安徽屯溪第一中学高三数学第二次月考理

安徽省屯溪第一中学2018届高三上学期第二次月考数学试题（理科）1. 已知集合，则（ ）. . . .【答案】A【解析】由解得或，知，所以，故选A.2. 已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】由得：，故对应的点在第三象限，选C.3. 已知数列满足，且若，则正整数（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由知，数列是等差数列，首项是，公差是，所以，所以可化为，解得，故选C.4. 设点是双曲线 上的一点，分别是双曲线的左、右焦点，已知,且，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】在RT中，设，则由勾股定理得：，所以，而由双曲线定义知，离心率，故选D.5. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是,，则该四面体的正视图的面积不可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是：（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是以正方体的顶点为顶点的一个正四面体， 其正视图的最大投影面是在x-O-y或x-O-z或y-O-z面上，投影面是边长为1的正方形，正视图的最大面积为1，不可能为,故选B. 试题点睛：本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图等知识，考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题6. 公元263年前后，我国数学家刘徽发现，当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率上图是某学生根据刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的值为（参考数据：，）A. 48 B. 36 C. 24 D. 12【答案】A【解析】试题分析：由程序框图，值依次为：；，此时满足，输出，故选B.考点：程序框图.【技巧点睛】解题时要注意两种循环结构的区别，这也是容易出错是地方：当型循环与直到型循环.直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”；而当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反.7. 设是由轴，直线 和曲线围成的曲边三角形区域，集合 ，若向区域上随机投一点，点落在区域内的概率为，则实数的值是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据题意，区域即边长为1的正方形的面积为11=1，区域A即曲边三角形的面积为，若向区域上随机投一点P，点P落在区域A内的概率是，则有，解可得，故选D8. 若把函数的图象向左平移个单位，所得到的图象与函数的图象重合，则的值可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】把函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象而，观察所给的选项，只有满足条件，故选A9. 设点在不等式组表示的平面区域上，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域，如图：，则z的几何意义是区域内的点到点D（1，0）的距离的平方，由图象知D到直线2x-y=0的距离最小，此时，所以，故选D.10. 对于平面向量，给出下列四个命题：命题：若，则与的夹角为锐角；命题：“”是“”的充要条件；命题：当为非零向量时，“”是“”的必要不充分条件；命题：若，则.其中的真命题是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：命题：当时, 向量与的夹角可能为,故为假命题；命题：当时 , 则向量中至少有一个零向量或 故；当时, 则，故为真命题；命题：当时,成立；当,向量与为非零向量时,与反向, 未必有,故为假命题；命题：若,则,故为真命题,，正确，故选B.考点：1、向量的基本概念与性质；2、充分条件与必要条件.11. 已知函数的图象在点处的切线为，若也与函数，的图象相切，则必满足（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设与函数，的图象的切点为,则由得,所以.令,则由零点存在定理得,选D.点睛：(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.12. 已知抛物线 的焦点为，点在此抛物线上，且，弦的中点在其准线上的射影为,则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意知，根据重要不等式得：所以，即的最大值为，故选A.13. 已知函数 ，则_.【答案】 ；【解析】因为，所以，又，所以，因为，所以，故填.14. 的展开式中各项系数的和为，则该展开式中常数项为_.【答案】 ；【解析】试题分析：令可得，即，则，分别求出的展开式中的含和和的项的系数分别为，所以展开式中的常数项为.考点：二项式展开式的通项公式及待定系数法15. 已知在直角梯形中，,将直角梯形沿折叠成三棱锥，当三棱锥的体积取最大值时，其外接球的体积为_【答案】 ；【解析】如图：， ，取AC的中点E，AB的中点O，连结DE，OE，取AC的中点E，AB的中点O，连结DE，OE，三棱锥体积最大时，平面DCA平面ACB，OB=OA=OC=OD，OB=1，就是外接球的半径为1，此时三棱锥外接球的体积：16. 用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：的因数有，则；的因数有，则，记数列的前项和为，则_.