8、一元一次方程教案

8、一元一次方程教案 从实际问题到方程知识技能目标复习列方程解应用题的方法；学会用检验的方法判断一个数是否为方程的解.过程性目标经历用列方程的方法解决实际问题的过程，体会现实生活与数学密不可分的关系.教学过程 一、创设情境在现实生活中，有很多问题都跟数学有关，例如下面的问题问题某校初一年级328名师生乘车外出春游，已有2辆校车可乘坐64人，还需租用44座的客车多少辆？这个问题用数学中的什么方法来解决呢？解(32864)44=26444=6(辆)答还需租用44座的客车6辆.请大家回忆一下，在小学里还学过什么方法可以解决上面的问题？ 二、探究归纳方法是列方程解应用题的办法.解设还需租用44座的客车x辆，则共可乘坐44x人.根据题意列方程得44x+64=328你会解这个方程吗？自己试试看.评列方程解应用题的基本过程是观察题意，找出等量关系；设数，并列出方程；解所列的方程；写出答案.问题在课外活动中，张老师发现同学的年龄大多是13岁，就问同学“我今年45岁，几年后你们的年龄是我年龄的三分之一？”方法一我们可以按年龄的增长依次去试.1年后，老师的年龄是46岁，同学的年龄是14岁，不是老师年龄的三分之一；2年后，老师的年龄是47岁，同学的年龄是15岁，也不是老师年龄的三分之一；3年后，老师的年龄是48岁，同学的年龄是16岁，恰好是老师年龄的三分之一.方法二也可以用列方程的办法来解.解设x年后同学的年龄是老师年龄的三分之一，x年后同学的年龄是(13+x)岁，老师年龄是(45+x)岁.根据题意，列出方程得)45(3113x x?这个方程不太好解，大家可以用尝试、检验的方法找出它的解，即只要将x1，2，3，4，?代入方程的左右两边，看哪个数能使左右两边的值相等，这样得到方程的解为x3.评使方程左右两边的值相等的数的值，就是方程的解.要检验一个数是否为方程的解，只要把这个数代入方程的左右两边，看能否使左右两边的值相等.如果左右两边的值相等，那么这个数就是方程的解. 三、实践应用例1甲、乙两车间共生产电视机120台，甲车间生产的台数是乙车间的3倍少16，求甲、乙两车间各生产电视机多少台(列出方程，不解方程)？分析等量关系是甲车间生产的台数+乙车间生产的台数电视机总台数解设乙车间生产的台数为x台，则甲车间生产的台数是(3x16)根据题意列方程得x+(3x16)=120例2检验下面方程后面括号内所列各数是否为这个方程的解2(x+2)-5(1-2x)=-13,x=-1,1解将x=-1代入方程的两边得左边=2(-1+2)-51-2(-1)=-13右边=-13因为左边=右边，所以x=-1是方程的解.将x=1代入方程的两边得左边=2(1+2)-5(1-21)=11右边=-13因为左边右边，所以x=1不是方程的解. 四、交流反思这节课主要讲了下面两个问题1.复习了用列方程的方法来解应用题；2.检验一个数是否为方程的解的方法. 五、检测反馈1.检验下列方程后面括号内所列各数是否为相应方程的解 (1)?3,23,1815xx (2)2(y-2)-9(1-y)=3(4y-1),-10,102.根据班级内男、女同学的人数编一道应用题，和同学交流一下.3.小赵去商店买练习本，回来后问同学“店主告诉我，如果多买一些就给我八折优惠，我就买了20本，结果便宜了1.60元，你猜原来每本价格多少？”你能列出方程吗？方程的简单变形（一）知识技能目标1.理解并掌握方程的两个变形规则；2.使学生了解移项法则，即移项后变号，并且能熟练运用移项法则解方程；3.运用方程的两个变形规则解简单的方程过程性目标1.通过实验操作，经历并获得方程的两个变形过程；2.通过对方程的两个变形和等式的性质的比较，感受新旧知识的联系和迁移；3.体会移项法则移项后要变号课前准备托盘天平，三个大砝码，几个小砝码教学过程 一、创设情境同学们，你们还记得“曹冲称象”的故事吗？请同学说说这个故事小时候的曹冲是多么地聪明啊！随着社会的进步，科学水平的发达，我们有越来越多的方法测量物体的重量最常见的方法是用天平测量一个物体的质量我们来做这样一个实验，测一个物体的质量（设它的质量为x）首先把这个物体放在天平的左盘内，然后在右盘内放上砝码，并使天平处于平衡状态，此时两边的质量相等，那么砝码的质量就是所要称的物体的质量 二、探究归纳请同学来做这样一个实验，如何移动天平左右两盘内的砝码，测物体的质量实验1如图 (1)在天平的两边盘内同时取下2个小砝码，天平依然平衡，所测物体的质量等于3个小砝码的质量实验2如图 (2)在天平的两边盘内同时取下2个所测物体，天平依然平衡，所测物体的质量等于2个小砝码的质量实验3如图 (3)将天平两边盘内物体的质量同时缩少到原来的二分之一，天平依然平衡，所测物体的质量等于3个小砝码的质量上面的实验操作过程，反映了方程的变形过程，从这个变形过程，你发现了什么一般规律？