高考临场20招.doc

陕西师范大学基础教育研究院高考临场20招罗增儒高考的遗憾莫过于实有的水平未能充分发挥出来，致使十几年的辛劳毁于两小时的“经验”不足应该知道，数学高考不仅是数学知识的较量，而且也是心理素质和考试技术的较量当一个考生进入封闭考场之后，他（她）的数学知识和数学能力，可以看成一个常数，如何将所掌握的知识转化为阅卷得分点，这就取决于稳定的心态和答题的技术了根据数学高考解题和阅卷的特点（参见文1、2），我们来提供一些正常应试乃至超水平发挥的技术，从“进场前后、答题要领、全局意识、解题策略、分段得分”5个层面组织为考试临场20招第一部分 进场前后进入考场的前后，主要是作好心理准备、物质准备、体力准备和发挥准备第1招：提前进入角色像运动员先做准备运动，像演员提前酝酿感情，考生也应提前进入“角色”，努力把最佳竞技状态带进考场（1）考前调整、休养生息考生在考前一二周应逐渐放松，进入静息状态，并进行生物钟的调整，让作息时间安排得与高考的时间同步，在这段时间内，要保持情绪稳定，降低学习强度，增加睡眠时间，进行轻微活动，熟悉考场细则，做好物质准备，在一种宁静的气氛中主要做识记性的复习工作（勿做难题、偏题、怪题），比如，回想学科的整体结构，舒展脉络，背诵其中的重点内容（如二项式定理、等差（比）数列求和公式、圆锥曲线标准方程、两角和的余弦公式）发现有缺漏时不要焦急，应从容不迫地坐下来翻阅教材和笔记，保持内紧外松“静能生慧”，经过强化训练之后的静息，是记忆恢复的最佳选择，许多发明创造都是在“脑风暴”之后的冷却期出现的，临考前必要的静息，看似失去，实为获得相反，还做难题、还加班加点，会带来精神的过度紧张和体力的过度疲劳，会直接或间接（有形或无形）影响临场的发挥高考是很紧张、很繁重的脑力劳动，心理和体力都消耗很大，需要提前加以储备，入静改善了大脑和全身的生理机能，就为提高智力活动的效率准备了良好的心理氛围与充足的身体能量至于作息时间安排得与高考的时间同步，则能在正式考试时，思维自动进入工作状态并迅速达到高潮（2）熟悉考场，备份清单考生一定要亲临考场（特别是考场未设在本校的考生），熟悉环境，记下来回的路线和行走的时间，认准卫生间和医疗室的位置，一方面可以消除考试时无谓的“新异刺激”，另一方面也能“以防万一”临考当天，应有充足的睡眠，并吃好清淡的早餐赴考离家前，要按预先列好的清单带齐一应用具，如准考证、钢笔（吸饱水）、圆珠笔（两支）、铅笔、橡皮、圆规、三角板、防晕止痛小药片、擦汗小毛巾等，特别不要忘记带准考证和2B铅笔同时要注意当年的规定，能带才带、不能带不带（3）提前活动，进入角色应提前半个多小时到达考场，一方面防止路上出现意外，另一方面可以稳定情绪，让脑细胞开始简单的数学活动，让大脑进入单一的数学情景下面是一些可供选择的建议：陕西师范大学基础教育课程研究中心项目：新课程实施与数学高考命题改革的研究清点所需用具是否齐全把一些基本数据、常用公式、重要定理“过过电影”，特别是一些你认为难记易忘的结论同学之间互问互答一些不太复杂的问题经验表明，“过电影”的成功顺利，互问互答的愉快轻松，不仅能转移临考前的焦虑，而且有利于把最佳竞技状态带进考场，至于背诵基本数据（开方数、平方数、立方数、对数、勾股数、特殊角的三角函数等）、再现重要定理、公式等则常有实惠第2招：迅速摸清“题情”刚拿到试卷，一般心情比较紧张，思考亦未进入高潮，此时不要匆忙作答，可先从头到尾、正面反面通览一遍试卷，弄清全卷共有几页、几题？看看页码是否齐全？卷页是否配套？印刷是否完整、清晰？尤其要认真阅读试卷的说明与各题型的指导语 （1）通览全卷的作用一份试卷，相当于一份学科复习提纲，有了试卷的全貌认识，可使我们有机会从整体结构上获得积极的暗示，便于从学科的知识体系上产生联想，激活回忆，提高分析问题的能力和解决问题的效率为实施正确的答题策略提供尽可能多的客观基础，如“三个循环”（见第3招）、“四先四后”（见第4招）、“一慢一快”（见第5招）等便于统筹安排时间，防止在个别小题上纠缠过久，也能有效克服“前面难题久攻不下，后面易题无暇顾及”的毛病 可以提前防止缺页、残页、空白页，也能从根本上避免漏做题 （2）通览全卷的基本工作通览全卷既是摸清“题情”，又是解题的第一个循环，一般可在不到10分钟的时间内完成4件事：填卷首、看说明、两写三涂即首先填好卷首各栏，如写姓名、写准考证号等项对答题卡则涂类型、涂准考证号、涂科目代号，同时，要要认真阅读试卷的说明与各题型的指导语顺手解答即顺手解答那些一眼看得出结论的简单选择题、填空题，显然，看完全卷比只看开头二三道题更容易找到熟悉的内容，更容易找到会做的题目；而只要能很快解答出一二道题（每套试卷都会有难度系数08以上的热身题），情绪就会迅速稳定下来，并且“旗开得胜”的愉悦感还有一种增力作用，能鼓励自己去作更充分的发挥粗略分类对于不能立即作答的题目，可一面浏览一面按照难度估计，粗略分为A、B两类，A类是指题型比较熟悉、估计上手比较容易的题；B类是指题型比较陌生，自我感觉比较难的题目，以便于“先易后难”地答题 做到三个心中有数首先是对题量心中有数，弄清全卷一共几页、大小几道题，防止漏做题，发现漏印题其次是对题分心中有数，弄清每道题各占多少分，为后面实施“先高后低”作调查，并粗略分配一下各题的解答时间既注重每道题少丢分，更注重全卷多得分最后是对题目的内容分量心中有数，即大致区分一下哪些属于函数题、哪些属于不等式题、哪些属于数列题、哪些属于三角函数题、哪些属于立体几何题、哪些属于解析几何题、哪些属于概率统计题、哪些属于微积分题，为实施“先同后异”做好准备第二部分、答题要领通览全卷之后，思考逐渐进入高潮，建议掌握好三个答题要领第3招：三轮答题就是说，完整解答一套试题可经过3个循环（三轮答题法）一头一尾是两个小循环，各用10分钟左右，中间是一个大循环，用将近100分钟（1）第一循环：通览全卷即在通览全卷的同时，先做简单题的第一遍解答，这是一个小循环按高考题的难度比例3：5：2计算，可以先从那30%的容易题入手，获二三十分；同时，把情绪稳定下来，将思考推向高潮 （2）第二循环：全面解答即用将近100分钟的时间，基本完成全卷，会做的都做了在这个大循环中，要有全局意识，能作整体把握，并执行“四先四后”（参见第4招）、“一慢一快”（参见第5招）的方针（3）第三循环：复查收尾即用大约10分钟的时间来检查解答过程并实施“分段得分”（参见第1620招）对于绝大多数考生来说，都不可能在第二循环中答全答对所有的试题，因此要对那些答不全或答不对的题目进行技术性处理这一步的作用有点像足球守门，把住最后一关即使都做完了的题目，也要复查，防止“会而不对、对而不全”这一步是超水平发挥，争取多得分的不可缺少的步骤第4招：四先四后 考虑到满分卷是极少数，绝大多数考生，都只能答对部分题目或题目的部分，因此，执行“四先四后”的技术措施是明智的（1）先易后难就是说，先做简单题，再作复杂题，先做A类题，再攻B类题，容易和困难是因人而异的“难者不会，会者不难”，虽然试卷本身的编排已经原则上考虑到从易到难，但这仅仅是命题组的主观认识，而且数学试卷常常被设计为“两个从易到难的三个小高潮”，（三类题型选择题、填空题、解答题从易到难；每类题型本身又从易到难），就是说，选择题的难题完全可能比填空题的易题困难，而解答题的易题又完全可能比选择、填空的难题容易，所以，进入第二遍答题时，就无须拘泥于从前到后的自然顺序，可根据自己的实际，跳过啃不动的题目，从易到难（被跳过的题目其实还在潜意识里继续思考），特别是不能在低分值的题目上耽误过长时间，防止“前面难题久攻不下，后面易题无暇顾及”（2）先熟后生通览全卷，既可能看到较多的有利条件，也可能看到较多的不利因素，特别是对后者，不要惊慌失措，万一当年试题偏难首先要会自我暗示：“我难别人也不易，水退船低没关系”，“要镇定，别哆嗦，办法总比困难多”，其次，可实行“先熟后生”的策略，就是说，先做哪些内容掌握比较到家，题型结构比较熟悉的题目，后攻那些题型、内容、甚至语言都比较陌生的题目先做在某些方面有熟悉感的题目，容易产生精神亢奋，会使人情不自禁地进入境界，展开联想，促进转化，拾级登高（3）先高后低这是说要优先处理高分题（解答题），特别是在考试的后半段时间，更要注意解题的时间效益，比如：两道都会做的题目，应先做高分题，后做低分题，以减少时间不足的失分；到了最后一二十分钟，也应对那些拿不下来的题目先就高分题实施“分段得分”（参见第五部分），以增加在时间不足的前提下的得分事实证明，“大题拿小分”是一个好主意当然，“先高后低”要与“先易后难”结合起来，不能不分难易，专挑高分题做，否则会造成“高分难题做不出来，低分易题没时间做” （4）先同后异就是说，可考虑同学科、同类型的题目集中处理（如同为函数题、同为方程题、同为不等式题、同为数列题、同为三角函数题、同为立体几何题、同为解析几何题、同为概率统计题、同为微积分题等），这些题目常常用到同样的数学思想、类似的思考方法，甚至同一数学公式，把他们结合起来一齐处理，思考比较集中，方法或知识的沟通比较容易，有利于提高单位时间的效益，一般说来，数学高考解题必须进行“兴奋灶”的转移，思维活动必须进行代数学科与几何学科的相互换位，兴奋中心必须从这一章节跳跃到另一章节，但“先同后异”可以避免兴奋中心转移得过急、过陡和过频这“四先四后”要结合自己的实际，相互配合，产生整体效果第5招：一慢一快就是说，审题要慢、书写要快（1）审题要慢 