巧用对称性妙解数学题

2 0 1 1 年第3 期 总第1 0 5 期 佳木斯教育学院学报 N O 3 2 0 1 1 S u m l 0 5 巧用对称性妙解数学题 周胡 哈尔滨师范大学文理学院数学系黑龙江哈尔滨1 5 0 0 2 5 摘要 对称通常指图形或物体对某个点 直线或平面而言 在大小 形状和排列上具有一对应关系 利用对称的观点和方法研究 数学题 是解决某些几何问题的重要思路之一 关键词 对称 几何 图形 中图分类号 G 6 3 3 6 3文献标识码 A文章编号 1 0 0 0 9 7 9 5 2 0 1 1 0 3 0 2 7 0 0 1 培养学生分析问题和解决问题的能力 是数学教育的目的之 一 本文通过对称性在解题中的妙用 不仅降低了问题的难度而且 使学生对某类问题产生了浓重的学习兴趣 一 坐标法 有的几何问题 可以通过适当的坐标系 把几何图形的有关 性质问题 化为关于点的坐标的数量关系问题 再用代数方法来解 决 这就是通常所说的坐标法 例1 假设A B C D 为任意平行四边形 求证 以该口A B C D 的两条邻边A B 与B C 为边所作的两个正方 形的面积的和 不小于以口A B C D 的两对角线的长为边所作的矩形 的面积 在什么情况下二者相等 分析 题目要求证明A B 2 B C 2 A C B D 由于A B C D 为已知 所以若引进坐标系 A B c D 四个点的坐标是已知的 这样 A B B C A C B D 的长便都可通过两点距离公式求得 则我们求证的 目标便化为求证 个代数不等式 从而可借助代数知识解决 选择坐标系时 我们总是希望将要得到的代数式尽可能简单 一般来说 如果图形中有现成的互相垂直的线段 则可用它们为坐 标轴 在平行四边形中 一般可选一条边或一条对角线为横轴 本 题若选一条对角线为横轴 对角线交点为原点 可以利用平行四边 形的对称性 所以有明显的优点 因为这时两对顶点分别关于原点 对称 则在设顶点坐标时 可少用字母 从而简化代数式的运算 坐标系如图 因此有A B 坂口一6 2 c 2 B C o 6 2 c 2 A C 2 4 B D 厄矿硒了 要证明A B 2 B C 2 A C B D 以上四个式子代人 整理 得到a b 2 2 a 石 一 利用换元法 令口 P 6 2 c 2 叮 由于P 0 q 0 因 为P 2 叮2 2 p q 得到 成立 进一步 当p q 即a 2 b 2 C 2 O C O D 这时L 7 A B C D 是矩形 时 取等号 二 几何变换法 利用变换的观点和方法研究几何图形 是解某些几何问题的重 要思路之一 利用几何变换研究几何问题的方法叫做几何变换法 下面举例说明这种思路在解题中的应用 例2 已知五边形各边中点的位置为a b c d e 求作此五边形 分析 可以设A B C D E 为所求五边形 实际上要求一点A 以a 收稿日期 2 0 1 l 4 1 0 作者简介 周碉 1 9 8 8 一 女 黑龙江安达人 从事基础数学研究 2 7 0 为中点 得到对称点B 再以b 为中 点 得到对称点C 依此类 推 最后E 以e 为中点 其对称点刚好 是A 如图 不妨设想一下 任取一点L 依次求其对于a b e d e 的对称点 M N O P Q 一般的 Q 不会重合于L 但是若连L Q 取其中点A 然后依次求A 对于a b c d 的对称点B c D E 则E 关于e 的对称点 必为A 这是因为舡丝蹦丛 丝D 咧f E 尸幽Q 这样 便利用中心 对称变换找到了作图方法 三 对称点法 3 如图 点A B 是平面a s h 的两个 曰 在平面a 上取一点啦A P B P 最小 A 析 本题若用多元函数求极值 解题 虢易 舭婀称 巧 o 到点x P i 图豇崔 作口C 上a 垂足刀0 职 p C 连接4 C 交0 于一点 则此点为所 四 利用中心对称求解方程 例4 在椭圆 1 中 求以点P 3 2 为中点的弦所在的直 线方程 分析 我们通常用到的常规解法是 设过点P 的点斜式方程 再将此方程与椭圆方程联立 消去一个未知数 然后利用中点坐标 公式结合韦达定理 求斜率 进而求出所求的直线方程 下面我们 利用中心对称性构造曲线方程 解 椭圆鲁 冬一 关于点P 3 7 6 2 莳称的椭圆方程为生宅生 三盛 1 趣漆2 7 x 3 2 y 一1 4 5 0 