ADAMS软件结构动力学教程教案讲义建模方法1

ADAMS软件结构动力学教程教案讲义建模方法1 第二讲多体力学理论 一、基本概念 二、建模方法 三、求解技术 四、多体力学最新发展 三、求解技术 四、多体力学最新发展 二、建模方法?坐标描述与约束方程1.绝对坐标法（笛卡尔坐标法或参考点坐标法）（Cartesian coordinatesor referencepoint coordinates）2.自然坐标法（完全笛卡尔坐标法）(natural coordinatesor fullcoordinates)多体系统动力学方程1.动力学方程的三种基本形式2.第二类Lagrange方程3.第一类Lagrange方程（Lagrange乘子法）4.多体系统动力学方程(DAE)的形成1.绝对坐标法?又称为笛卡尔坐标法或参考点坐标法（Cartesian coordinatesor referencepoint coordinates）?在每个刚体上都有一个固连的坐标标架，该点在惯性坐标系下的位置以及该坐标标架的方位表示该刚体的位姿。 ?连体坐标系相对于全局坐标系的方位可用方向余弦矩阵表示，也可用欧拉参数或者欧拉角?描述方法利用矢量的代数表达xyozrPrPsPoyxxzyz矢量及其代数描述矢量是指空间内从一个点到另一个点的有向线段，即具有大小也具有方向，其大小称为模，以a?表示。 a?b?a b+?a?b?a b?ia?b?a b?b a?（b）矢量的和(c)矢量的点积(d)矢量的叉积a?1e?2e?3e?xayaza（a）矢量的表示三个正交的单位矢量123,e e e?构成一个矢量空间，称为矢量基或者坐标系，三个正交的矢量称为矢量基的基矢量或者坐标，它们具有下列性质e ee e e=i其中()()()1,1,2,30?=?=?()()()()123?+1,?=?1,=?0?其他符合右手定理符合左手定理，称为克罗内克（Kronecker）符号，满足上述条件的矢量基的基矢量构成了坐标列阵123Te e e e=矢量及其代数描述矢量可以表示坐标列阵的代数矢量形式123x y za ae ae ae=+?矢量a?由基矢量123,e e e?唯一确定，在基矢量上的分量分别为,x y za a a。 用矩阵符号表示矢量a?为,xTy x y zzaa a a a aa?=?定义代数矢量a的相关反对称矩阵a?为0,0,0z yz xy xa aa a aa a?=?矢量的代数运算点积设矢量,Tx yza a a a?=?，,Tx yzb b b b?=?则代数矢量的点积为Tx x y yz za b a b a b a b a b=+=?i叉积同样设,Tx yza a a a?=?，,Tx yzb b bb?=?,则代数矢量的叉积为yzz yzx xzx yy xab a ba b ab ab aba b ab?=?矢量及其代数描述矢量与矩阵的微分矢量()a t?的代数矢量形式为()()()(),Tx yza ta ta ta t?=?则矢量()a t?对时间的导数为()()()()()()()(),TTx yzx y zd d dda ta ta ta ta ta ta ta tdt dtdtdt?=?矩阵的微分设12,.,Tnq q q q=为一个n维的实变量矢量，()a q是q的标量可微函数，而()()()()12,.,Tmq q q q=?为q的可微函数的m维矢量，则()a q与()q的微分分别为()()()()()()1jnijm naq aq daqdq q qq qdqdq q q?=?=?上式中i为行标记，j为列标记。 可以看出，一个标量函数对变量矢量的微分等于由标量分别对矢量的矢量基的微分组成的行矩阵。 而由变量组成的列矢量对变量矢量的微分等于矩阵，该矩阵是由组成列矢量的标量微分行矩阵组成欧拉定理与转动变换矩阵?刚体运动随基点的平动、绕基点的转动?定点转动与定轴转动区别瞬时转动轴?有限转动当转角为非无限小量?欧拉定理刚体绕定点的任意有限转动可由绕此点的某根轴的一次有限转动实现。 旋转变换矩阵主动旋转变换矩阵2sin)(2sin)(2sin) (2)(2sin2sin)(sin2sin2cossin sinsin)(222122122121r e e r e r rr e ear eea br er erea ba a abr erer aabr ebree bbb rrrr+=?=+=?+=方向方向主动旋转变换矩阵?+=?+=)2sin2cos(sin22sin)(2sin22e I e I Ae eIA下的向量与刚体固连的坐标系为在新坐标系为在原坐标系下的向量)(rrr A r=A为正交阵，为二阶张量主动旋转变换矩阵是指在同一个坐标系下向量r旋转到r的主动变换，而被动主动旋转变换矩阵是指在同一个坐标系下向量r旋转到r的主动变换，而被动旋转变换矩阵也是A，但含义不同,是指原来相重合的两坐标系中，其中一个坐标系绕原点的某一根轴转过角达到新位置后，同一个向量在新旧两坐标系下的变换关系。 