2019年高考数学二轮复习专题突破课时作业13空间向量与立体几何理.doc

课时作业 13空间向量与立体几何1如图所示，在底面是矩形的四棱锥pabcd中，pa底面abcd，e，f分别是pc，pd的中点，paab1，bc2.(1)求证：ef平面pab；(2)求证：平面pad平面pdc.证明：以a为原点，ab，ad，ap所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系axyz如图所示，则a(0,0,0)，b(1,0,0)，c(1,2,0)，d(0,2,0)，p(0,0,1)，所以e，f，(0,0,1)，(0,2,0)，(1,0,0)，(1,0,0)(1)因为，所以，即efab.又ab平面pab，ef平面pab，所以ef平面pab.(2)因为(0,0,1)(1,0,0)0，(0,2,0)(1,0,0)0，所以，即apdc，addc.又因为apada，ap平面pad，ad平面pad，所以dc平面pad.因为dc平面pdc，所以平面pad平面pdc.22018浙江卷如图，已知多面体abca1b1c1，a1a，b1b，c1c均垂直于平面abc，abc120，a1a4，c1c1，abbcb1b2.(1)证明：ab1平面a1b1c1；(2)求直线ac1与平面abb1所成的角的正弦值解析：(1)证明：由ab2，aa14，bb12，aa1ab，bb1ab，得ab1a1b12，所以a1b1ab1aa1，故ab1a1b1.由bc2，bb12，cc11，bb1bc，cc1bc，得b1c1.由abbc2，abc120，得ac2.由cc1ac，得ac1，所以ab1b1c1ac1，故ab1b1c1.又因为a1b1b1c1b1，因此ab1平面a1b1c1.(2)解：如图，过点c1作c1da1b1，交直线a1b1于点d，连接ad.由ab1平面a1b1c1，得平面a1b1c1平面abb1.由c1da1b1，得c1d平面abb1.所以c1ad是ac1与平面abb1所成的角由b1c1，a1b12，a1c1，得cosc1a1b1，sinc1a1b1，所以c1d，故sinc1ad.因此，直线ac1与平面abb1所成的角的正弦值是.(1)证明：如图，以ac的中点o为原点，分别以射线ob，oc为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系oxyz.由题意知各点坐标如下：a(0，0)，b(1,0,0)，a1 (0，4)，b1 (1,0,2)，c1 (0，1)因此(1，2)，(1，2)，(0,2，3)由0，得ab1a1b1.由0，得ab1a1c1.所以ab1平面a1b1c1.(2)解：设直线ac1与平面abb1所成的角为.由(1)可知(0,2，1)，(1，0)，(0,0,2)设平面abb1的法向量为n(x，y，z)由得可取n(，1,0)所以sin |cos，n|.因此，直线ac1与平面abb1所成的角的正弦值是.32018江苏卷如图，在正三棱柱abca1b1c1中，abaa12，点p，q分别为a1b1，bc的中点(1)求异面直线bp与ac1所成角的余弦值；(2)求直线cc1与平面aqc1所成角的正弦值解析：如图，在正三棱柱abca1b1c1中，设ac，a1c1的中点分别为o，o1，则oboc，oo1oc，oo1ob，以，为基底，建立空间直角坐标系o xyz.因为abaa12，所以a(0，1,0)，b(，0,0)，c(0,1,0)，a1(0，1,2)，b1(，0,2)，c1(0,1,2)(1)解：因为p为a1b1的中点，所以p，从而，(0,2,2)，故|cos，|.因此，异面直线bp与ac1所成角的余弦值为.(2)解：因为q为bc的中点，所以q，因此，(0,2,2)，(0,0,2)设n(x，y，z)为平面aqc1的一个法向量，则即不妨取n(，1,1)设直线cc1与平面aqc1所成角为，则sin |cos，n|.所以直线cc1与平面aqc1所成角的正弦值为.42018郑州市高中毕业班第一次质量预测如图，在三棱锥pabc中，平面pab平面abc，ab6，bc2，ac2，d，e分别为线段ab，bc上的点，且ad2db，ce2eb，pdac.(1)求证：pd平面abc；(2)若直线pa与平面abc所成的角为，求平面pac与平面pde所成的锐二面角解析：(1)证明：由题意知ac2，bc2，ab6，ac2bc2ab2，acb，cosabc.又易知bd2，cd222(2)2222cosabc8，cd2，又ad4，cd2ad2ac2，cdab.平面pab平面abc，cd平面pab，cdpd，pdac，accdc，pd平面abc.(2)由(1)知pd，cd，ab两两互相垂直，可建立如图所示的直角坐标系dxyz，直线pa与平面abc所成的角为，即pad，pdad4，则a(0，4,0)，c(2，0,0)，b(0,2,0)，p(0,0,4)，(2，2,0)，(2，4,0)，(0，4，4)ad2db，ce2eb，deac，由(1)知acbc，debc，又pd平面abc，pdbc，pdded，cb平面pde，(2，2,0)为平面pde的一个法向量设平面pac的法向量为n(x，y，z)，则令z1，得x，y1，n(，1,1)为平面pac的一个法向量cosn，平面pac与平面pde所成的锐二面角的余弦值为，故平面pac与平面pde所成的锐二面角为30.52018北京卷如图，在三棱柱abca1b1c1中，cc1平面abc，d，e，f，g分别为aa1，ac，a1c1，bb1的中点，abbc，acaa12.(1)求证：ac平面bef；(2)求二面角bcdc1的余弦值；(3)证明：直线fg与平面bcd相交解析：(1)证明：在三棱柱abca1b1c1中，因为cc1平面abc，所以四边形a1acc1为矩形又e，f分别为ac，a1c1的中点，所以acef.因为abbc，所以acbe，所以ac平面bef.(2)解：由(1)知acef，acbe，efcc1.又cc1平面abc，所以ef平面abc.因为be平面abc，所以efbe.如图，建立空间直角坐标系exyz.由题意得b(0,2,0)，c(1，0,0)，d(1,0,1)，e(0,0，0)，f(0,0,2)，g(0,2,1)所以(1，2,0)，(1，2,1)设平面bcd的法向量为n(x0，y0，z0)，则即令y01，则x02，z04.于是n(2，1，4)又因为平面cc1d的法向量为(0,2,0)，所以cosn，.由题知二面角bcdc1为钝角，所以其余弦值为.(3)证明：由(2)知平面bcd的法向量为n(2，1，4)，(0,2，1)因为n20(1)2(4)(1)20，所以直线fg与平面bcd相交62018太原市高三年级模拟试题(二)如图，在四棱锥eabcd中，底面abcd是圆内接四边形，cbcdce1，abadae，ecbd.(1)求证：平面bed平面abcd；(2)若点p在平面abe内运动，且dp平面bec，求直线dp与平面abe所成角的正弦值的最大值解析：(1)证明：如图，连接ac，交bd于点o，连接eo，adab，cdcb，acac，adcabc，易得adoabo，aodaob90，acbd.又ecbd，ecacc，bd平面aec，又oe平面aec，oebd.又底面abcd是圆内接四边形，adcabc90，在rtadc中，由ad，cd1，可得ac2，ao，aec90，易得aeoace，aoeaec90，即eoac.又ac，bd平面abcd，acbdo，eo平面abcd，又eo平面bed，平面bed平面abcd.(2)如图，取ae的中点m，ab的中点n，连接mn，nd，dm，则mnbe，由(1)知，dacbac30，即dab60，abd为正三角形，dnab