等可能事件的概率计算

随机事件的概率 等可能事件的概率 一 必然事件 不可能性事件 随机事件 复习回顾 1 在一定的条件下必然要发生的事件 叫必然事件 2 在一定的条件下不可能发生的事件 叫不可能事件 3 在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件 叫随机事件 二 随机事件的概率 三 概率的性质 在大量重复进行同一试验时 事件A发生的频率总是接近于某个常数 在它附近摆动 这时就把这个常数叫做事件A的概率 记作P A 等可能性事件的概率 随机事件的概率 一般可以通过大量重复试验求得其近似值 但对于某些随机事件 也可以不通过重复试验 而只通过对一次试验中可能出现的结果分析来计算其概率 例如 掷一枚均匀的硬币 可能出现的结果有 正面向上 反面向上这2种 由于硬币是均匀的 可以认为出现这2种结果的可能性是相等的 即可以认为出现 正面向上 的概率是2分之一 出现 反面向上 的概率也是2分之一 这与大量重复试验的结果是一致的 又如抛掷一个骰子 它落地时向上的数的可能是1 2 3 4 5 6之一 即可能出现的结果有6种 由于骰子是均匀的 可以认为这6种结果出现的可能性都相等 即出现每一种结果的概率都是6分之一 这种分析与大量重复试验的结果也是一致的 由于向上的数是3 6这2种情形之一出现时 向上的数是3的倍数 这一事件 记作事件A 发生 因此事件A的概率P A 现在进一步问 骰子落地时向上的数是3的倍数的概率是多少 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件 基本事件 通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成 如果一次试验中可能出现的结果有n个 即此试验由n个基本事件组成 而且所有结果出现的可能性都相等 那么每一个基本事件的概率都是 如果某个事件A包含的结果有m个 那么事件A的概率P A 例如 现有10个大小相同编号不同的球 其中红色球6个 黄色球3个 蓝色球1个 从中任取1个 取到每一个球的可能性是相等的 由于是从10个球中任取1个 共有10种等可能的结果 又由于其中有6个红色球 从这10个球中取到红色球的结果有6种 因此 取到红色球的概率是 即 同理 取到黄色球的概率 取到蓝色球的概率是 等可能事件概率的计算方法 基本事件 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件 如抛掷硬币的试验中 由2个基本事件组成 抛掷一个均匀的正方体玩具试验中 由6个基本事件组成 如果一次试验由n个基本事件组成 而且所有的基本事件出现的可能性都相等 那么每一个基本事件的概率都是1 n 如果一次试验中共有n种基本事件 而且所有的基本事件出现的可能性都相等 其中事件A包含的结果有m种 那么事件A的概率P A m n m n 在一次试验中 等可能出现的n个结果组成一个集合I 包含m个结果的事件A对应于I的含有m个元素的子集A 则 例3 一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球 从中摸出2个球 1 共有多少种不同结果 2 摸出2个黑球有多少种不同结果 3 摸出2个黑球的概率是多少 解 1 从装有4个球的口袋内摸出2个球 共有种不同的结果 2 从3个黑球摸出2个球 共有种不同结果 3 由于口袋内4个球大小相等 从中摸出2个球的6种结果是等可能的 所以从中摸出2个黑球的概率是 白黑1 白黑2 白黑3 黑1黑2 黑1黑3 黑2黑3 答 共有6种不同的结果 答 从口袋内摸出2个黑球有3种不同的结果 答 从口袋内摸出2个黑球的概率是1 2 例4 将骰子先后抛掷2次 计算 解 1 将骰子抛掷1次 落地出现的结果有1 2 3 4 5 6 这6种情况 先后掷2次共有6 6 36 向上的数之和是5的概率是多少 其中向上的数之和是5的结果有多少种 一共有多少种不同的结果 第二次抛掷后向上的数 第一次抛掷后向上的数 答 抛掷玩具2次 向上的数之和为5的概率是1 9 3 由于正方体玩具是均匀的 所以36种结果是等可能出现的 记 向上的数之和是5 为A事件 则 2 其和为5共有2种组合1和4 2和3 组合结果为 1 4 4 1 2 3 3 2 共4种 1一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数1 2 3 4 5 6 将这个玩具先后抛掷3次 计算 1 一共有多少种不同的结果 2 其中向上的数之和是5的结果有多少种 3 向上的数之和是5的概率是多少 解 1 将正方体玩具抛掷一次 它落地时向上的数有6种结果 根据分步计数原理 先后将这种玩具掷3次一共有6 6 6 216种不同的结果 2 在上面所有结果中 向上的数之和为5的结果有 答 在3次抛掷中 向上的数之和为10的概率是 答 先后抛掷正方体玩具3次 一共有216种不同的结果 1 2 2 2 1 2 2 2 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 这6种 3 所求的概率为P B 小结 求随机事件的概率时 首先对于在试验中出现的结果的可能性认为是相等的 其次是通过一个比值的计算来确定随机事件的概率 并不需要通过大量重复试验 因此 从方法上来说这一节所提到的方法 要比上一节所提到方法简便得多