方程是这样变形的方程的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变方程两边都乘以或都除以同一个不为零的数，方程的解不变请同学们回忆等式的性质和方程的变形规律有何相同之处？并请思考为什么它们有相同之处？通过实验操作，可求得物体的质量，同样通过对方程进行适当的变形，可以求得方程的解 三、实践应用例1解下列方程 (1)x5=7； (2)4x=3x4分析 (1)利用方程的变形规律，在方程x5=7的两边同时加上5，即x5+5=7+5，可求得方程的解 (2)利用方程的变形规律，在方程4x=3x4的两边同时减去3x，即4x3x=3x3x4,可求得方程的解即x=12即x=4像上面，将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫做移项(transposition)注 (1)上面两小题方程变形中，均把含数x的项，移到方程的左边，而把常数项移到了方程的右边 (2)移项需变号，即跃过等号，改变符号例2解下列方程 (1)5x=2； (2)3123?x；分析 (1)利用方程的变形规律，在方程5x=2的两边同除以5，即5x(5)=2(5)(或?5255?x)，也就是x=52?,可求得方程的解 (2)利用方程的变形规律，在方程3123?x的两边同除以23或同乘以32，即23312323?x(或32313223?x)，可求得方程的解解 (1)方程两边都除以5，得x=52? (2)方程两边都除以23，得x=32312331?，即x=92或解方程两边同乘以32，得x=923231?注1.上面两题的变形通常称作“将数的系数化为1”.2.上面两个解方程的过程，都是对方程进行适当的变形，得到x=a的形式例3下面是方程x+3=8的三种解法，请指出对与错，并说明为什么？ (1)x+3=8=x=83=5； (2)x+3=8，移项得x=8+3，所以x=11； (3)x+3=8移项得x=83，所以x=5解 (1)这种解法是错的变形后新方程两边的值和原方程两边的值不相等，所以解方程时不能连等； (2)这种解法也是错误的，移项要变号； (3)这种解法是正确的 四、交流反思本堂课我们通过实验得到了方程的变形规律 (1)方程的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变； (2)方程两边都乘以或都除以同一个不为零的数，方程的解不变通过上面几例解方程我们得出解简单方程的一般步骤 (1)移项通常把含有数的项移到方程的左边，把常数项移到方程的右边； (2)系数化为1方程两边同除以数的系数（或同乘以数系数的倒数），得到x=a的形式必须牢记移项要变号！ 五、检测反馈1.判断下列方程的解法对不对？如果不对，应怎样改正 (1)9x=4，得x=49； (2)3553?x，得x=1； (3)02?x，得x=2； (4)152?y y，得y=53； (5)3+x=5，得x=5+3； (6)3=x2，得x=232.（口答）求下列方程的解 (1)x6=6； (2)7x=6x4； (3)5x=60； (4)2141?y3.下面的移项对不对？如果不对，错在哪里？应当怎样改正？ (1)从7+x=13，得到x=13+7； (2)从5x=4x+8，得到5x-4x=84.用方程的变形解方程44x+64=328方程的简单变形（二）知识技能目标1.运用方程的变形规律熟练解方程；2.理解解方程的步骤，掌握移项变号规则过程性目标通过解方程过程的探讨，使学生获得解方程的步骤，体会数学中由特殊到一般的思想方法教学过程 一、创设情境方程的变形是怎样的？请同学们利用方程的变形，求方程2x+3=1的解并讨论 (1)解方程的每一步的依据是什么？ (2)解方程应解到什么形式为止？ (3)通过解方程，你能归纳出解方程的一般步骤吗？ 二、探究归纳解2x=13，?移项；2x=2，?合并同类项；x=1?数的系数化为1 (1)第一步的依据是方程的变形在方程的两边同时减去3；第二步的依据是合并同类项；第三步的依据是方程的变形方程的两边同时除以2 (2)解方程应得到x=a的形式 (3)解方程的一般步骤是移项；合并同类项；系数化为1 三、实践应用例1解下列方程，并能说出每一步的变形过程 (1)8x=2x7； (2)6=8+2x； (3)2y21=321?y； (4)3y2=y+1+6y解 (1)8x=2x7，移项，得8x2x=7，合并同类项，得6x=7，系数化为1，得x=67 (2)分析本题含有数的项在方程的右边，在解题时可考虑先把8+2x放到方程的左边，把6放到方程的右边，然后再解方程解8+2x=6，移项2x=68，合并同类项2x=2，系数化为1x=1注意 (1)移项和改变多项式各项的顺序是不同的，把8+2x放在方程左边，6放到方程的右边时，符号不变 (2)也可考虑直接把含数的项2x移到方程的左边，然后再解方程或解6=8+2x，移项2x=86，合并同类项2x=2，系数化为1x=1以上二种解法，让学生通过对比分析，体会每种方法的优点，寻求较简捷的方法 (3)2y21=321?y移项2yy21=3+21，合并同类项y23=25，系数化为1y=2523=2532，即y=35注将系数化为1时，如果系数是分数，要特别细心，若结果是分数，则要化为最简分数思考这个方程还有其他的解法吗？