411 圆的标准方程教案

411 圆的标准方程教案 第四章圆与方程41圆的方程411圆的标准方程学法分析在初中所学圆的知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究圆的方程，以及它与其他图形的位置关系及其应用知识链接由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性，对圆的标准方程要求层次是“掌握”，为了激发学生的主体意识，教学生学会学习和学会创造，同时培养学生的应用意识，本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计，将教学内容设计为若干问题，从而引导学生进行探究，教师在教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机的结合起来教师的每项教学措施，都是给学生创造一种思维情境，一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会，激发学生的求知欲，促使学生解决问题教学目标1使学生掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程，能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力2会用待定系数法求圆的标准方程，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，形成代数方法处理几何问题的能力，从而激发学生学习数学的热情和兴趣，培养学生分析、概括的思维能力3理解掌握圆的切线的求法包括已知切点求切线，从圆外一点引切线，已知切线斜率求切线等把握运动变化原则，培养学生树立相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点，欣赏和体验圆的对称性，感受数学美重点难点教学重点圆的标准方程的推导过程，明确圆的标准方程特点教学难点会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程课时安排1课时教学过程导入新课同学们，我们知道直线可以用一个方程表示，这是解析几何的重要功能，实现了数学与形的结合与转化，可以在坐标系中运用方程从代数的角度精确地研究与直线有关的问题，能说说你掌握的知识与方法吗?在坐标系中，可以将圆用一个方程表示吗？首先思考，如果在坐标系中画一个圆，你认为哪些条件决定了这个圆的几何特征?新知探究提出问题已知两点A(2，-5)，B(6，9)，如何求它们之间的距离?若已知C(3，-8)，D(x，y)，又如何求它们之间的距离?具有什么性质的点的轨迹称为圆？也就是圆的定义是什么？图1中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？图1我们知道，在平面直角坐标系中，确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角，那么，决定圆的条件是什么?如果已知圆心坐标为C(a，b)，圆的半径为r，我们如何写出圆的方程?圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？22讨论结果根据两点之间的距离公式(x1?x2)?(y1?y2)，得22|AB|=(2?6)?(9?5)?212，|CD|=(x?3)2?(y?8)2平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径(教师在黑板上画一个圆)圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小确定圆的条件是圆心和半径，只要圆心和半径确定了，那么圆的位置和大小就确定了确定圆的基本条件是圆心和半径，设圆的圆心坐标为C(a，b)，半径为r(其中a、b、r都是常数，r0)设M(x，y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P=M|MA|=r，由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件(x?a)2?(y?b)2=r将上式两边平方得(x-a)2+(y-b)2=r2化简可得(x-a)2+(y-b)2=r2若点M(x，y)在圆上，由上述讨论可知，点M的坐标满足方程，反之若点M的坐标满足方程，这就说明点M与圆心C的距离为r，即点M在圆心为C的圆上方程就是圆心为C(a，b)，半径长为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径当圆心在原点即C(0，0)时，方程为x2+y2=r2提出问题根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么?确定圆的方程的方法和步骤是什么?坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断?讨论结果圆的标准方程(xa)2(yb)2=r2中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r且r0，这时圆的方程就被确定，因此确定圆的标准方程，需三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心(a，b)和半径r，一般步骤为1根据题意，设所求的圆的标准方程(xa)2(yb)2=r2；2根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；3解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程点M(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的关系的判断方法当点M(x0，y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时，点M的坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2当点M(x0，y0)不在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时，点M的坐标不满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为:1点到圆心的距离大于半径，点在圆外?