函数图象的对称教案

函数图象的对称教案【教学目标】1让学生掌握函数关于点（或直线）的对称函数解析式的求法；2让学生了解函数图象的自对称和两函数图象之间的相互对称问题【教学重点】函数（或曲线）关于点（或直线）的对称问题的解法【教学难点】自对称和相互对称的区别【例题设置】例1、例2、例3（函数（或曲线）关于点（或直线）的对称问题的解法），例4（函数的对称问题）【教学过程】一、函数关于点（或直线）的对称函数解析式的求法例1写出点关于下列直线或点对称的点的坐标对称点或对称直线方程对称点的坐标轴轴原点点直线直线当对称轴斜率为1时，点坐标符合口诀：用代，用代直线直线直线直线直线只需掌握其方法即可点评：将点改为函数图象或曲线解法类似，其步骤大致如下：将所求曲线上的任意一点，求其关于点（或直线）的对称点，再将点的坐标代入原方程，即可得到所求的轨迹方程因此所有的对称问题最终都将归结为点的对称问题,只要记住对称点的写法,问题便迎刃而解.例2已知函数，则其关于原点对称的函数解析式为；关于直线对称的函数解析式为答案：；思考：情形一中的范围是如何给出的，为何要限定其范围？例3已知定义在上的奇函数的图象与函数的图象关于点对称，且当时，求的解析式解：设（）为的图象上的任意一点，则其关于点的对称点（）必在的图象上，故当时，当时，且为奇函数综上所述， 例4设函数的定义域为，则下列命题中：若为偶函数，则的图象关于轴对称；若是偶函数，则的图象关于直线对称；若，则的图象关于直线对称；若，则的图象关于直线对称；与图象关于直线对称与图象关于直线对称其中正确命题的序号为：答案：点评：其中注意的区别，指的是的图象自身的一种对称关系；而与是函数通过复合变换后得到的两个新的函数图象，要求的应是这两个函数图象的对称关系二、函数图象本身的对称性（自身对称）命题1：设函数的定义域为，若对于一切的，都有，则函数的图象关于直线对称推论：设函数的定义域为，若对于一切的，都有，则函数的图象关于直线对称命题2：设函数的定义域为，若对于一切的，都有，则函数的图象关于点对称推论：设函数的定义域为，若对于一切的，都有，则函数的图象关于点对称三、两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）命题3：函数与的图象关于直线对称命题4：函数与的图象关于点成中心对称下面只给出命题1的证明，其它命题及推论的证明类似证法一：由知函数为偶函数，其图象关于轴对称另一方面，将的图象向右（）或向左（）平移个单位得到的图象，故函数的图象关于直线对称证法二：由知点与点都是函数上的点，而的中点为，即点关于直线对称，由点的任意性可知，函数的图象关于直线对称证法三：设点为函数的图象上的任意一点，其关于直线对称的点为 对于一切的，都有即点也在函数的图象上由点的任意性可知，函数的图象关于直线对称四、函数的周期性命题5：设函数的定义域为，若对于一切的，都有，则函数是以为周期的周期函数命题6：设函数的定义域为，若对于一切的，都有，则函数是以为周期的周期函数【课堂小结】1所有的对称问题最终都将归结为点的对称问题，要牢记例1的结论；2给出的如果是函数自身的一个关系，则：若前系数互为相反数，则是有关对称性；若前系数相同，则有关