能否采用把方程的分母去掉把系数化为整数？并比较哪种方法更好？ (4)3y2=y+1+6y，合并同类项3y2=7y+1，移项3y7y=1+2，合并同类项4y=3，系数化为1y=3(4)=3(41)=43通过上面的解方程，想一想，你能选择解方程的步骤了吗？例2解下列方程，并按例1的解题格式书写解题过程 (1)2x:3=6:5； (2)1.3x+1.22x=1.22.7x分析把方程中的比先化为分数，再解方程解 (1)2x:3=6:5，56=32x，系数化为1x=5632=5632=54 (2)1.3x+1.22x=1.22.7x，移项1.3x2x+2.7x=1.21.2，合并同类项2x=0，系数化为1x=02=0例3已知y1=3x+2，y2=4x当x取何值时，y1与y2互为相反数？分析y1与y2互为相反数，即y1+y2=0本题就转化为求方程3x+2+4x=0的解解由题意得3x+2+4x=0，3xx=42，x=3所以当x=3时，y1与y2互为相反数 四、交流反思1.解方程的一般步骤为 (1)移项； (2)合并同类项； (3)系数化为12.方程解的结果是化为x=a的形式3.移项时要注意改变符号4.将系数化为1时，如果系数是分数，要特别细心，若结果是分数，则要化为最简分数 五、检测反馈1.解下列方程，并写出每步变形的依据 (1)3x+4=0； (2)7y+6=y； (3)41852?x0.2x； (4)13121?x x2.解下列方程 (1)3x7+4x=6x2； (2)10y+5=11y52y； (3)a1=5+2a；3.已知y1=3x+2，y2=4x (1)当x取何值时，y1=y2？ (2)当x取何值时，y1比y2大4?解一元一次方程（一）知识技能目标1.使学生了解一元一次方程的概念，能够灵活运用方程的变形解一元一次方程；2.使学生正确运用移项法则和去括号法则过程性目标1.体会去括号和移项法则的不同之处；2.经历解方程的过程，得出解方程的一般步骤教学过程 一、创设情境上两堂课讨论了一些方程的解法，那么那些方程究竟是什么类型的方程呢？先看下面几个方程每一行的方程各有什么特征？（主要从方程中所含数的个数和次数两方面分析）4+x=7；3x+5=72x；1362?y y；x+y=10；x+y+z=6；x2-2x3=0；x3-1=0 二、探究归纳比较一下，第一行的方程（即前3个方程）与其余方程有什么区别？（学生答）可以看出，前一行方程的特点是 (1)只含有一个数； (2)数的次数都是一次的“元”是指数的个数，“次”是指方程中含有数的项的最高次数，根据这一命名方法，上面各方程是什么方程呢？（学生答）只含有一个数，并且含有数的式子都是整式，数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程(linear equationwith oneunknown)第二行的方程的特点是每一个方程中的数都超过一个；第三行的方程的特点是每一个方程中的数的次数都超过一次，根据一元一次方程的定义可知后四个方程都不是一元一次方程2注意谈到次数的方程都是指整式方程，即方程的两边都是整式像3=x这样就不是一元一次方程上两堂课我们探讨的方程都是一元一次方程，并且得出了解一元一次方程的一些步骤下面我们继续通过解一元一次方程来探究方程中含有括号的一元一次方程的解法解方程2(x2)3(4x1)9(1x)分析方程中有括号，设法先去括号解2x412x+3=99x，?去括号10x1=99x，?方程两边分别合并同类项10x+9x=1+9，?移项x=10，?合并同类项x=10?系数化为1注意 (1)括号前边是“”号，去括号时，括号内各项都要变号； (2)用分配律去括号时，不要漏乘括号内的项； (3)x=10，不是方程的解，必须把系数化为1，得x=10，才是结果从上面的解方程可知，解含有括号的一元一次方程的步骤是 (1)去括号； (2)移项； (3)合并同类项； (4)系数化为1 三、实践应用例1解方程3(x2)1=x(2x1)分析方程中有括号，先去括号，转化成上节课所讲方程的特点，然后再解方程解去括号3x6+1=x2x+1，合并同类项3x5=x+1，移项3x+x=1+5，合并同类项4x=6，系数化为1x=1.5例2解方程?53)12(3123?x x分析方程中有多重括号，那么先去小括号，再去中括号，最后去大括号解去括号?5336123?x x，合并同类项?56123?x x，去括号?56123?x x，合并同类项?5143?x，去括号12x3=5，移项12x=8,系数化为132)121 (8)12(8?x注1.本题多次进行了合并同类项和去括号，解题时根据方程的特点灵活地选择步骤2.