(x0-a)2+(y0-b)2r2，点在圆外;2点到圆心的距离等于半径，点在圆上?(x0-a)2+(y0-b)2=r2，点在圆上;3点到圆心的距离小于半径，点在圆内?(x0-a)2+(y0-b)2r2，点在圆内应用示例例1写出下列各圆的标准方程 (1)圆心在原点，半径是3；圆心在点C(3，4)，半径是5; (3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)； (4)圆心在点C(1，3)，并且和直线3x-4y-7=0相切解: (1)由于圆心在原点，半径是3，所以圆的标准方程为(x-0)2+(y-0)2=32，即x2+y2=9 (2)由于圆心在点C(3，4)，半径是5，所以圆的标准方程是(x-3)2+(y-4)2= (5)2，即(x-3)2+(y-4)2=5 (3)方法一:圆的半径r=|CP|=(5?8)2?(1?3)2?25=5，因此所求圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25方法二:设圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=r2，因为圆经过点P(5，1)，所以(5-8)2+(1+3)2=r2，r2=25，因此所求圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25这里方法一是直接法，方法二是间接法，它需要确定有关参数来确定圆的标准方程，两种方法都可，要视问题的方便而定 (4)设圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=r2，由圆心到直线的距离等于圆的半径，所以r=|3?12?7|25?|16|25因此所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=25625点评要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程例2(教材例1)写出圆心为A(2，-3)，半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5，-7)，M2(-5，-1)是否在这个圆上解:圆心为A(2，-3)，半径长等于5的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25，把点M1(5，-7)，M2(-5，-1)分别代入方程(x-2)2+(y+3)2=25，则M1的坐标满足方程，M1在圆上M2的坐标不满足方程，M2不在圆上点评:本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程，然后给一个点，判断该点与圆的关系，这里体现了坐标法的思想，根据圆的坐标及半径写方程从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上从代数到几何例3(教材例2)ABC的三个顶点的坐标是A(5，1)，B(7，-3)，C(2，-8)，求它的外接圆的方程活动教师引导学生从圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2入手，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数另外可利用直线AB与AC的交点确定圆心，从而得半径，圆的方程可求，师生总结、归纳、提炼方法解法一:设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，因为A(5，1)，B(7，-3)，C(2，-8)都在圆上，它们的坐标都满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2，于是?(5?a)2?(1?b)2?r2,?222?(7?a)?(?3?b)?r?(2?a)2?(?8?b)2?r2.? (1) (2) (3)?a?2,?解此方程组得?b?3,所以ABC的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25?r?5.?解法二:线段AB的中点坐标为(6，-1)，斜率为-2，所以线段AB的垂直平分线的方程为y+1=1(x-6)2同理线段AC的中点坐标为(35，-35)，斜率为3，所以线段AC的垂直平分线的方程为y+3.5=3(x-3.5)22解由组成的方程组得x=2，y=-3，所以圆心坐标为(2，-3)，半径r=(5?2)?(1?3)=5，所以ABC的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25点评:ABC外接圆的圆心是ABC的外心，它是ABC三边的垂直平分线的交点，它到三顶点的距离相等，就是圆的半径，利用这些几何知识，可丰富解题思路例4教材练习3.知能训练课本例3，本节练习 1、 2、4。 