题目本身是“怎样解这道题”的钥匙只不过其中的积极提示往往是通过语言文字、公式符号以及它们之间的联系间接地告诉我们所以，审题一定要逐字逐句看清楚，力求从语法结构、逻辑关系、数学含义、答题形式、数据要求等各方面真正看懂题意特别要抓好审题的“三个要点、四个步骤”（详见文3 问题19、问题20）三个要点要点1：弄清题目的条件是什么，一共有几个，其数学含义如何要点2：弄清题目的结论是什么，一共有几个，其数学含义如何要点3：弄清题目的条件与结论有哪些数学联系，是一种什么样的结构四个步骤步骤1：读题弄清字面含义步骤2：理解弄清数学含义步骤3：表征识别题目类型步骤4：深化接近深层结构经验表明，凡是题目未明显写出的，一定是隐蔽地给予的，只有细致地审题才能从题目本身获得尽可能多的信息，这一步不要怕“慢”例1 过正方体的顶点作直线，使与棱，所成的角都相等，这样的直线可以作（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条（2010年高考数学江西理科第4题、5分）讲解 （1）条件是什么？正方体可以作出一个正方体图形（图1），正方体中的所有性质视为已知过点的直线与棱，所成的角都相等这里，涉及空间中线线夹角的知识，构成解题的关键与难点正方体的“棱”本义均为线段，但当说夹角时是指棱所在的直线，因而，棱，是可以延长的；直线与棱，的夹角是指不大于的角学生普遍只认识到这两点，这就把选择题当解答题了，其实，四个选择支还提供第3条件，并且，可以作为沟通条件与结论的桥梁 图1 直线存在且不超过4条 （2）结论是什么：求直线的条数（3）沟通条件与结论联系 思路1 从条件出发第一件工作：题目说，至少有1条，你能找出1条来吗？（正方体内找）如图1，正方体内，过点与棱，所成的角都为的体对角线为所求，这样的直线有1条 第二件工作：你还能再找出第2条来吗？ 要突破仅在正方体内找的思维定势，关键是思考棱的延长线：以点为顶点，三条棱落在直线，上的正方体不只1个（参见图2），每一个都有过点的体对角线与三条棱，所成的角都相等，这就又将问题还原为在大正方体内找体对角线 解法1 以点为顶点，三条棱落在直线，上的正方体有8个（参见图2），每一个都有过点的体对角线与三条棱，所成的角都相等，去掉重合的得4条直线，即图2中大正方体的4条体对角线选（D） 领悟 本思路先从小正方体中找1条体对角线，然后再从大正方体中找4条体对角线，在这个过程中可以考查线线夹角的知识和空间想象能力，有分类（正方体内1条、正方体外3条）及转换化归的思想方法思路2 因为与两相交直线夹角相等的直线在两个垂直平分面上，我们可以通过轨迹相交法找出直线解法2 如图2，与棱，所成的角都相等的直线在两个垂直平分面，上；与棱，所成的角都相等的直线在两个垂直平分面上；两类垂直平分面间的交线与棱，所成的角都相等，有4条：选（D） 图2例2 已知为互不相等的实数，且，求（1951年高考数学第4题）讲解 通常认为题目有两个已知条件：（1）显性条件1：，（2）显性条件2：记，试想由及能推出吗？所以，题目还有（3）隐含条件：本例正是由这三个条件推出一个等式这时的思路探求可以这样想：（1）题目是从等式到等式，途经应是恒等变形；（2）题目是从两个等式，到一个等式，途经应是两个等式的合并；（如何合并？）