也可把全部括号去掉后，再合并同类项后，解方程例3y取何值时，2(3y+4)的值比5(2y7)的值大3？分析这样的题列成方程就是2(3y+4)5(2y7)=3，求x即可解2(3y+4)5(2y7)=3，去括号6y+810y+35=3，合并同类项4y+43=3，移项4y=40，系数化为1y=10答当y=10时，2(3y+4)的值比5(2y7)的值大3 四、交流反馈解一元一次方程的步骤 (1)去括号； (2)移项； (3)合并同类项； (4)系数化为1注 (1)去括号是依据去括号法则和分配律，去括号时要特别注意括号外的符号，同时不要漏乘括号中的项！ (2)去括号后，若等式两边的多项式有同类项，可先合并同类项后再移项，以简化解题过程 五、检测反馈1.下列方程的解法对不对？如果不对怎样改正？解方程2(x+3)-5(1-x)=3(x-1)解2x+35-5x=3x-3，2x-5x3x=-3+5-3，-6x=-1，61?x2.解下列方程21)1 (5)1(?x； (2)5(x+2)=2(5x1)； (3)2(x2)(4x1)=3(1x)； (4)4x-3(20-x)=6x-7(9-x)；3列方程求解 (1)当x取何值时，代数式3(2-x)和2(3+x)的值相等？ (2)当x取何值时，代数式3(2-x)和2(3+x)的值互为相反数？4已知32?x是方程m x x m523)43(3?的解，求m的值解一元一次方程（二）知识技能目标1.使学生掌握去分母解方程的方法，并总结解方程的步骤；2.灵活运用解方程的一般步骤，提高综合解题能力过程性目标1.通过去分母解方程，进一步体会去括号和添括号法则；2.合理地进行方程的变形，体会利用方程的特点灵活、简洁地解一元一次方程的方法教学过程 一、创设情境通过上几节课各例的探讨，得出了解一元一次方程的方法，以上所解的各个方程，都有一个共同的特点，数的系数都是整数，如果数的系数是分数时，怎样来解这种类型的方程呢？ 二、探究归纳解方程131223?x x分析只要把分母去掉，就可将方程化为上节课的类型3121和的分母为2和3，最小公倍数是6，方程两边都乘以6，则可去分母解去分母3(x3)2(2x+1)=6，去括号3x94x2=6，合并同类项x11=6，移项x=17,系数化为1x=17在上述解方程的过程中，第一步是方程的两边都乘以同一个数6，使方程的系数不出现分数这样的变形通常称为“去分母”注1.去分母，就是方程两边同乘以各分母的最简公分母；2.去分母时，注意不要漏乘不带分母的项；3.去分母时，带分数先化为假分数后再去分母到现在为止，利用方程的变形，我们解方程的步骤一共有去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，最后把方程化为x=a的形式当然在解方程的过程中，要灵活运用上述步骤 三、实践应用例1解方程x+832434212x x?分析在去分母前，先将带分数212化为假分数，而分母 2、 4、8的最小公倍数为8，所以方程两边都乘以8就可以了解x+83243425x x?去分母，得8x+20=2(4x+3)(23x)，去括号，得8x+20=8x+62+3x，移项，得8x8x3x=6220，合并同类项，得3x=16，系数化为1，得x=316说明方程中含有分母，解方程时，一般宜先去分母，再做其它变形去分母时应注意 (1)所选的乘数是方程中所有分母的最小公倍数，不应遗漏； (2)用各分母的最小公倍数乘方程的两边时，不要遗漏方程中不含分母的项； (3)去掉分母后，分数线也同时去掉，分子上的多项式要用括号括起来例2解方程033)321(212121?x分析如果采用先去小括号，再去中括号，然后去大括号的方法，分母将变为16，使解方程的运算过程变得复杂，所以可考虑先去大括号，再去中括号，然后去小括号的方法来解这个方程解去分母，得033)321(2121?x，移项，得33)321(2121?x，去分母，得63)321(21?x，移项，得9)321(21?x，去分母，得18321?x，移项，得2121?x，系数化为1，得x=42分析考虑到先去括号后，)9(3131?x的值与方程右边的项)9(91?x相同，通过移项，方程左右两边的这两项可互相抵消，从而简化解方程的过程解去括号，得x)9 (91)9(9131?x x x，移项，得x0)9 (91)9(9131?x x x，合并同类项，得032?x，系数化为1，得x=0学习例 3、例4 四、交流反思解一元一次方程的一般步骤是 五、检测反馈1.指出下列方程求解过程中的错误，并给予纠正 (1)解方程1524213?x x解15x5=8x+41，15x8x=41+5，7x=8，x=87 (2)解方程246231x x x?解2x2x+2=123x，2xx+3x=12+2+2，4x=16，x=42.解下列方程 (1)47815?a； (2)15334?x x3.解方程 (1)x x232)73(72?； (2)x x532)21(223?； (3)2.4xx535.24?