坐标变换:方向余弦矩阵表达一个矢量由共原点的不同的两个坐标系描述时，两个坐标系存在一定的关系，在此，引用方向余弦矩阵。 对不同的矢量基ae与be，定义如下123123,Ta a a aTbbbbe ee eeeee?=?=?则定义基be关于ae的方向余弦矩阵为33ab abTA ee=i展开为111213111213212223212223313233313233,ababa babababababababe eeee eA A AA A A A eeeeeeA A Ae eeeee?=?可以看出方向余弦矩阵三个列向量矩阵()123,1,2,3Tj j j jA A A A j?=?依次为基be的基矢量()1,2,3bje j=在矢量基ae上的坐标阵；三个行矩阵()123,1,2,3Ti i i iA A A A i=依次为矢量基ae的基矢量()1,2,3aie i=在矢量基be上的坐标阵。 xyozrPrPsPoyxxzyz坐标变换:方向余弦矩阵表达方向余弦矩阵定义为?=333231232221131211,a a aa a aa a ah gf A其中，f、g和h分别为连体坐标系z y x o坐标轴xo、yo和zo的单位矢量。 方向余弦矩阵A为正交矩阵，因此，A中9个变量受6个独立方程的约束，方向余弦矩阵中只存在说明3个转动自由度的独立变量。 如果连体坐标系z yx o和全局坐标系oxyz的原点重合，即0=r，则矢量s?在连体坐标系中的表示形式s和在全局坐标系中的表示形式s存在如下变换关系s A s=更一般的坐标变换式为P Ps A rr+=其中，Pr为点P在坐标系oxyz中的坐标，r为坐标系z yx o原点o在坐标系oxyz中的坐标，Ps为点P在坐标系z yx o中的坐标，A为z yx o相对于oxyz的方向余弦矩阵。 xyozrPrPsPoyxxzyz坐标变换:方向余弦矩阵表达P P P P P PT T TTP PP PPPTTz yxTz yxP PT PP PPP Ps s r s A s A r s A rrA A A A A A AA AAAAA AAA AAAAAAAAA As A r s A r s r rs A sAAs rs AA rs A rsr rs Arsrr+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=?系分量角速度沿刚体固连坐标量角速度沿惯性坐标系分转动变换矩阵:欧拉参数表达根据刚体转动的欧拉定理，确定刚体的方位还可以采用欧拉定理中的转动轴和转动角。 如果坐标系oxyz与坐标系z yx o原点重合，由欧拉定理知可设oxyz绕单位轴矢量u?转动角与z yx o重合，现可由u?和定义一个4欧拉参数组?=?=2sin2cos3210Teppppp欧拉参数用14列向量表示为TTTp p p p p pP,32100=欧拉参数要满足欧拉参数归一化约束123222120=+=p p p pPPT故欧拉参数4个分量中存在3个独立分量，描述物体转动。 欧拉参数p和方向余弦矩阵A都是描述物体方位的参数，它们是等价的，其间存在着变换关系，从欧拉参数到方向余弦矩阵的变换为) (2)12()2sin2cos(2sin2020p p pp Ip eIeI AT+?=+=其中I为33单位矩阵，p为p的反对称矩阵，其表示为?=000121323p pp pp pp坐标变换:欧拉参数表达从方向余弦矩阵到欧拉参数的变换为?=?=?=+=)4/()()4/()()4/()(4/)1(01221303113202332120p a a pp a a pp a a ptrAp上式中，00p，00=p，则由下列式子确定欧拉参数?=+=+=+?+=?+=?+=3223323113312112213323222211214444/)21(4/)21(4/)21(p pa ap pa ap pa atrA a ptrA a ptrA ap式中trA为矩阵A的迹。 坐标变换:欧拉参数表达为研究欧拉参数与角速度之间的关系，定义两个辅助矩阵?=+?0123103223010,p p p pp p p pp p p pIp p p E?=+?0123103223010,p p p pp p p pp p p pIp pp G可得到如下关系式TEG A=TG EA?2=p E?2=p G?2=T TGE p2121?T TGE EGAAA+=p E2=p G2=T TGE p2121对于上述各式中所涉及的角速度和虚转动，并不象欧拉参数的导数或变分一样是可积的，所以在积分用角速度或虚转动表示的运动方程时，不可直接积分，需要利用上述公式将角速度或虚转动变换为欧拉参数的导数或变分，再作积分运算。 坐标变换:欧拉角表达根据欧拉定理，可以将刚体的方位分解为连体坐标系从与全局坐标系重合的始点起，依次绕连体坐标系自身的zo、xo和zo转过有限角度、和来确定，即相对体313转动序列，三个角度坐标、和即为欧拉角，其中为进动角，为章动角，为自转角。 