（3）题目是从到，途经应是消元，消去； （4）题目是从分式到整式，途经可以去分母，也可以抵消分母由此可以得“设比值”之外的更多解法如另解1 （消除分式与整式，6个字母与3个字母间的差异） （用显性条件2） （用隐性条件）另解2 由已知有， ，相加得 另解3 对已知式的前两项用等比定理，有 ， 即 ， 得 ，得 另解4 已知表明，两条直线重合： ， ， 由于直线通过点，所以直线也通过点，得 （2）书写要快首先，在宏观上要有争分夺秒的速度意识，因为高考本身有时间限制，有速度要求据统计，一套高考数学试卷通常控制在2000个左右的印刷符号，若以每分钟阅读300 400个印刷符号的速度审题，约需57分钟，考虑到有的题目要反复阅读，实际需要12分钟：书写主要用于解答题，约3000个印刷符号，按每分钟150个印刷符号的速度书写，约需28分钟，也就是说，看清题目后直接抄标准答案都需要40分钟，留给思考、草算、文字组织和复查检验的时间只有80分钟，平均到每一问（通常是每卷都不下20题、约30问），保证不了3分钟为了给解答题留下思考的时间，选择题、填空题就只能在一二分钟内解决，解决不了的就先跳过去（被跳过的题目其实还在潜意识里继续思考）；解答题中容易的题也不妨边想边写，节省草算时间，一般地，选择题、填空题与解答题的时间比可分配为4：6其次，具体到每一道题，一旦找到解题思路，书写要简明扼要、快速规范，不要拖泥带水，啰嗦重复，更别画蛇添足（导致倒扣分），用阅卷教师的行话来说，就是要写出“得分点”，就数学题而言，一个原理写一步就可以了，至于不是题目要直接考查的过度知识，特别是那些初中知识，可以直接写出结论，须知，多写一步就是多出现一个犯错误的机会，就是多占用了后面高分题的一点思考时间，这意味着“隐含失分”或“潜在丢分”为了节约书写，我们建议多使用数学语言、集合符号、充要条件例3 如图3，直线的方程为，其中；椭圆的中心为，焦点在轴上，长半轴长为2，短半轴长为1，它的一个顶点为问在哪个范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点的距离等于该点到直线的距离 （1988年高考数学理科第七题、12分） 解法1 假定椭圆上有符合题意的四个点，则这四个点的坐标都应满足下面的椭圆方程 ， （1分） 图3又这四个点的坐标应满足下面的抛物线方程， （2分）从而它们都是下面的方程组的实数解： （3分）将式代入式，得，即 （4分） 由于上述方程组有4个不同的实数解，所以方程的判别式应大于零所以原方程组有4个不同的实数解，当且仅当方程有两个不相等的正根而这又等价于 ， （5分）整理得 ，解此不等式得 或 （7分） 由已知，椭圆上的点的横坐标都大于零，所以方程的两个根都应为正数，于是得 ，解此不等式得 （9分） 由、以及已知条件得 （10分）反之，当时，方程的判别式应大于零，从而方程有两个不相等的实数根，又由于方程的常数项，一次项，所以都为正数把分别代人中，可解得 显然两两不相等由于适合式与式，从而也适合式，因此点是符合题意的点同理，都是符合题意的点，并且它们是互不相等的 （12分）综上述，所求的的取值范围为 说明 这个解法不但冗长，而且很容易漏掉“反之”，被扣2分解法2 椭圆上有四个点符合题意的充分必要条件是方程组 （3分）有4个不同的实数解，这等价于 （5分）有4个不同的实数解，这又等价于方程有两个不相等的正根， （6分）其充要条件是 （9分） 在的条件下，解此不等式组，得到 （12分）说明 解法2所用到的知识，所出现的表达式与解法1几乎一样，但篇幅还不到解法1的一半，还避免了“检验”的扣分区别在于解法1先证“必要性”，后证“充分性”；而解法2用了“充分必要条件”，简洁而完备第三部分、全局意识高考不是按满分录取的，也没有单科的最低控制线因此，部分题目失分、个别科目未考好并不影响录取，关键是加总分能进入录取线，上述“四先四后”已经体现了临场的全局意识，此外还有3条建议第6招：立足中下题目，力争高上水平平时做作业，全都是按照全做全对来要求的，但高考却不然，只有极个别的学生能够完成所有的题目，获得满分（2010年陕西数学理科满分20人、文科满分20人），因为时间和难度都不允许多数学生去做完、做对全部题目（据知，当今高考命题通常按50%60%考生能做完、但不保证做对来设计题量的），所以，每个考生都要有这样的战略眼光：立足中下题目应该看到，中下题目通常占全卷的80%（计120分），是试卷构成的主要成分，是考生得分的主要来源，是高校录取的主要依据，并且还是进一步解高难题的基础我们说“前120分若能稳拿，后30分就更有希望”确实，考生若能攻下全部中下档题目，稳拿120分，应该认为这已打了一个大胜仗已经获得了一个成功的奖赏，它为后面攻克高难题准备了时间和心理能量，更容易出现超水平的发挥，退一万步说，各科的难题都做不了，仅凭80%的得分率（总分可得75008=600分），录取通知书也已遥遥在望了相反，若因为还有二三十分的题做不出来（满分150分），感到很紧张、很焦急，总想全做全对，就只会更加发挥不好，甚至忙中出错，把本来做对的地方也改错了（检查中遇到两种解法，没把握时，可印象优先、尊重第一选择）应该知道，高考是加总分录取的，它是依据相对分数的优势从前往后选择的就像奥运会比赛，关键不是破世界纪录，而是得金牌，当然，既得金牌又破纪录是一件两全其美的好事，但对多数考生来说，要害是“考上”！