； (4)22)141(34?x x； (5)1 (32)1(2121?x x x； (6)146)151(413121?x解一元一次方程（三）知识技能目标1.掌握分母中含有小数的一元一次方程的解法,灵活运用解方程的步骤解方程；2.利用方程解决有关数学题过程性目标体会由数学题提供的信息转化为方程的方法，利用方程的意义解决数学题教学过程 一、创设情境通过前面的学习，得出了解一元一次方程的一般步骤，任何一个一元一次方程都可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤转化成x=a的形式因此当一个方程中的分母含有小数时，应首先考虑化去分母中的小数，然后再求解这个方程 二、探究归纳解方程12.04.13.032307.002.009.0?x x x分析此方程的分母中含有小数，通常将分母中的小数化为整数，然后再按解方程的一般步骤求解解12.04.13.032307.002.009.0?x x x利用分数的基本性质，将方程化为?729x12143323?x x，去分母，得6(9x2)14(32x)21(3x14)=42，去括号，得54x+124228x63x294=42，移项，得54x28x63x421242+294，合并同类项，得37x=366，x=37366注解此方程时一定要注意区别将分母中的小数化为整数根据的是分数的基本性质，分数的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变，所以等号右边的1不变去分母是方程的两边都乘以各分母的最小公倍数 (42)，所以等号右边的1也要乘以42，才能保证所得结果仍成立 三、实践应用例1解方程6.003.02.05.05.01.24.0?x x分析这个方程的分母含有小数，可依据分数的基本性质，先把分母化为整数再去分母后求解解原方程可化为53320505214?x x，去分母，得3（4x+21）5（5020x）=9，去括号，得12x+63250+100x=9，移项，得12x+100x=963+250，合并同类项，得112x=196，系数化为1，得47=112196=x例2解下列方程 (1)3(2x1)4=1(2x1)； (2)1334234634?x x x； (3)232)4123(3431?x分析我们已经学习了解方程的一般步骤，具体解题时，要观察题目的结构特征，灵活应用步骤第 (1)小题中可以把(2x1)看成一个整体，先求出(2x1)的值，再求x的值；第 (2)小题，应注意到分子都是4x+3，且1312161?，所以如果把4x+3看成一个整体，则无需去分母；第 (3)小题可以先去小括号再去分母求解，也可以边去分母边去括号求解说明解方程时，要注意观察分析题目的结构，根据具体情况合理安排解题的步骤，注意简化运算，这样可以提高解题速度，培养观察能力和决策能力例3当x为何值时，代数式318x?与x1互为相反数？分析两个数如果互为相反数，则它们的和等于0，根据相反数的意义列出以x为数的方程，解方程即可求出x的值解因为318x?与x1互为相反数，所以318x?+x1=018+x+3x3=0，4x=15，所以x=415答当x=415时，代数式318x?与x1互为相反数例4当k取何值时，方程2(2x3)=12x和8k=2(x+1)的解相同？分析由方程2(2x3)=12x可求出它的解为x=67，因为两个方程的解相同，只需把x=67代入方程8k=2(x+1)中即可求得k的值解由2(2x3)=12x得，4x6=12x，4x+2x=1+6，6x=7，x=67把x=67代入方程8k=2(x+1)，得8k=2(67+1)；8k=37+2；k=311；k=311答当k=311时，方程2(2x3)=12x和8k=2(x+1)的解相同 四、交流反思这几堂课我们都在探讨一元一次方程的解法,具体解题时要仔细审题，根据方程的结构特征，灵活选择解法，以简化解题步骤，提高解题速度对于利用方程的意义解决的有关数学题，仔细领会题目中的信息，应把它转化为方程来求解 五、检测反馈1.解下列方程 (1)5.702.0202.05.601.064?x x； (2)3.04.05231312818?x x x2.解方程1)21(212121?x xx3. (1)x取何值时，代数式4x5与3x6的值互为相反数？ (2)k取何值时，代数式31?k的值比213?k的值小？4a为何值时，方程a(5x1)3(41x?=6x(x41)有一个根是1?解一元一次方程（四）知识技能目标1.使学生掌握用一元一次方程解决实际问题的一般步骤；初步了解用列方程解实际问题(代数方法)比用算术方法解的优越性；2.通过分析找出实际问题中已知量和量之间的等量关系，并根据等量关系列出方程过程性目标1.通过列出一元一次方程解实际问题的教学，使学生了解“”可以转化为“已知”的思想方法，提高分析和解决问题的能力；2.