高考★圆锥曲线★的基本公式推导(学长整合版).doc

圆锥曲线的几大大题特征公式：焦半径、准线、弦长、切线方程、弦中点公式、极线方程/*另外，针对“计算不好”的同学，本人提供“硬解定理”供大家无脑使用。具体的请参考本目录下的【硬解定理的推导和使用】文章。*/圆锥 曲线 的切 线 方程 在 历年高考题中出现，但是在高中教材及资料都涉及较少。本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。【基础知识1：切线方程、极线方程】【1-0】公式小结：x2换成xx0，y2换成yy0，x换成(x+x0)/2,y换成(y+y0)/2.【1-1】 椭圆的切线方程 ：椭圆 上一点处的切线方程是 。过椭圆 外一点所引两条切线的切点弦方程是 。椭圆与直线相切的条件是(也就是下篇文档所讲的硬解定理公式=0的充要条件)【1-2】双曲线的切线方程：双曲线上一点处的切线方程是 。过椭圆 外一点所引两条切线的切点弦方程是 。椭圆与直线相切的条件是【1-3】抛物线的切线方程： 物线 上一点处的切线方程是 过抛物线 外一点 处所引两条切线是抛物线 与直线相切的条件是【1-4】 基础知识的证明：【公式一：曲线C上切点公式证明】1、第1种证明思路：过曲线上一点的切线方程设曲线C上某一点处 的 切 线 方 程 为, 联立方程，令,得到的表达式，再代入原始式，最后得切线方程式（注: 的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下）2、第2种证明思路：点差法(求斜率，其余跟第一种方法一样)证明：设某直线与曲线C交于M、N两点坐标分别为、，中点P则有 ，得 又 (弦中点公式的椭圆基本表达式。双曲线则是)当M、N无限趋近时，P在椭圆C上。即得切线斜率3、第三种证明思路(注意：仅供理解，考试使用可能分证明：由2（圆锥曲线切线证明）（同一目录下文章）可知圆上一点的切线方程。附言：第1种证明思路中，抛物线证明过程中稍微有些不同。切线斜率可用导数表示。得到式子后，要利用把消去。【公式二：曲线外一点引切线，过切点作直线的通式证明】(称为极线方程)证明思路：过作两条曲线C的切线，切点为A，B。所以过A、B两点直线方程为证明(就举椭圆为例)解：过作两条曲线C的切线，切点为A，B。过A点切线: ，过B点切线：。过A、B两点直线方程为【公式三：由公式一的思路可得】【基础知识2：焦半径与准线】(具体关系与内容省略，详情看圆锥曲线知识表格)【1-0】【1-1】焦半径公式(具体推导用“两点间距离公式”也可解决，之后类似“求长度”的题型，求长度式子写“两点间举例公式”，结果可以直接靠背。对于焦半径PF，口诀：椭圆F左加右减。(记忆：大则在前) 双曲线F左加右减，双曲线上点P左减右加。焦半径与点到准线距离关系如下。即()/e=推广应用:通过比例e的值 的值 的值巧用公式(注：双曲线交于同侧、抛物线类似)不过需要注意的是，双曲线交于异侧时，公式就变为，具体自己推导吧【基础知识3：弦中点公式及系列类似结论拓展】(坐标变幻只能用于证明部分内容)【结论一：弦中点公式】【证明】：设某直线与曲线C交于M、N两点坐标分别为、，中点P则有 ，得 又 (常用)结论：斜率不变的直线与椭圆交于两点，所得两点中点的轨迹是一条过原点的直线。【抽象理解型证明】具体理解，可以用“坐标系变幻理解”证明：设某斜率为定值k的直线与曲线C交于M、N两点坐标分别为、，中点P，令。变幻后， ，得到中点轨迹方程始终与MN垂直【结论二：顶点连线斜率乘积公式】(用坐标变幻好理解)(部分设元会用它比较方便),具体证明见下面的“拓展性证明”,若要抽象理解的话坐标变幻后两个垂直，证明方法和上面一样。至于双曲线，则是。结论可以直接背，不过引用的时候还得按照下面的方法老实推导。【结论三：（上一结论的延伸）对