用欧拉角表示的方向余弦矩阵为?+?+?=c c s s ss c c s s s c sss ss cs csA从方向余弦矩阵到欧拉角的变换为?=?=?=)/arcsin()/aros()/arcsin()/aros()1arcsin()aros(3132132323333s a s as asaa a当章动角,.)1,0(=n n时，进动角和自转角不能确定，称为欧拉角奇异点。 坐标变换:欧拉角表达欧拉角表示的欧拉参数为?+=?=?=?+=)2cos()2sin()2sin()2sin()2sin()2cos()2cos()2cos(4210pppp从欧拉参数到欧拉角的变换为?=?+=+=)/()/(1)(2aros)/()/(120323xx03pp arctg pp arctgp ppparctg pparctgEuler参数表达刚体运动学P s E Ps Er Ps Es GE rsA sArsAr rPsEr PG sArsArsArrP GP GsEG rsAr rppppppppppppGp pppppppppp pEss sss sss sss ssss sss ssssss ssssssp ppppppp z yxp rqp pppPz yx rPTP PP PPPPPP TP PPxPyPzPxPzPyPyPzPxPzPyPxPxPyPzPxPzPyPyPzPxPzPyPxTPzPyPxPTTTTTT?+=+=+=+=+=?=+=+=+=+=?=?=?=?=+=44440123103223010123103223014423222120321032102222222,2,0000,00001标系上分量刚体上任一点在固连坐笛卡儿广义坐标描述刚体的姿态设多体系统由n个刚体()1,2,.,jB jn=组成，令大地为刚体0B，在大地上取绝对坐标系oxyz,各刚体的质心处建立刚体的连体基()1,2,.,i i i iox yz in=，用刚体上连体基的原点处io的矢径ir的三个代数分量),.,2,1(,n iz yxTi i i=确定刚体的位置，连体坐标系i i i iox yz的矢量基相对于绝对参考系的四个欧拉参数),.2,1(,3210n ippp pTi i i i=确定刚体的方向。 因而，我们可以用一个综合位置和方向广义笛卡儿坐标为一个71的列阵表示刚体的姿态，列阵iq表示为oxyzioxyziioixiyiziR(),ii i iR x yz),.2,1(,3210n ippppzyx qTi i iiiiii=则整个系统的广义笛卡儿矢量q（7n1）为TTnT TTq qqqq,.,321=基本约束oxyzijoxyzijijdioixiyizjxjojyjzipjpixiyizjxjyjzipsjpsjRiR1ia1ja2ja3ja3ia2ia绝对参考坐标系位oxyz，两刚体i和j，它们的连体坐标系分别为iii ioxyz和j j j joxyz，且连体坐标系的原点在绝对参考坐标系统中的矢量分别为iR和jR。 构件i和构件j上分别固定有参考点ip和jp，并分别在铰点处建立铰点的坐标系iii ipxyz和j j j jpxyz，它们的单位基矢量分别位矢量123,Ti ii ia a a a?=?和123,Tj j j ja a a a?=?，连接参考点ip,jp的矢量为ijd。 同时，参考点jp,jp以及单位矢量ia和ja在构件体连体坐标系上的矢量分别为ips、jps、123,Tiii ia a aa?=?和123,Tj j j jaaaa?=?。 I两向量垂直约束(I型II型)在系统运动的过程中，要保持两单位矢量1ia和1ja垂直，其充分必要条件是两矢量的点积为零，也即是011=?j iaa（垂直I型约束），相应的约束方程为；()111111,0i j iT j iT iT j jaaaaa AA a=其中iA和jA为构件i和j的连体坐标系对绝对参考系坐标的方向余弦矩阵，在多体系统的运动学和动力学分析过程中，约束方程内描述构件的姿态的坐标通常采用欧拉四元素。 同理，当两构件的相对位置矢量0ijd，可得到构件上的单位矢量1ia与相对位置矢量ijd相互垂直的条件，也即是它们的点积为零，01=?ij id a（垂直II型约束），对应的约束方程为()111,0i ij iT ij iT iT ija d a d a A d=其中ij jj jp iiipd R A s R As=+?两矢量保持平行约束若两矢量平行，则它们的叉积为零。 如果两单位矢量1ia和1ja平行，则其约束方程为()1111,0i ji jaaaa=?可以用两个矢量的垂直约束表示一个平行约束，若1ia和1ja平行，当且仅当1ia同时与单位矢量2ja和3ja垂直时满足条件，用垂直约束条件来表示平行的约束方程为()()()12121211131313,0,0i j iT j iT iT j ji ji jiT jiT iT j jaaaaa AA aa aa aaaa AA a?