要确保基础分，拿下力争分，不丢零碎分 第7招 立足一次成功，重视复查环节高考的时间很紧张，不可能做大量细致的解后检验，所以，答题要立足于一次成功，稳扎稳打，字字准确，步步有据，努力提高解题的成功率，最好是每进行一步书写时，都用眼睛的余光扫视上下两行，顺便检验有无差错（步步检验）！有的考生上一行写，下一行变为 ，想填（），却填了（），还有是试卷翻页时忙中出错造成“方法全对，结论全错”，心是手非，实在可惜！如其匆匆忙忙做6题对5题，不如扎扎实实做5题对5题在这个基础上，还要有最后把关的检验这是解决“会而不对，对而不全”的一个有效措施检验应“以粗为主，粗细结合”，粗检验主要看题目有无遗漏，题意有无弄错，要求是否符合，具体到每一道题，要看解题过程是否合理，解题步骤是否完整，解题结果是否科学细检验就要具体看每一步推理是否合乎逻辑，每一步计算是否正确无误？定理的条件满足了吗？公式的记忆准确吗？符号、数据抄对了吗？特别是在出现“”号的地方，一定要多留意，不要在移项、去括号时忙中出错为了提高检验的效率，还应熟悉检验的一些基本方法，防止每道题都简单地重复去再算一次，我们建议同学们尝试如下的复查方法：复查核对、代值检验、多解对照、逆向运算、观测估算、量纲检查、特值检验、条件检验、逻辑检验等第8招：内紧外松考试的始终，不宜过分紧张，也不要漫不经心，要有适度的紧迫感和强烈的使命感，又要防止过分焦虑和患得患失，做到坚定、清醒、沉着、从容，叫做“内紧外松”没有紧迫感就没有最佳竞技状态我们说的紧迫感主要指考试过程要放得开，挺得住，精神集中，心态平和、勇于自我鼓励，善于自我暗示，同时还表现为时间观念、速度意识和遇到困难时的信心、勇气、毅力与不屈不挠，应该认识到，个别题目不会做（或来不及做）、有的科目未发挥出应有的水平等都属于正常现象（不必大惊小怪、更别惊慌失措），都要以内紧外松的态度坚持考好每一科，坚持做好每一题，坚持用好每一秒（答题顺利时也别提前交卷），绝不能中途泄气比如，遇到数学解答题较难、思维受阻的情形较多时，就要在心里提示自己：不是自己一个人不会做，大家都难，拿不下来并不影响录取，“我易人易莫大意，我难人难不畏难”从全局上看，高考是加总分录取的，不在乎一题一科的得失，越是在困难的时候越是要有全局意识，越是要想到“东方不亮西方亮，暗了北方有南方”，必要时可以闭目养一养神，或作一作深呼吸第四部分、解题策略由于高考有时间的限定，因而拿到题目要迅速解决“从何处下手”、“向何方前进”这两个基本问题，这与平时做作业没有时间限制是不同的，并且，这些年的试卷强调知识的覆盖面，基本上都是不下二十道题、约三十问，有较高的速度要求怎样才能做到两个迅速呢？我们的建议是掌握高考解题的一些思维规律，首先是明确解题过程，其次是掌握解题策略（如模式识别、差异分析、层次解决、数形结合等）当然，最根本的是学会分析：分析条件、分析结论、分析条件与结论的联系第9招：解题过程我们把寻找习题解答的活动叫做解题过程它通常包括从拿到题目到完全解出的所有环节或每一步骤我们从便于操作理解的角度首先介绍一个四个步骤的解题程序（波利亚）然后提供一个三要点的解题实例 （1）四步骤解题程序弄清问题通常也叫做理解题意，主要是明确已知是什么？求证（解）是什么？亦即从题目本身去获取从何处下手、向何方前进的信息题目的条件和结论是两个信息源从条件发出的信息，预示可知并启发解题手段，从结论发出的信息预告需知并诱导解题方向，为了从中获取尽可能多的信息，我们要逐字逐句地分析条件、分析结论、分析条件与结论之间的关系，常常还要辅以图形或记号，以求得目标与手段的统一（参见第5招及例1、例2）对于大量的常规题来说，题意弄清楚了，题型就得以识别，记忆中关于这类题的解法就召之即来（见第10招模式识别）即使是新的“陌生情景”，我们也有了解决它的目标与原始基础，继而可以用“差异分析”（见第11招）、层次解决、（见第12招）、“数形结合”（见第13招）等措施拟定计划“拟定计划”的过程是探索解题思路的发现过程，也是一个化归过程，我们通常叫做寻找解题思路其最朴素的含义是，把待解决或未解决的问题，归结为一类已经解决或者比较容易解决的问题波利亚的建议是分两步走：努力在已知与未知之间找出直接的联系(模式识别等)，这是最简单的直接化归如果找不出直接的联系，就对原来的问题作出某些必要的变更或修改，引进辅助问题等，这是最实质的曲折化归 