使学生体会学习数学重在应用，探索将实际问题转化为数学问题的过程，感受实际生活中处处存在数学教学过程 一、创设情境在小学算术中，我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识，那么，一个实际问题能否应用一元一次方程来解决，若能解决，怎样解？用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较它有什么优越性？例1某数的3倍减2等于它的与4的和，求某数（用算术方法解由学生回答）解(4+2)(31)=3答某数为3如果设某数为x，根据题意，其数学表达式为3x2=x+4此式恰是关于x的一元一次方程解之得x3例1的上述两种解法，很明显算术方法不易思考，而应用设数，列出方程并通过解一元一次方程求得应用题的解有化难为易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一我们知道方程是一个含有数的等式，而等式表示了一个相等的关系对于任何一个应用题中所提供的条件应首先找出一个相等的关系，然后再将这个相等的关系表示成方程下面我们通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤 二、探究归纳某面粉仓库存放的面粉运出15后，还剩余42500千克，这个仓库原来有多少面粉？分析题中给出的已知量为仓库中存放的面粉运出15%；仓库中还剩余42500千克量为仓库中原来有多少面粉已知量与量之间的一个相等关系原来重量运出重量剩余重量设原来有x千克面粉，运出15%x千克，还剩余42500千克列表如下解设原来有x千克面粉，那么运出了15%x千克，根据题意，得x15%x=42500解得，x=50000经检验，符合题意答原来有50000千克面粉说明 (1)此应用题的相等关系也可以是原来重量=运出重量+剩余重量，原来重量剩余重量=运出重量它们与“原来重量运出重量=剩余重量”形式上不同，实际上是一样的，可以任意选择其中的一个相等关系来列方程上例的解方程较为简捷，同学应仔细体会根据上例分析，同学们思考一下列一元一次方程解实际问题的方法和步骤，根据同学总结的情况，老师归纳如下 (1)仔细审题，透彻理解题意即弄清已知量、量及其相互关系，并用字母(如x)表示题中的一个合理数； (2)根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系（这是关键步骤）； (3)根据相等关系，正确列出方程，即所列方程应满足两边的量要相等，方程两边代数式的单位要相同，题中条件要充分利用，不能漏用，也不能将一个条件重复利用； (4)解方程，求出数的值； (5)检验后写出完整答案 三、实践应用例1如图，天平的两个盘内分别盛有51g、45g盐，问应该从盘A内拿出多少盐放到盘B内，才能使两者所盛盐的质量相等？分析设应从盘A内拿出盐xg,可列出下表等量关系盘A中现有的盐盘B中现有的盐解设应从盘A内拿出盐xg，放到盘B内，则根据题意，得51x=45+x解这个方程，得x=3经检验，符合题意答应从盘A内拿出盐3g放到盘B内例2学校团委组织65名团员为学校建花坛搬砖初一同学每人搬6块，其他年级同学每人搬8块，总共搬了400块问初一同学有多少人参加了搬砖？分析设初一同学有x人参加搬砖，可列出下表等量关系初一同学搬砖数+其他年级同学搬砖数=400解设初一同学有x人参加搬砖，则根据题意，得6x+8（65x）=400解这个方程，得x=60经检验，符合题意答初一同学有60人参加了搬砖学习例3解设这瓶药水原有x升由题意，得答这瓶药水原有12升 四、交流反思用一元一次方程解答实际问题，关键在于抓住问题中有关数量的相等关系，列出方程求得方程的解后，经过检验，就可得到实际问题的解答这一过程也可以简单地表述为其中分析和抽象的过程通常包括 (1)弄清题意和其中的数量关系，用字母表示适当的数； (2)找出能表示问题含义的一个主要的等量关系； (3)对这个等量关系中涉及的量，列出所需的表达式，根据等量关系，得到方程在设数和解答时，应注意量的单位要统一 五、检测反馈1.足球的表面是由一些呈多边形的黑、白皮块缝合而成的，共计有32块，已知黑色皮块数比白色皮块数的一半多2，问两种皮块各有多少？2.学校田径队的小刚在400米跑测试时，先以6米/秒的速度跑完了大部分路程，最后以8米/秒的速度冲刺到达终点，成绩为1分零5秒，问小刚在冲刺阶段花了多少时间？3.上题中，若问“小刚在离终点多远时开始冲刺”，你该如何求解？4.学校大扫除，某班原分成两个小组，第一组26人打扫教室，第二组22人打扫包干区这次根据工作需要，要使第二组人数是第一组人数的2倍，那么应从第一组调多少人到第二组去？实践与探索 (一)知识技能目标1.使学生能够找出简单应用题中的已知数、数和相等关系，然后列出一元一次方程来解简单应用题，并会根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理；2.