课堂小结圆的标准方程点与圆的位置关系的判断方法根据已知条件求圆的标准方程的方法利用圆的平面几何的知识构建方程直径端点是A(x1，y1)、B(x2，y2)的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0作业1复习初中有关点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系有关内容2预习有关圆的一般方程3课本习题41A组第 2、 3、4题目标上的部分习题。 备课资料1求圆心在直线y=2x上且与两直线3x+4y-7=0和3x+4y+3=0都相切的圆的方程活动:学生思考交流，教师提示引导，求圆的方程，无非就是确定圆的圆心和半径，师生共同探讨解题方法解:首先两平行线的距离d=C1?C2A2?B2=2，所以半径为r=d=12方法一设与两直线3x+4y-7=0和3x+4y+3=0的距离相等的直线方程为3x+4y+k=0，由平行线间的距离公式d=|C1?C2|A?B22，得|k?7|3?422?|k?3|4?322，即k=-2，所以直线方程为2?x?,?3x?4y?2?0,?113x+4y-2=0解3x+4y-2=0与y=2x组成的方程组?得?，因此圆心4y?2x,?y?,?11?坐标为(2424，)又半径为r=1，所以所求圆的方程为(x-)2+(y-)2=11111111114?6?y?,y?,?3x?4y?7?0,?3x?4y?3?0,?11?11与?得?和?方法二解方程组?因此圆心y?2x,y?2x,73?x?x?.?11?11?坐标为(2424，)又半径r=1，所以所求圆的方程为(x-)2+(y-)2=111111111点评:要充分考虑各几何元素间的位置关系，把它转化为代数问题来处理例1图2是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度(精确到001m)图2解:建立坐标系如图，圆心在y轴上，由题意得P(0，4)，B(10，0)设圆的方程为x2+(y-b)2=r2，因为点P(0，4)和B(10，0)在圆上，222?b?10.5,?0?(4?b)?r,所以?2解得?2222?r?14.5,?10?(0?b)?r.所以这个圆的方程是x2+(y+105)2=1452设点P2(-2，y0)，由题意y00，代入圆方程得(-2)2+(y0+105)2=1452，解得y0=14.52?22-1051436-105=386(m)答支柱A2P2的长度约为386m例2求与圆x2+y2-2x=0外切，且与直线x+3y=0相切于点(3，-3)的圆的方程活动:学生审题，注意题目的特点，教师引导学生利用本节知识和初中学过的几何知识解题首先利用配方法，把已知圆的方程写成标准方程，再利用两圆外切及直线与圆相切建立方程组，求出参数，得到所求的圆的方程解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2圆x2+y2-2x=0的圆心为(1，0)，半径为1因为两圆外切，所以圆心距等于两圆半径之和，即(a?1)2?(b?0)2=r+1，由圆与直线x+3y=0相切于点(3，-3)，得?b?31?(?)?1,?3?a?3?|a?3b|?r.?1? (3)2? (2) (3)解得a=4，b=0，r=2或a=0，b=-43，r=6故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+43)2=36点评:一般情况下，如果已知圆心(或易于求出)或圆心到某一直线的距离(或易于求出)，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，求出圆心坐标和半径变式训练:一圆过原点O和点P(1，3)，圆心在直线y=x+2上，求此圆的方程解法一因为圆心在直线y=x+2上，所以设圆心坐标为(a，a+2)则圆的方程为(x-a)2+(y-a-2)2=r2因为点O(0，0)和P(1，3)在圆上，1?a?,?(0?a)?(0?a?2)?r,4所以?解得?222?r2?25.?(1?a)?(3?a?2)?r,?8?222所以所求的圆的方程为(x+12725)+(y-)2=44813，)，22解法二由题意圆的弦OP的斜率为3，中点坐标为(所以弦OP的垂直平分线方程为y-131=-(x-)，即x+3y-5=0223因为圆心在直线y=x+2上，且圆心在弦OP的垂直平分线上，1?x?,?y?x?2,17?4所以由?解得?，即圆心坐标为C(-，)44?x?3y?5?0,?y?7,?4?又因为圆的半径r=|OC|=(?)?()?所以所求的圆的方程为(x+14274225，812725)+(y-)2=448点评: (1)圆的标准方程中有a、b、r三个量，要求圆的标准方程即要求a、b、r三个量，有时可用待定系数法 (2)要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用例3求下列圆的方程: (1)圆心在直线y=-2x上且与直线y=1-x相切于点(2，-1) (2)圆心在点(2，-1)，且截直线y=x-1所得弦长为22解: (1)设圆心坐标为(a，-2a)，由题意知圆与直线y=1-x相切于点(2，-1)，所以|a?2a?1|12?12?(a?2)2?(?2a?1)2，解得a=1所以所求圆心坐标为(1，-2)，半径22r=(1?2)?(?2?1)=2所以所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=2 (2)设圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=r2(r0)，由题意知圆心到直线y=x-1的距离为d=|2?1?1|12?12=2又直线y=x-1被圆截得弦长为22，所以由弦长公式得r2-d2=2，即r=2所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=4点