25函数最值与综合教案

25函数最值与综合教案 一、考试要求25函数最值与综合1.会求函数的最值2.运用函数思想理解和处理实际问题。 二、考题聚焦1.求函数最值的常用方法。 2.灵活应用函数与方程、不等式、三角等相结合解决函数综合问题。 三、解题指导1.求函数最值与值域常用方法相同。 积累常见函数值域模型。 (对勾)2.利用函数的特性（单调性、奇偶性、对称性、周期性）来解决问题。 . 四、典型例题例1 （1）.（xx湖南8，53P543）设函数y?f(x)在(?,?)内有定义.对于给定?f(x),f(x)?K,?x的正数K，定义函数f K(x)?取函数f(x)?2?x?e。 若对任意的?K,f(x)?K.x?(?,?)，恒有f K(x)?f(x)，则【D】AK的最大值为2BK的最小值为2CK的最大值为1DK的最小值为1 （2）.（xx江苏14，53P542）将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪2(梯形的周长）成两块，其中一块是梯形，记S?,则S的最小值是_。 梯形的面积解析考查函数中的建模应用，等价转化思想。 一题多解。 22(3?x)4(3?x)设剪成的小正三角形的边长为x，则S?(0?x?1)21331?x?(x?1)?(1?x)22（方法一）利用导数求函数最小值。 4(3?x)24(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x)，S?(x)?S(x)?222(1?x)31?x34(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x)4?2(3x?1)(x?3)?2222(1?x)(1?x)33-1-1S?(x)?0,0?x?1,x?，311当x?(0,时，S?(x)?0,递减；当x?,1)时，S?(x)?0,递增；33故当x?1323时，S的最小值是。 33（方法二）利用函数的方法求最小值。 4t241111?2?令3?x?t,t?(2,3),?(,)，则S?86t32?t?6t?833?1t2t故当?1t31323,x?时，S的最小值是。 833【测与试】 （1）函数y?cos2x?3cosx?2的最小值为（）A2B0C?1D64分析可借助二次函数的性质求解解令cosx?t(?1?t?1)，则f(t)?t2?3t?2(?1?t?1)，函数f(t)的对称轴t?3，利用图像（如图）可知，当t?1,1时，f(t)为减函数，2故当t?1时，函数f(t)有最小值为f (1)?0故选B另外，对本题也可用配方法求解因为y?(cosx?)?32213，当cosx?的绝对值最小，即cos x?1时，函数有最42-2-小值y?(1?)?3221?0故选B4小结换元法、数形结合的方法、配方法是数学解题中常用的方法 （2）f(x)?2cos2x?3sin2x?a（a为实常数）在区间0,么a的值等于（）A.4B.?6解C.?4析?2上的最小值为4，那D.?3f(?2?c x x)?a?1?=2cos(2x?)o62xxx?0,?2，2x?7?,666f(x)的最小值为2?(?1)?a?1?a.a?4选（C）在 (1)的基础上加上向量,可变为:3.正数x,y满足值。 解令则x?y?a b?1，其中a,b为不相等的正常数，求x?y的最小x yau bv?,?,u,v?0x u?v yu?va(u?v)b(u?v)av bu?a?b?a?b?2ab?u vu vavbu当且仅当?，即av?bu时上式取等号.故?x?y?min?u v?a?b?a?b?221?x2?14.求函数f?x?的最小值。 x?2解:令1?x2?y,则f?x?g?x,y?-3-y?1且x2?y2?1?y?0?，于是问题x?2转化为:当点P?x,y?在上半个单位圆x2?y2?1?y?0?上运动时,求A?2,?1?与P?x,y?的连线AP的斜率的最值(如图).显然,当点P与点B?1,0?重合时,直线AP的斜率最小,此时K AB?1.当直线AP与上半个单位3圆x2?y2?1?y?0?相切时,直线AP的斜率最大.设KAP?K,则直线AP的方程为y?1?K?x?2?直线AP与上半个单位圆x2?y2?1?y?0?相切?d OP?2K?1K2?1?2?1解得K?0(舍去)或K?43综上可得,直线AP的斜率的最值为:K min?K AB?14?f x?f x?，?min3?max314，K max?K AP?335.函数f?x?x4?3x2?6x?13?x4?x2?1的最大值是_。 解将函数式变形,得f?x?(x?3)2?(x2?2)2?(x?0)2?(x2?1)2可知函数y?f?x?的几何意义是在抛物线y?x2上的点P?x,x2?分别到点A?3,2?和点B?0,1?的距离之差,现求其最大值.由PA?PB?AB知，当P在AB的延长线上P处时，f?x?取得最大值AB?f?x?max?AB?3?0?2?1?10-4-22校校校班班班级试试试号考考考例21.（xx全国110，53P571）已知函数f(x)?|lgx|,若0 10、若f(x)是R上的增函数，且f(?1)?4，f (2)?2，设（B）-2，0（C）0，2（D）2，4P?x|f(x?1)?1|?3，Q?x|f(x)?4，若“x?P”是“x?Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是D A、t?1B、t?1C、t?3D、t?32.（上海市第一联考） 16、给出下列命题奇函数的图象必过原点y?f?x?与它的反函数y?flog x?lgx?2(x?1)方程3?A、x?1(x)的图象若相交，则交点必在y?x上10x?2?0没有负数根，其中正确的命题为（D）x?1B、C、D、3.（启东中学模拟）16给出下列四个命题函数f(x)?xx?bx?c为奇函数的充要条件是c=0；函数y?2(x?0)的反函数是y?log2x(0?x?1)；2若函数f(x)?lg(x?ax?a)的值域是R，则a?4或a?0；?x若函数y?f(x?1)是奇函数，则函数y?f(x)的图象关于点（1，0）对称。 其中所有正确命题的序号是.答解析f(x)?f?x?对一切x均成立，等价于c=0，正确；当x?0时，0?2?1，所以反函数的定义域为0?x?1，易得正确；由真数的0，解得a?4或a?0，正确；因为函数y?f(x?1)是奇函数，y?f(x?1)的图象-5-?x关于（0，0）对称，把y?f(x?1)的图象向左平移1个单位，得函数y?f(x)的图象关于点（1，0）对称 五、总结 六、作业?1.已知向量a?(cos?,sin?)，向量b?(3,?1)，则a?b的最大值是_；|2ab|的最大值是_?解析a?b?3cos?sin?=?2sin(x?).a?b的最大值为2.6?2ab=(2cos?3,2sin?1),?22（?）|2ab|=(2cos?3)?(2sin?1)=8?8sin43?|2ab|的最大值为4把这些基本题型串完后，就可以练习一些基本题，进行巩固和深化了。 2.(1990,高考理工科试题)求函数v?sinucosu?sinu?cosu的最大值。 解:令cosu?x,sin u?y,则v?xy?x?y,且x2?y2?1.则问题转化为:当点?x,y?在单位圆x2?y2?1上运动时,求双曲线族xy?x?y?v?0(视v为常数)在y轴上的截距v的最大值.当v?1时,由方程xy?x?y?v?0得x?y?v?x?v,y?x?1y?1由此可知:当y?1时,x