使学生掌握列一元一次方程解应用题的一般步骤是 (1)弄清题意和题目中的已知数、数，用字母表示题目中的一个数； (2)找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系； (3)根据这个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程； (4)解这个方程，求出数的值； (5)写出答案（包括单位名称）过程性目标1.使学生体验到列方程解应用题的实质就是分析找出实际问题中的相等关系，并将相等关系中的数量用代数式的形式表示出来，相等关系就被转换成方程这样，一个实际问题的求解问题就被转换成代数中的方程的求解问题；2.使学生体验到等积类应用题的相等关系是变形前的体积变形后的体积等体积变形问题往往用到一些体积公式，要熟记这些公式教学过程 一、创设情境现实生活中，蕴含着大量的数学信息，数学在现实生活中有着广泛的应用解答应用题的过程就是把实际问题抽象成数学问题并进行求解的过程，解方程往往并不困难，难的是如何列出方程，列方程最关键的是如何挖掘问题中的相等关系 二、探究归纳用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形 (2)使长方形的宽比长少4厘米，求这个长方形的面积； (3)比较 (1)、 (2)所得两个长方形面积的大小还能围出面积更大的长方形吗?每小题中如何设数？在第 (2)小题中，能不能直接设面积为x平方厘米？如不能，怎么办？将题 (2)中的宽比长少4厘米改为3厘米、2厘米、1厘米、0厘米（即长宽相等），长方形的面积有什么变化？解这个方程,得x18 (2)设长方形的长为x厘米，则宽为(x4)厘米，根据题意，得2(xx4)60解这个方程,得x17所以，S1317221平方厘米 (3)在 (1)的情况下S1218216平方厘米；在 (2)的情况下S1317221平方厘米还能围出面积更大的长方形，当x15时，面积最大，达到225平方厘米 三、实践应用例1有一梯形和长方形，如图，梯形的上、下底边的长分别为6cm，2cm，高和长方形的宽都等于3cm，如果梯形和长方形的面积相等，那么图中所标x的长度是多少？分析本题有这样一个相等关系长方形的面积梯形的面积我们只要用已知数或x的代数式来表示相等关系的左边和右边，就能列出方程解这个方程，得6x4，x2答x的长度为2cm说明图形面积之间相等关系常作为列方程的依据例2有A、B两个圆柱形容器，如图，A容器内的底面积是B容器内的底面积的2倍，A容器内的水高为10cm，B容器是空的，B容器的内壁高度为22cm若把A容器内的水倒入B容器，问水会不会溢出？分析A容器内的水倒入B容器后，如果水高不大于B容器的内壁的高度，水就不会溢出，否则，水就会溢出因此只要求出A容器内的水倒入B容器后的水高本题有如下的数量关系A容器内的底面积B容器内的底面积的2倍? (1)倒前水的体积倒后水的体积? (2)设B容器内的底面积为a，那么A容器内的底面积为2a，设B容器的水高为xcm，可利用圆柱的体积公式列方程解设A容器内的水倒入B容器后的高度为xcm，根据题意，得2101x，解得x20(cm)因为2022，即B容器内的水高度不大于B容器的内壁的高度，所以水不会溢出 四、交流反思等积类应用题的基本关系式是变形前的体积变形后的体积一般利用几何变形前后的体积相等的等量关系来列出方程 五、检测反馈1.一块长、宽、高分别是4厘米、3厘米、2厘米的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为1.5厘米的圆柱，它的高是多少（精确到0.1厘米，取3.14）？2.在一个底面直径5厘米、高18厘米的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离3.一个角的余角比这个角的补角的一半小40，求这个角的度数4.一张覆盖在圆柱形罐头侧面的商标纸，展开是一个周长为88厘米的正方形（不计接口部分），求这个罐头的容积（精确到1立方厘米，取3.14）.5.有一批截面是长11厘米、宽10厘米的长方形铁锭，现要铸造一个42.9千克的零件，应截取多长的铁锭（铁锭每立方厘米重7.8克）？实践与探索 (二)知识技能目标1.理解并掌握列方程解应用题的关键是分析题意，揭示问题中的相等关系；2.使学生掌握列一元一次方程解应用题的一般步骤是 (1)弄清题意和题目中的已知数、数，用字母表示题目中的一个数； (2)找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系； (3)根据这个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程； (4)解这个方程，求出数的值； (5)写出答案（包括单位名称）过程性目标使学生体验到生活中处处有数学，生活中时时用数学，要掌握数学公式和有关概念，如利息、利率、个人所得税、利息税、利润、成本价等，能在复杂的数量关系中找到相等关系，从而提高分析问题、解决问题的能力教学过程 一、创设情境前面的练习中讨论过的教育储蓄，是我国目前暂不收利息税的税种国家对其它储蓄所产生的利息，征收20%的个人所得税，即利息税小明爸爸前年存了年利率为2.4%的二年期定期储蓄今年到期后,扣除利息税，所得利息正好为小明买了一只价值48.60元的计算器问小明爸爸前年存了多少元？