求圆锥曲线以某点为中点的弦的问题 可利用对称性构造关于 中点的对称方程 且能形成公共弦 将两曲线方程联立消去二次项 即可得公共弦方程 此法也适用其它圆锥曲线 五 对称性解排列问题 例5 从6 个字母A B C D E F 中任选4 个作排列 求A 在 B 前的排法共有多少种 分析 用常规解法 按A 和B 在排列中的位置分类 A B 相邻 只从剩下4 个字母中任选2 个 共有口 4 种 A B 间隔一个字母 其中又分A B 排一 三位置和二 四位置 共 有2 禽种 A B 问隔两个字母 有彳种 因此所求排列共有 口 A 2 爿 彳 7 2 种 下面利用对称性巧妙而简单的解此 题 从c D E F 中任取2 个元素与A B 起作全排列 共有 口 鬈 1 4 4 种 注意到A 在B 前和B 在A 前机会均等 依此 对称 性 知 所求排列数为口 彳 7 2 种 下转第2 9 0 页 万方数据 2 0 1 1 年第3 期 总第1 5 期 佳木斯教育学院学报 N o 3 2 1 1 S u m1 0 5 仅停留在 理解 这个层而是远远不够的 这个阶段只能说学生已 经具备了最基本的鉴赏能力 学牛也只停留在人云亦云的阶段 仅 仪是一个会 听 作品的人 美术作品不但要用眼去看 用腑去分 析 还要用语言去表达 这才能提高学生的整体素质 由于每个人 的性格 阅历 生活环境 文化修养的不同 因此对作品的理解和 阐释都是不同的 必然是有个体差异的 而这个差异恰恰说明学生的 独立审美意识正在逐 斩r 3 f 成 我在课上要求学生大胆表达对作品的感 受 用启发诱导性的语言引导学牛反复深入感知 体验作品 鼓励学 生不拘泥于教师的解释 不拘泥丁作者的原有创作意图 不拘泥于评 论家的评论 充分发挥想象力 创造力 发表自己的见解 四 品评 挑选最喜欢的作品写一篇短评 培养学生 价值判断能力和创新思维 会 说 不等于会 品 品评是一种非常深刻的思考过程 是对事物综合评判并得出自己独创性见解的过程 这是欣赏艺术作品 的最高级的阶段 必须通过写作的训练过程 所以当天的回家作业就 是挑选一幅最喜欢的作品写一篇短评 各抒己见 仁者见仁 智者见 智 评述并非是一种高不可攀的行为 不要冈为大师的作品而犹豫 世界上任何人都是艺术家 事实上 课本中大部分评论只能代表一家 之言 美术欣赏不像理科那样只有唯一的标准答案 而是应该有差异 的 常言道 一T 个人读哈姆雷特 就有一千个哈姆雷特 美术 评论也绝不是要学生寻求对一幅美术作品的标准答案 要把美术坪论 物化为文字形式 让学生主动的 创造性的从多角度理解作品 通过 撰写评论发表源自内心的观点 感受提f 岛审美能力 综 二所述 在整个教学过程中把历史教学和美术欣赏融为一 体 通过观察 理解 阐释 品评四个环节 不仅摹本实现了历史 课程标准的要求 掌握了近现代美术各流派的内容 也激发了学生 的求知欲 让学生获得了美的享受 培养了审美能力和发散性的创 新思维能力 完成了从感性到理性的升华 当然我的最终目标是 以物之美 开启心灵之美 希望学生深刻认识美 学会用一种 美好的心态面对社会 面对未来 推动学生高尚品德的形成 促进 学生人格的健全发展 培养多元开放的文化胸襟 参考文献 1 陈相武 吴次名 中学历史教材教法 2 戚廷贵 美学 审美理论 3 尧斯 文学史作为向文学科学的挑战 4 约翰 雷华德 后印象派绘画史 5 房龙 西方美术简史 A r tb l o s s o m si nt h ec l a s so fh i s t r o y 一一H o Wt oi m p r o v es t u d e n t sa e s t h e t i ci nt h eh i s t r o r yt 占a c h i n gi nh i g hs c h o o l C a oC h e n g h u a J i a n g s uC h a n g s h uF o r e i g nL a n g u a g eS c h o o l J i a n g s uC h a n g s h u 2 1 5 5 0 0 C h i n a A b s t r a c t M u c hi m p o r t a n c eI l a sb e e na t t a c h e dt oa c a d e m i cp e r