函数与方程思想高三理科精短稿

函数与方程思想 回归课本 函数与方程的思想 055350 河北隆尧一中 焦景会 电话：数思想是一种通过构造函数从而应用函数性质解题的思想方法，深刻理解函数的具体特性，是应用函数思想解题的基础，恰当的构造函数和妙用函数性质是解题的关键；方程的思想是对方程概念的本质认识，就是利用数学中的变量间的等量关系，建立方程或方程组或构造方程，通过解方程（组），或运用方程性质去分析转化问题，从而使问题解决。函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)0的解就是函数yf(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数yf(x)也可以看作二元方程f(x)-y0，通过方程进行研究。一、运用函数与方程、不等式相互转化的观点解决问题问题1、已知函数 且，（1）求f(x)的定义域；（2）判断f(x)的奇偶性，并予以证明；（3）当a1时，求使f(x)0的x的取值范围。这是大纲人教版高一课本上一道参考例题，解答过程此处不再重复。类似的看下面问题。演变1、已知函数f(x)=logm，(1)若f(x)的定义域为，（0），判断f(x)在定义域上的单调性，并加以说明；(2)当0m1时，使f(x)的值域为logmm(1)，logmm(1)的定义域区间为,(0)是否存在？请说明理由。 解 （1）x3或x3。f(x)定义域为,3。设x1x2，有，当0m1时，f(x)为减函数，当m1时，f(x)为增函数。 （2）若f(x)在,上的值域为logmm(1),logmm(1)，0m1, f(x)为减函数， 即，即,为方程mx2+(2m1)x3(m1)=0的大于3的两个根， ， 0m，故当0m时，满足题意条件的定义域区间,存在。点评：本题包含了函数的性质，方程思想的应用，函数单调性的定义判断法，单调性的应用，方程根的分布，不等式组解法，体现了函数与方程、不等式之间的相互转化关系。演变2、设，是函数的反函数图象上不同的三点，若有且只有一个实数x使得成等差数列，求实数a的取值范围。解：由已知可得，又成等差数列，故问题转化为方程只有一个实根的条件，即。（1） 当，即，亦即时，满足满足条件。（2）当，即时，。，即满足条件，故有，解得。又当时，P，Q，R三点重合，所以所求实数a的取值范围或。 O 1 xy图2y=a点评：运用方程的观点解决问题要注意从问题的结构入手，抓住一个关键变量，将等式看成关于这个主变量（常称主元）的方程，然后具体研究这个方程。 O 1 xy图1二、构造函数或方程解决有关问题。问题2、画函数图象。 -3 O 4 xu这是大纲人教版高一课本上一道复习参考题，图象如图1。演变3、讨论方程的解的个数。解：设，作出函数图象,如图2，两图象交点个数即方程解的个数。故当或时，方程有两解；当时，方程有三解；当时，方程有四解。演变4、已知方程，且，求方程两根之和。y图3 O x解：设，如图3所示。当时，曲线与有两个交点，且关于直线对称，即两根之和为。演变5、已知整系数二次方程在中有两个不同的解，求最小正整数m。解：设，有两根，则f(x)可表示为，而f(x)为整系数函数，故 （1），（2），由得 （3），而 （4），同理（5）。由（4），（5）得，结合（3）得 ，。假设m=5，则,应为整数。若， , 知分别为，此时m=5 , p=1，故m的最小值为5。点评：题中除未知数外含三个字母，且均为整数，按常规列出：，再根据，进行分析，但这种解法十分麻烦。本题解法思路开拓，不生搬硬套，这是现行高考的基本要求。练一练1、对于函数f(x)，若存在x0R,使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点。已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b1)(a0)。（1）若a=1,b=2时，求f(x)的不动点；（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B关于直线y=kx+对称，求b的最小值。解 （1）当a=1,b=2时，f(x)=x2x3，由题意可知x=x2x3，得x1=1,x2=3，故当a=1,b=2时，f(x)的两个不动点为1,3。 （2）f(x)=ax2+(b+1)x+(b1)(a0)恒有两个不动点，x=ax2+(b+1)x+(b1)，即ax2+bx+(b1)=0恒有两相异实根，=b24ab+4a0(bR)恒成立。 于是=(4a)216a0，解得0a1，故当bR，f(x)恒有两个相异的不动点时，0a1。（3）由题意A、B两点应在直线y=x上，设A(x1,x1),B(x2,x2)，又A、B关于y=kx+对称，k=1 设AB的中点为M(x,y)，x1,x2是方程ax2+bx+(b1)=0的两个根，x=y=。又点M在直线上，有，即。a0，2a+2，当且仅当2a=，即a=(0,1)时取等号，故b，得b最小值。 点评：本题体现了将曲线交点或函数值域等问题转化为方程问题解决。练一练2、已知抛物线，（1）设点A的坐标，求曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；（2） 设点A的坐标为(a,0)，,求曲线上点到点A距离的最小值d，写出d=f(a)的函数表达式。解：(1) 设点P坐标(x,y)，则，所以，因此，当x=0时，, 此时，y=0。所以 ,点P坐标为(0,0)。(2) 设点P坐标为(x,y)，则。同理有.(i) 当时，在处；(ii) 当a1时，在x=0处。所以。点评；这是一道圆锥曲线与二次函数最值相结合