扣除利息的20%，那么实际得到利息的多少？你能否列出较简单的方程？ 二、探究归纳这是求利率的问题，是有关本金、利率、利息之间关系的一类应用题，基本数量关系是利息本金利率；本息和本金利息；利息税利息20% 三、实践应用例1某文具店出售每册120元和80元的两种纪念册，两种纪念册售后都有售价30%的利润，但每册120元的销售情况不佳某人共有1080元钱,欲买一定数量的某一种纪念册，若买每册120元的钱不够，但该店予以优惠如数付给他满足了他的要求，结果文具店获利和卖出同数量的每册80元的纪念册获得一样多，问此人共买纪念册多少册？分析由于利润售价进价，而这些纪念册售价即为1080元，进价为原售价的(130%)，即120(130%)，利润与每册80元的获利一样多，即为8030%，由相等关系可列方程解设共买纪念册x册，根据题意，得1080120(130%)x8030%x解得x10答此人共买纪念册10册例2某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元，若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你帮助设计一下商场的进货方案解分以下情况计算设购进甲种电视机x台，乙种电视机(50x)台，则1500x2100(50x)=90000解得x25,502525设购进甲种电视机x台，丙种电视机(50x)台，则1500x2500(50x)=90000解得x35,503515设购进乙种电视机y台，丙种电视机(50y)台，则1500y2500(50y)=90000解得y87.5,5087.5-37.5(不合题意，舍去)故商场进货方案为甲种25台，乙种25台；或购进甲种35台，丙种15台 四、交流反思利率问题是有关本金、利率、利息之间关系的一类应用题，基本数量关系是利息本金利率；本息和本金利息；利息税利息20% 五、检测反馈1肖青的妈妈前年买了某公司的二年期债券4500元，今年到期，扣除利息税后，共得本利和约4700元问这种债券的年利率是多少（精确到0.01%）？2某银行设立大学生助学贷款，分34年期，57年期两种贷款年利率分别为6.03%、6.21%，贷款利率的50%由国家财政贴补某大学生预计6年后能一次性偿还2万元，问他现在大约可以贷款多少（精确到0.1万元）？实践与探索 (三)知识技能目标1.使学生能够找出简单应用题中的已知数、数和表示应用题全部含义的相等关系，然后列出一元一次方程来解简单应用题，并会根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理；2.使学生掌握列一元一次方程解应用题的一般步骤是 (1)弄清题意和题目中的已知数、数，用字母表示题目中的一个数； (2)找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系； (3)根据这个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程； (4)解这个方程，求出数的值； (5)写出答案（包括单位名称）过程性目标1.使学生理解并掌握这题属于和倍、差倍问题，关键词语是“增加了”，还是“增加到”，例如原有的为a，增加了它的x倍后为a(1+x)；原有为a，增加到它的x倍后应为ax2.使学生体验到通过分析列出一元一次方程解应用题，了解“”可以转化为“已知”，提高分析和解决问题的能力，解决实际问题教学过程 一、创设情境某工厂去年的总产值比总支出多50万元今年的总产值比去年增加15，总支出比去年减少10，因此今年的总产值比总支出多95万元问去年的总产值和总支出各是多少？分析设去年的总产值为x万元，依题意，有根据今年总产值与总支出的关系列方程 二、探究归纳这题属于和倍、差倍问题，关键词语是“增加了”，还是“增加到”；甲比乙多a倍，还是甲是乙的a倍例如原有的为a，增加了它的x倍后为a(1+x)；原有为a，增加到它的x倍后应为ax 三、实践应用例某商品xx年比xx年提价5，xx年又比xx年提价10，估计xx年比xx年降价12，则xx年比xx年提价的百分比是多少？分析此题是以xx年的价格为标准来研究提价和降价问题的，但又没有给出xx年的价格，所以应当设一个字母来代表xx年的价格，才便于分析问题、列方程、解这个题解设某商品xx年的价格是a元，则xx年的价格为(1+5)a元，xx年的价格为(1+5