复习高一数学三角与向量

专题复习 高一数学三角与向量1设的内角成等差数列，且满足条件,试判断的形状，并证明你的结论.解： ， . 由 , 得即 ， 又 , , 为等边三角形. 2已知求及的值.答案： ，；3已知 化简； 若，且，求的值解：（难度系数0.64）化简 ；因为，所以，所以若，所以，即，所以.4已知：.解：左= 2分 4分 6分 8分 10分 12分5在ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，且满足（1）求角A的度数；（2）若解：（1）由 即4分得2分；1分（2）由余弦定理有 ，3分解得 联立方程组2分6设（1）求f(x)的周期（2）当时，求f(x)的最小值及相应的x值。解：（1）f(x)的周期是(6)（2）当当(12)7已知向量，.（）当时，求|的值；（）求函数（）的值域.答案（）； （）.89在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2-c2=ac-bc,求A的大小及的值.解：(1)a、b、c成等比数列，b2=ac. 2分 又a2-c2=ac-bc, b2+c2-a2=bc. 4分 在ABC中，由余弦定理得 cosA=.A=60. 6分 (2)在ABC中，由正弦定理得sinB=8分 b2=ac,A=60，.12分10已知向量=（sinB，1cosB)，且与向量（2，0）所成角为，其中A, B, C是ABC的内角 （1）求角的大小； （2）求sinA+sinC的取值范围解：（1）=（sinB，1-cosB) , 且与向量（2，0）所成角为3tan 6（2）：由（1）可得810当且仅当1211已知向量，（）当，且时，求的值； （）当，且时，求的值解：（）当时， 由， 得， 3分上式两边平方得，因此， 6分（）当时，由得 即 9分，或 12分 12已知，将的图象按向量平移后，图象关于直线对称（）求实数的值，并求取得最大值时的集合；（）求的单调递增区间解：（），将的图象按向量平移后的解析式为3分的图象关于直线对称，有，即，解得 5分则 6分当，即时，取得最大值27分因此，取得最大值时的集合是8分（）由，解得因此，的单调递增区间是12分13已知向量向量与向量夹角为，且. （1）求向量； （2）若向量与向量=（1，0）的夹角为，求|2+|的值.解：（1）设，有 2分由夹角为，有.4分由解得 即或6分 （2）由垂直知7分10分12分14已知、是两个不共线的向量，且=（4cos，3sin）, =（3cos，4sin） （）求证：+与垂直；（）若（），=，且|+| = ，求sin.解：（1）=（4cos，3sin）， =（3cos，4sin）| = | = 5 （2分）又（+）（）=22=|2|2 = 2 （+）（） （5分） （2）|+|2 =（+）2 = |2 +|2 +2= 50 + 2= （7分）又= 12（cos）= （9分） 0 sin（）= （10分） sin = sin（）cos = （12分）15已知f(x)=2sin(x+)cos (x+)+2cos2(x+)求f(x)的最小正周期若0求使f(x)为偶函数的的值。在条件下，求满足f(x)=1, x的x的集合。解：f(x)=sin(2x+)+2cos2 (x+1)=sin (2x+)+cos (2x+)=2cos (2x+)（3分）（或f(x)=2sin(2x+)）f(x)的最小正周期为4分f(x)=cos (2x+)=cos2x()=cos2xcos ()+sin2xsin()f(x)=cos(2x+()=cos2xcos()sin2xsin()（6分）f(x)是偶函数，f(x)=f(x)即sin2xsin()=0，sin()=00，()=0，=（8分）由f(x)=1得2cos2x=1，cos2x=（10分）x，x=或x=所以x的集合是，（12分）16已知函数的周期为（1）求的值.（2）设ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，求此时函数f(x)的值域.解：（1）3分 由函数的周期5分 函数的表达式为6分 （2）由题意，得8分 又 9分 10分即函数的值域为1，.12分17已知向量, ,记函数已知的周期为.（1）求正数之值（2）当x表示ABC的内角B的度数，且ABC三内角A、B、C满足sin,试求：f(x)的值域. 【解】（1） =因（2）由（1）得, 由又 18已知函数（其中A，B，为实常数，且）的最小正周期为2，并且当时，的最大值为2.求函数的表达式；在区间上函数存在对称轴，求此对称轴方程.解：（1）T=,=,又x=时，y=Asin+Bcos=A+B又f(x)=Asinx+Bcosx,则有=2 ，A+B =2 由、解得A=,B=1,所以f(x)= sinx+cosx=2sin(x+) 6分(2)令f(x)=0,则有x+=k+,kZ,则x=k+,kZ k+,即k,又kZ, 则k=5所以，所求方程为x= 12分19设a、b是两个不共线的非零向量(tR). (1)若a与b起点相同，t为何值时，a、tb、(ab)三向量的终点在一直线上？ (2)若|a|=|b|且a与b夹角为60，那么t为何值时，|atb|的值最小？ 解：(1)由题意可设a-tb=ma-(a+b)(mR)， 化简得(-1)a=(-t)b.2分 a与b不共线， t=时，a、tb、(a+b)终点在一直线上.6分 (2)|a-tb|2=(a-tb)2=|a|2+t2|b|-2t|a| |b|cos60=(1+t2-t)|a|2，9分 t=时，|a-tb|有最小值|a|.12分20如图，已知ABC的三边分别为a、b、c，A为圆心，直径PQ=2r，问P、Q在什么位置时，有最大值？解： =-r2+ =.5分 设BAC=,PA的延长线与BC的延长线交于D，PDB=, 则=bccos-r2+racos. a、b、c、r均为定值，只需cos=1，即APBC时，有最大值.12分21非等边三角形ABC的外接圆半径为2，最长的边BC=2，求sinB+sinC的取值范围.解：由正弦定理=2R.得sinA=. BC是最长边，且三角形为非等边三角形， A=.4分 sinB+sinC=sinB+sin(-B) =sinB+cosB =sin(B+).8分 又0B，B+.10分 sin(B+)1. 故sinB+sinC的取值范围为(，1).12分 22已知ABC中，A、B、C分别是三个内角，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知2（sin2A-sin2C）=(a-b)sinB,ABC的外接圆的半径为，（1）求角C（2）求ABC面积S的最大值解：（1）2（sin2A-sin2C）=(a-b)sinB,又2R=2，由正弦定理得：2=(a-b),a2-c2=ab-b2, a2+b2-c2=ab结合余弦定理得:2ab cosC=ab,cosC=又0C,C= (6分)(2)法一：S=ab sinC=ab sin=2RsinA2RsinB=2sinA sinB= -cos(A+B)-cos(A-B)A+B=S=+cos(A-B)故当cos(A-B)=1,即A=B=时Smax=+=3 （12分）法二：S=ab sinC=ab sin=2R sinA2R sinB=2sinA sinB=2si