f o r m a n c er a t h e rt h a nh u m a n i s t i eq u a l i t i e sf o s t e r i n gi nc u r r e n t t e a c h i n g w h i c h c o n s e q u e n t l y h a sc o n t r i b u t e dt od e f i c i e n c yo fa e s t h e t i ca m o n gC h i n a sm o d e n ga n dr e c e s s i o no fa e s t h e t i cn a t i o n w i d e H e n c e m u c h s h o u l db ed o n et oi m p r o v et h eh u m a n i s t i cq u a l i t i e so fs t u d e n t sc o m p r e h e n s i v e l yi nt h eh o p eo ft u r n i n gt h es i t u a t i o na r o u n d I nt h ep a p e r ah r a n d n e w t e a c h i n ga p p r o a c hi se m p l o y e d n a m e l y a e s t h e t i cf o s t e r i n gi n t e r g r a d e dw i t hh i s t o r yt e a c h i n gi nh i g hs c h o o lw i t ht h ep u r p o s eo fe n h a n c i n gs t u d e n t s r e f i n e m e n tb o t ha e s t h e t i c a l l ya n dh u m a n i s t i c a l l y K 7w o d 8 8 u d 8 t s 8 n h i 8 r y a c h i 8 h u m a n cf o s e r i n 8 责任编辑 徐达 上接第2 7 0 页 选择适当标准对排列进行 对称性 分类 只要中间的一类排 列便于计算便可大大减少计算量 此种方法不失为一种巧妙方法 六 对称性求定积分的值 例6 计算I x 2 S i n 3 x d x 大多数人看到本题 会采用定向思维方式 考虑用分部积 分求z 2 S i n3 石的原函数 过程繁琐不易求出结果 若采用立体思 维方式 结合定积分的几何意义及x 2 S n 3 x 是奇函数的特点 即 I x 2 S n x d x 是以x 轴为中线的 上下两块大小相等的曲边梯形面 积的代数值 故I z 2 所珂3 x 出 o 用换元法也可证得结果 并推广到 以原点位对称中心的曲边梯形的面积为零 即I f x d x o x 为 奇函数 J f x d x 2 J f x d xf x 为偶函数 七 对称性解微分方程 例7 求常微分方程 4 3 x 2 砂 x y d x O 的通解 分析 如果以y 为未知函数 x 为白变量 此方程虽然是一阶微 分方程 却较难求出其通解 则用常微分方程中d x 和d y 的对称性 把Y 看作未知函数 2 9 0 d f x 2 1 6 一 解 原式 尹一了 r 2 2 j 解得 通解为 x 2 一y 2 c y 6 对称对在艺术 自然界 科学上的例子是屡见不鲜的 从建筑 物外形到生物有机体的构造 从某些装饰图案到晶体的外形及内容 构造 到处都呈现 对称 对称在数学上的应用是普遍的 几何平面上有直线对称和点 的对称 空间情形除了直线和点对对称外 还有平面对称 数学家 们长期追求的目标 甚至有时把它作为一种尺度 对称是数学思想 的重要组成部分 也普遍存在于初等数学与高等数学的各个分支 对称在数学研究中有重要作用 它是数学创造与发现的美学方法之 一 对称在数学解题中也有广泛的应用 在解题过程中 考虑对称 的因素有时可起到事半功倍的效果 参考文献 1 卢正勇 数学解题思路 福建教育出版社 1 9 8 7 2 吕林根 许子凳 解析几何 高等教育出版社 1 9 6 0 3 沈恒范 概率论与数理统计教程 高等教育出版