【答案】 【解析】令，由的定义易知，且若为奇数则， 令，则即，分别取n为1，2，n并累加得又，故答案为：试题点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、递推关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题17. 如图，正三角形的边长为，分别在三边上，且为的中点， （）当时，求角的大小；（）求的面积的最小值以及使得取最小值时的值【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：本题主要考查正弦定理、直角三角形中正切的定义、两角和的正弦公式、倍角公式、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，在中，而在中，利用正弦定理，用表示DE，在中，利用正弦定理，用表示DF，代入到式中，再利用两角和的正弦公式展开，解出，利用特殊角的三角函数值求角；第二问，将第一问得到的DF和DE代入到三角形面积公式中，利用两角和的正弦公式和倍角公式化简表达式，利用正弦函数的有界性确定S的最小值.在BDE中，由正弦定理得，在ADF中，由正弦定理得 4分由tanDEF，得，整理得，所以60 6分（2）SDEDF 10分当45时，S取最小值 12分考点：正弦定理、直角三角形中正切的定义、两角和的正弦公式、倍角公式、三角形面积公式.18. 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的位顾客的相关数据，如下表所示：一次购物量至件至件至件至件件及以上顾客数（人）结算时间（分钟/人）已知这位顾客中一次购物量超过件的顾客占（）确定的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（）若某顾客到达收银台时前面恰有位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过分钟的概率（注：将频率视为概率）【答案】（）所以的分布列为的数学期望为 （） 【解析】试题分析：（）根据总人数有100人，则，由100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%，则知根据这两式得x15，y20，由表格可得X的可以取值为：1,1.5,2,2.5,3；该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率，即可得到分布列与期望.（）由于该客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，则该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的情况为（1、1），（1、1.5），（1.5、1）三种情况，则按照各顾客的结算相互独立，有P(A)P(X11)P(X21)P(X11)P(X21.5)P(X11.5)P(X21)试题解析：（）由已知，得25y1055，x3045，所以x15，y20该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P(X1)，P(X1.5)，P(X2)，P(X2.5)，P(X3)X的分布列为X11.522.53PX的数学期望为E(X)11.522.531.9（）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，Xi（i1，2）为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则P(A)P(X11且X21)P(X11且X21.5)P(X11.5且X21)由于各顾客的结算相互独立，且X1，X2的分布列都与X的分布列相同，所以P(A)P(X11)P(X21)P(X11)P(X21.5)P(X11.5)P(X21)故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为考点：1.离散型随机变量的分布列与数学期望;2.以及相互独立事件的概率的求法.19. 如图，四棱锥中，底面是的菱形，侧面是边长为的正三角形，且与底面垂直,为的中点 （）求证：平面； （）求二面角的余弦值 【答案】（）证明见解析；（）.【解析】略20. 已知椭圆： 过点，且离心率（）求椭圆的方程；（）椭圆长轴两端点分别为，点为椭圆上异于的动点，直线：与直线分别交于两点，又点，过三点的圆是否过轴上不同于点的定点？若经过，求出定点坐标；若不存在，请说明理由【答案】（） ；（） 存在，定点为【解析】试题分析：（1）运用椭圆的离心率公式和点代入椭圆方程，由a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；（2）设，由椭圆方程和直线的斜率公式，以及两直线垂直的条件，计算即可得证试题解析：（）由，解得，故椭圆的方程为 （）设点，直线的斜率分别为，则又：，令得，：，令得，则，过三点的圆的直径为,设圆过定点，则，解得或（舍）故过三点的圆是以为直径的圆过轴上不同于点的定点试题点睛：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查离心率公式的运用，同时考查直线的斜率公式的运用，圆的直径所对的圆周角为直角，属于中档题涉及定点定直线等问题时，一般先假设存在，然后根据条件推导，注意直线过定点的直线系形式21. 设函数.（）证明：当时，；（）设当时，成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】本试题主要是考查了运用导数在研究函数的综合运用，证明不等式的恒成立问题。（1）先求解导数然后分析单调性，转换为求解函数的最小值大于零即可。（2）要根据当时，成立求解参数a的范围可知需要对于参数a分类讨论研究单调性，进而分析参数的范围。.22. （本小题满分10分）已知函数 （）解不等式；（2）若关于的不等式的解集为空集，求实数的取值范围【答案】（）故不等式的解集