单调增。其中正确的命题是_（把正确命题的序号都填上）。8已知f(x)是R上的奇函数，且_。9在函数若a、b、c成等比数列，且f(0)=4，则f(x)有最_值（填“大”或“小”），且该值为_。10已知的反函数是,设点图象上不同的三点。（I）若存在正实数x使成等差数列，试用x表示a；（II）在（I）的条件下，如果实数x是惟一的，求a取值范围。11设函数（1）求f(x)的单调区间；（2）若12已知函数（1）当a=3时，求函数F(x)的定义域；（2）当上的最小值t(a)，并求出当t(a)=0时对应的实数a的值。思维能力训练（二）1.若函数满足且时，的图象的交点的个数为（ ）A、3B、4C、6D、82已知的大小关系可能是（ ）A、abB、abC、abD、ab3设函数y=f(x)的图象与x轴交于A点，它的反函数的图象与y轴交于B点，并且这两个函数的图象交于P点，已知四边形OAPB的面积是3，则k等于（ ）A、3B、C、D、4定义运算（ ）A、（0，1）B、（，1）C、D、5已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数上为奇函数，则f(1)f(4)=_.6关于函数，有以下命题：函数y=f(x)的图象关于y轴对称；当x0时f(x)是增函数，当x