中学生寻找思路的一个便于操作的方法是分析法寻找思路的一个简易可行的思考是“特殊化”，先退后进、以退求进（难的不会想简单的）此外，模式识别、差异分析、层次解决、数形结合等都是非常有效的解题策略实现计划就是把打通了的解题思路（即自己看清楚、想明白的事情），用文字具体表达出来，说服阅卷老师在实现计划中“怎样表达”，这对学生来说仍然是一个需要系统指导和严格训练的问题我们建议记住（15字口诀）：定方法、找起点、分层次、选定理、用文字在这个基础上，进一步要做到（24字要领）：方法简单、起点明确、层次清楚、定理准确、论证严密、书写规范（对于网上阅卷，还要安排好书写的位置和字体的大小）回顾 高考的回顾主要是复查检验，看计算是否准确、推理是否合理、思维是否周密、解法是否还有更简单的有的检验是解题的必要步骤，有的检验是避免过失的技术性措施（参见第7招的重视复查环节）平时的回顾还表现为解题后对数学命题的重新认识和对解题方法的评价，积累数学才能（2）三要点解题实例下面是我们进行解题教学的一个示例，主题为“解题教学是解题活动的教学”，包含有三方面的含义：解题活动是一种思维活动，思维活动既有过程又有结果，解题答案主要反映思维活动的结果，而获得答案的实质是发现与发明的过程解题教学不仅要教解题活动的结果（答案），而且要呈现解题活动的必要过程暴露数学解题的思维活动没有过程的结果是现成事实的外在灌输，没有结果的过程是学习时间的奢侈消费，解题教学不仅要获得答案，而且要从获得答案的过程中学会怎样解题，把过程与结果结合起来暴露数学解题的思维活动有两个关键过程，其一是“从没有思路到获得初步思路”的认知过程（我们叫做第一过程的暴露），其二是对初步思路反思的元认知过程（我们叫做第二过程的暴露），解题教学不仅要有第一过程的暴露，而且还要有第二过程的暴露例4 若实数满足，求的取值范围 讲解 题目是由一个等式去确定一个不等式（取值范围） 可以从结论出发也可以从条件出发，可以有代数的视角也可以有几何的视角同学们可以各显神通这是一类中档题，学生普遍能下手，有设（斜率）的，由代入消元的，但大多有“会而不对、对而不全”的毛病教师首先请两位设的同学写出解法1、解法2，然后反思，请另两位同学写出解法3、解法4；接着进行第二、第三、第六次反思，从设到不设，得出11种解法基本情况如下：第一、解题思路的探求（扩元）解法1 设，有，与联立，消去，得关于的一元二次方程 由为实数，有判别式非负 ，即 ，解得 得的取值范围为解法2 设，有，与联立，消去，得关于的一元二次方程 由为实数，有判别式非负 ，解得 得的取值范围为第二、解题过程的第一次反思（1）的取值范围中是包括0的，当时能肯定、必定为一元二次方程吗？（2）你怎么知道、中的能够取到呢？方程中的不能取全体实数，判别式能否取等号要不要验证？（3）消去与消去哪个稍好一些？学生看出消去稍好一些，让学生在原解答的基础上修订解答解法3 （解法1的修订）设，当时，易知，此时点满足题设条件当时，让与联立，消去，得关于的一元二次方程 由为实数，有 ，即 解得 当时，相应的合并得的取值范围为解法4 （解法2的修订）设，当时，易知，此时点满足题设条件当时，让与联立，消去，得关于的一元二次方程 由为实数，有 ，解得 当时，相应的合并得的取值范围为第三、解题过程的第二次反思解法4完善了解法2，但还有反思的余地：（1），既讨论又合并，有无多余的思维回路？（2）除了引进还有什么思路？ 注意到，判别式与配方法是相通的，改用配方法可以避开讨论请看：由求根公式，只需 ， 只需 ，只需 ，只需方程两边乘以4a 这时，式揭示了判别式的实质，它是一个完全平方式，并且在方程的观点之下它是配方的结果，因而就具有配方法与实数平方的双重功能解法5 （配方法）设，与联立，消去，得，两边乘以 ，配方 ， 得 当时，由知，从而；当时，由知，从而所以的取值范围为第四、解题过程的第三次反思以上引进是扩元，这道题只有扩元的思路吗？否定扩元，可以保元也可以消元教师请两位用消元法的学生介绍他们的做法（可以消去也可以消去，下面只呈现消去的）解法6 把代入，有 ，得的取值范围为解法7 把代入，有 ，得的取值范围为第五、解题过程的第四次反思（1）做分母，要不要讨论的情况？分情况讨论是不是必要的？