=?=?=?刚体间的距离约束在机械系统中，常常要求刚体上的一对参考点保持一定的距离或者重合。 参考点ip和jp的重合的充分必要条件是0ijd=，相应的约束方程为(),0d ij jj jp ii ipi jp p d R As R As=+?=如果参考点ip和jp保持一定的距离()c t时，有()ijd c t=则相应的约束方程为0),(2=?=c dd cp pijTijjid式中()ctc=，为常量。 基本约束的雅可比矩阵jjjTij ii iTijTijTijj idj jjiii jidjjjTiTi ii iTij iTiTiTiTiTi ijijjjTiTi ii iTjTjj ipjpi rjriG sA dG sA dddC P PG sA GsAI IPPGsAAaG a A dsa Aa Aa d aG a AAaGa AAaaa?4422),(22),() (2) (2),(2200),(约束函数球副球副是通过刚体i上的点ip处的球中心与刚体j上的点jp处的球座中心相重合来定义的，可由点重合基本约束描述，束方程为(),0d ijjj jp ii ipijp pd R AsRAs=+?=球副中，三个标量的约束方程限制了球副所连接的构件的相对位置，但保留了三个相对转动自由度。 转动副转动副连接两刚体i和j，允许两刚体绕公共的转动轴转动，但不能沿公共转动轴线移动。 我们在公共转动轴线上取一点p，在p点处建立两刚体上的重合铰点ip和jp，在铰点处ip和jp建立运动副坐标系，运动副坐标系上的单位向量3ia和3ja沿公共转动轴线。 实质上，转动副的约束可以分解为铰点ip和jp的重合约束和单位向量3ia和3ja的平行约束，因而转动副的约束方程为重合点约束和平行约束的组合，方程如下()()()()31313133323232,0,0,0d jjjpii ipi ji jiT jiT iT j ji ji jiT jiT iT jjp pRAsRA saaaaaAA aa aa aaaaAAa?=+?=?=?=?=?约束方程组集中，第一个约束方程限制了两刚体的相对位置，后两个方程则限制了两个转动，因此，转动副只有一个绕公共的轴线的自由度。 圆柱副圆柱副连接两刚体i和j，允许两刚体绕公共的转动轴转动，不限制两刚体沿公共转动轴线移动。 与转动副类似，在公共轴线上建立铰点ip和jp，同时相对矢量ijd也沿公共轴线，在铰点ip和jp处建立运动副坐标系，运动副坐标系上的单位向量3ia和3ja沿公共转动轴线。 实际上，圆柱副可由单位向量3ia与3ja平行和3ia与ijd平行的两个基本约束组集表示，其约束方程为()()()()()()313131333232321113222,0,0,0,0ijiT jiT iTj ji jijiTjiT iTj ji ij iT ij iT iT iji ijiij iTijiT iT ija aaaaAAaaaaaaaaAAaa d adaA da dadadaAd?=?=?=?=?=?=?在圆柱副基本约束组集中，四个约束方程分别限制了两个转动自由度和两个移动自由度。 因此，圆柱副具有两个自由度，也即绕公共轴线的转动和移动。 移动副移动副连接两刚体i和j，允许两刚体沿公共轴线相对移动,不能绕公共轴线转动.因而，在圆柱副中加一个限制绕公共轴线转动的约束，就成为移动副。 约束方程如下()()()()()()()313131333232322121211113222,0,0,0,0,0ijiTjiT iTj jijijiTjiTiTjjijiTjiTiTjjiijiTijiTiTiji ijiijiTijiTiTijaaaaaA Aaa aaaaaaAAaaaaaaAAaa dadaAda dadadaAd?=?=?=?=?=?=?=?移动副有五个约束方程，因而，移动副只有一个自由度，即沿轴线的移动。 万向节万向节是由连接的两刚体i和j上的中间件十字刚体构成，万向节的中心p，在p点处建立两刚体体上的重合铰点ip和jp，十字轴上的轴线上的两点分别为两刚体体i和j的移动副坐标系的单位向量3ia和3ja，它们始终保持垂直，这样，万向节的约束可以分解为点ip和jp重合和单位向量3ia和3ja垂直两基本约束的组合，其约束方程表示如下()()333333,0,0d ijjjjpiiipijijiTjiTiTjjppdRAsRAsa aaaaAAa?=+?=?=?第一个方程限制了两刚体的相对位置，第二个方程限制了一个绕十字架的转动。 这样，万向节只具有两个转动自由度。 系统约束方程多体系统中广义笛卡儿坐标由于运动学约束的存在，一般来说是不独立的。 描述多体系统的约束方程组一般可以表示为与时间无关的完整运动学约束方程组()()()()12,.,0Tk kk ksqqqq?=?或者显含时间t的方程组(),0kq t=其中s为所