（做分母不是题目本身就有的，讨论是一种办法，但不是好办法，改分母缩小为分子放大，便可以避免分母为0了）（2）要不要验证不等式取等号?解法8 把代入，有，等号当，从而时等式成立，得的取值范围为第六、解题过程的第五次反思（命题背景的揭示）（1）切线斜率背景：（数形结合）的几何意义是抛物线，的几何意义是抛物线上的点与点的斜率，而取最值的几何意义是过点作抛物线切线的斜率这体现了题目的一般性本例还有特殊性，那就是点恰好在准线上，如图4 从更关注直线转移到更关注抛物线，你能对题目产生什么新的认识？是抛物线上的点到准线的距离，它等于抛物线上的点到焦点的距离，由抛物线的定义知等价于（） 由此可以得出新的解法（2）抛物线背景解法9 （抛物线的定义）易知抛物线的焦点为，准线为，由抛物线的定义知等价于， 图4有，（点到直线间的距离，垂线最短） 当时，可以分别取到最大值、最小值，故的取值范围为第七、解题过程的第六次反思抛物线背景的揭示，使我们可以获得消元法的新处理解法10 （抛物线的定义）由有当时，可以分别取到最大值、最小值，故的取值范围为解法11 （抛物线的参数方程）设，则，有 ，当，即时，可以分别取到最大值、最小值，故的取值范围为领悟 题目由一个等式去确定一个不等式可以从结论出发也可以从条件出发，可以有代数的视角也可以有几何的视角，可以扩元、消元也可以保元没有思路的时候，要努力获得思路有了初步思路的时候，要学会反思，通过反思学会解题第10招：模式识别（参见文4）（1）模式识别的基本含义在学习数学的过程中，所积累的知识和经验经过加工会得出一些有长久保存价值或基本重要性的典型模式与重要类型，我们称为解题基本模式，简称模式典型结构与重要类型常常是问题的深层结构当我们遇到一个新问题时，首先辨认它属于已经掌握的哪个基本模式，然后检索出相应的解题方法来解决，这是数学解题中的基本思考，也是解高考题的重要策略，我们叫做模式识别拿到一道高考题题，在理解题意后，立即思考问题属于哪一学科、哪一章节？与这一章节的哪个类型比较接近？解决这个类型有哪些方法？哪个方法可以首先拿来试用？这一想，下手的地方就有了，前进的方向也大体确定了这就是高考解题中的模式识别运用模式识别可以简捷回答解题中的两个基本问题，从何处下手？向何方前进？我们说，就从辨认题型模式入手，就向着提取相应方法、使用相应方法解题的方向前进（2）模式识别在求解高考题中的具体化对中学生的高考解题来说，“模式识别”就是将新的高考试题化归为已经解决的题有两个具体的途径： 化归为课堂上已经解过的题理由1：因为课堂和课本是学生知识资源的基本来源，也是学生解题体验的主要引导离开了课堂和课本，学生还能从哪里找到解题依据、解题方法、解题体验？还能从哪里找到解题灵感的撞针？高考解题一定要抓住“课堂和课本”这个根本理由2：因为课本是高考命题的基本依据有的试题直接取自教材，或为原题、或为类题；有的试题是课本概念、例题、习题的改编；有的试题是教材中的几个题目、几种方法的串联、并联、综合与开拓；少量难题也是按照课本内容设计的，在综合性、灵活性上提出较高要求按照高考怎样出题来处理高考怎样解题应是顺理成章的化归为往年的高考题（或其变形）（4）模式识别的层次解题的模式识别通常有三个层次直接用拿到一道题目，经过辨认，它已属于某个基本模式，于是提取该模式的相应方法来解决（容易题）转化用遇到稍新、稍难一点的题目，可能不直接属于某个基本模式，但将条件或结论作变形后就属于基本模式（中档题）综合用遇到更新、更难的题目，变形也不属于某个基本模式，那么，一方面可以将题目加以分解，使每一个子问题成为基本模式；另方面可以将基本模式加以深化或重组，用整合过的模式来解决新问题（难题）例5 已知抛物线的准线与圆相切，则的值为(A) (B) 1 (C) 2 (D) 4（2010年高考数学陕西省理科第8题、5分）例6 观察下列等式：，根据上述规律，第五个等式为 （2010年高考数学陕西省理科第12题、5分）例7 (几何证明选做题)如图5，已知的两条直角边的长分别为3cm，4cm，以为直径的圆与交于点，则 （2010年高考数学陕西省理科第15题B、5分） 图5以上3题直接来源于课本例8 如图6，三定点；三动点满足（）求动直线斜率的变化范围；（）求动点的轨迹方程 图6 （2006年高考数学陕西省理科第21题、12分）（参见文5） 讲解 在汽车制造业中，法国雷诺汽车公司的工程师贝齐尔提出了一套利用伯恩斯坦多项式的电子计算机设计汽车车身的数学方法，本题的背景正是二次贝齐尔曲线，点的轨迹是一段抛物线据说工人在制造飞机机翼时，正是在点的地方打上铆钉，使得机翼的纵截面为抛物线 虽然本题有伯恩斯坦多项式的高等背景，但求解第（）问只需三次应用当年的课本结论：若，不共线，则（如图7） 因此，不管问题的原始来源如何，对高考解题来说，化归为课堂上已经解过的题是明智和可行的 图7例9 真分数不等式真分数不等式有生动的现实情景，有分析法、综合法、反证法、放缩法，构造法等10多种证明方法，可以作为一个不等式证明的基本模型 题目 请从下面的现实情景中提炼出一个数学命题，然后给出严格的数学证明（1）糖水加糖变甜了（糖水未饱和）（2）某中学计划招收高一新生人，使学生总数达到人，这样高一新生所占比例为，现准备高一扩招人，则高一新生所占的比例变大了（3）盒中有白球和黑球共个，其中白球个，从中任取一个，取得白球的概率为，若再加入白球个，从中任取一个，则取得白球的概率增大了（）建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积和地板面积之比应不小于10%，且这个比值越大，采光越好现将窗户面积和地板面积等积增加，则采光条件变好（）某城市有一矩形广场，该广场为黄金矩形(它的宽与长的比为5：12)，现在中央设计一个矩形草坪，四周是等宽的步行道能否设计恰当的步行道的宽度，使矩形草坪仍为黄金矩形？讲解 以“糖水加糖变甜了”为例这是一个尽人皆知的生活事实，这里有数学道理吗？该用什么样的数学关系式来表示呢？ 首先，这个情境具有不等式的必要因素与必要形式变甜、变咸所表达的是大小关系，记为这里用到了字母表示数的知识其次，这个情境代表什么不等式呢，它又应该用怎样的式子表达出来呢？这要调动“浓度”的概念并继续用字母表示数，设克糖水里有克糖（），则而？这还没有把加糖反映出来，有待表示再设加入克糖（），得 最后，“糖水加糖变甜了”就是于是得到一个真分数不等式：若，则 “糖水加糖”的情境本身有很大的拓展空间比如（1）将3小杯浓度相同的糖水混合成一大杯后，浓度还相同由这一情境可得等比定理： （2）将几杯浓度不尽相同的糖水混合成一大杯后，大杯糖水的浓度一定比淡的浓而又比浓的淡这又是托儿所小孩都知道的事实，但这里有“中间不等式”的必要因素与必要形式：对，有（3）取浓度不等的两杯糖水，它们有一个平均浓度，合在一起后又有一个浓度，这两个浓度哪个大呢？这已经是一个有挑战性的问题了，需比较与的大小 真分数不等式可以有分析法、综合法、反证法、放缩法、构造图形、构造定比分点、构造复数、构造函数等10多种证明方法，非常有利于沟通知识和方法之间的联系很多高考题都可以用真分数不等式来求解，这一事实既说明真分数不等式可以作为一个不等式证明的基本模型，又说明求解高考题时可以化归为课堂和课本已解决过的问题，或化归为往届高考题这些高考题的求解，还可以体现模式识别的层次性（直接用、转化用、综合用）例9-1 如果那么（ ） （1989年高考数学广东题）例9-2 设是由正数组成的等比数列，是其前项和（）证明； （）是否存在常数，使得 （1995年高考数学理科第25题）例9-3 已知数列为等比数列，（）求数列的通项公式；（）设是数列的前项和，证明（2004年高考数学文科第18题）讲解 例9-2（1）与例9-3（2）可以认为是真分数不等式的变形用，如果我们没有“化归为课本已经解决的问题”的思想准备，可能就想不到用真分数不等式，或在变形式与 之间犹豫，而一旦想到用真分数不等式，则已接近完成，因为为递增的正项数列，有 得 例9-4 对一切大于1的自然数，求证：（1985年高考数学上海题）例9-5 已知数列是等差数列，（）求数列的通项；（）设数列的通项，（其中），记前项和试比较与的大小，并证明你的结论（1998年高考数学题理科第25题）例9-6 已知是正整数，且，（）证明；（）证明(1m) n(1n) m（2001年高考数学理科第20题）讲解 （）要证，只需 而由真分数不等式，有 ，（由，有）相乘 ，即 例9-7 等比数列的前项和为，已知对任意的，点均在函数（且均为常数)的图象上（1）求的值； （11）当时，记，证明：对任意的，不等式成立（2009年高考数学山东卷理科第20题）解 （1）因为对任意的，点均在函数（且均为常数)的图象上所以得，当时，当时，又因为为等比数列，所以公比为（且)，从而，即 ，得（11）当时， ，则 ， 所以 由真分数不等式有，从而 即 ，得 即成立这与例9-4 证明