人教A版高中数学必修5第二章 数列2.4 等比数列教案.doc

研究性学习：“雪花曲线的初步探究”教学设计一、目的要求 1.能力目标:培养学生搜集资料,分析资料,提出问题,解决问题,得出科学结论的数学研究能力、创新能力以及人际交往能力和协作能力.2.知识目标:使学生进一步巩固数列的基础知识;培养学生应用数列知识解决实际问题的能力;使学生初步了解分形()这门新型学科.3.情感目标:培养学生对待知识的科学态度和辩证唯物主义观点. 二、内容分析 1“研究性课题”是本套教科书的一个专题性栏目，也是本套教科书的特色之一。在“研究性课题”里讨论的问题，一般具有专题性，应用性和探究性。它既是所学知识的实际应用，又对学生探究问题和解决问题具有较好的训练价值。它与教科书中的“实习作业”有一定的共同点，但“实习作业”更偏重于实践性，而“研究性课题”则显得探究性更强。2数学研究性学习以培养学生的数学创新意识和实践能力为目的,主要通过与数学学科内容相关的课题,在教师的指导下,学生作为主体参与、体验问题提出和解决的全过程,使学生不但发展思维能力,而且逐渐领悟到数学科学研究的基本过程和方法, 提高学生的科学精神和人格素质。 3 “数学研究性学习”的突出特点主要体现在以下几个方面：较高的抽象性。数学是“一种研究思想事物的科学”，决定了数学研究性学习的较高的抽象性。这种抽象性表现在它的特殊抽象内容、特殊抽象方法、特殊抽象程度。如果说其他学科研究可以采用实验的手段，那么数学研究经常借助的是“思想实验”。 广阔的开放性是研究性学习的基本特点。数学科学体系本身是开放的，学生的思维活动也是开放性的，数学为学生个体施展才华提供了广阔的知识空间。数学研究需要思维自由想象基础上的选择与构造，决定了数学研究性学习有着广阔的开放性。数学研究性学习与传统的数学教学活动相比,在学习的内容、方式、时间和地点以及研究过程、方法和结果等方面具有明显的开放性。较深刻的探究性数学是培养创造性思维的优良载体，决定了数学研究性学习有着较深刻的探究性。数学是具有创新意识的知识主体，知识主体培养创新意识的潜能需要探究性学习方式来开发。因此探究性是数学研究性学习的核心。布鲁纳说：“探索是数学的生命线。”数学是在人类认识世界和不断探索未知领域中形成和发展的。学生通过数学研究性学习，探究、揭示事物的本质规律和特点的过程,获得探究过程的体验与探究问题的科学方法，发展其思维的探究性与创造性思维。总之，数学研究性学习不应是学习一个数学知识或方法去探究其应用，而是在探究过程中获取数学知识或方法。探究不是目的，而是手段，通过探究性学习过程开发学生的创新意识。4本次探究活动的选题，从日常生活中的雪花为切入点，利用课本的基础知识(主要是数列知识)，去了解科学前沿知识。其优点表现在学生对问题非常感兴趣，所用知识来源于课本，而得出的结果却很前沿，使学生喜欢进行探究性学习，排除心理障碍，探究性学习并不神秘、可怕，而是很有趣的，这样有利于培养学生积极地去发现问题、提出问题、分析问题和解决问题，在探究过程中提高创新能力。三、教学过程1 准备阶段：分组：班级中的学生按每6人进行自愿分组,然后教师对个别小组成员进行调整，尽量保证每组都有计算机基础较好、数学基础较好、语言表达能力较强和书写较好的学生各一名。2 课题引入：创设情景：大屏幕上显示漫天飞雪的情景，并且对某一雪花进行定格。引导学生观察雪花的形状是怎样的?它又有什么特性呢?从而引入研究的课题。2 解释迭代规则(见图)1904年瑞典数学家科赫(.)讲述了一种描绘“雪花曲线”的方法：第一步先给出一个正三角形(记为1)，然后把三角形的每一条边三等分，以居中的一条线段为边向外作正三角形，并把居中的线段去掉，这一操作常称作迭代规则，于是生成了一个有6个角12条边的对象(记为2)。第二步在对象2的基础上，将每条小边三等分，然后以居中的一条线段为边向外作正三角形，并把居中的线段去掉，又生成一新对象(记为3)，以后重复此操作，如此一直进行下去最后生成了一个当时许多数学家认为是“怪物”的“雪花曲线”。3 研究过程：（一）雪花曲线的研究请各小组在纸上绘出对象2的图形，让学生亲身体验“雪花曲线”的生成过程。巡视各小组的情况，有个别小组出现错误(主要是向三角形内部作迭代)，针对出现的问题进行指导；找两份报告，通过实物投影仪一起评价其正确性，并对好的进行表扬。并在大屏幕上显示一个正三角形进行15次的迭代过程。提问1：刚才大家都体验了“雪花曲线”的生成过程,从你们作出的图形来看,发现“雪花曲线”有何特点?学生答：“雪花曲线”是一条连续的折线；并且是闭合的；曲线到处长满了“角”；当迭代越来越多时，“角”的个数也越来越多，并且“角”越来越小；曲线向外生长越来越慢。提问2：如果从数的方面，你们准备从哪些方面来研究“雪花曲线”呢?学生答：可以研究“雪花曲线”的边长和边数，“角”的个数，“角”的个数和边数的关系，周长和面积。提问3：下面从边长、边数、周长和面积等数量方面入手，来研究“雪花曲线”的特性。为了交流研究结果的方便，统一数据：设原三角形(1)的边长为1、边数为1、周长为1、面积为1，依次所得的“雪花曲线”()的边长为、边数为、周长为、面积为，并绘制出表格(投影显示)。(为建立数学模型作准备)第一步研究对象与-1边长之间的关系。由2=1，3=2，=-1，得=1。第二步研究对象与-1边数之间的关系。由2=41，3=42，=4-1，得=1。第三步研究对象与-1周长之间的关系。由2=22，3=33，=，得=11。第四步研究对象与-1面积之间的关系。因为2是在1的每条边上再生成一个小三角形，于是2=1+322，同理对象是在-1的每条边上再生成一个小三角形，于是对象的面积等于-1的面积加上-1个新增小三角形的面积, 即=-1+-1，然后把-1和的表达式代入上式，得=-1+1，于是可以利用累加的方法。=-1+1，-1=-2+1，2=1+1，累加，得=1 + +1=1 + 1-1=-1。提问4：数列、有什么特点?学生答：数列、都是等比数列；数列、都是递增数列，数列是递减数列；由于、的公比大于1，的公比小于1，根据函数的图象可知，随着趋近于+，、的值趋近于+，的值趋近于0；同理可知的值趋近于1。提问5：请大家总结出“雪花曲线”的特性。学生答：由可知,“雪花曲线”的边数有无穷多；周长为无穷大；雪花曲线围成的面积是有限的。板书研究结论：(1)雪花曲线是一条边数有无穷多，到处是尖端，不光滑的、连续的封闭折线；(2)雪花曲线的周长为无穷大，而它所围成的面积是有限的。（二） 研究拓展(介绍更多的有关知识,激发学生课后去探索的兴趣)结论1说明“雪花曲线”有许许多多的折点，到处都是尖端，用数学语言来讲，曲线虽然连续，但处处不可微。即没有切线。这是说明“连续并不一定可微”的一个经典例子，请各小组课后去查阅有关资料，对其做更深一步的了解。由于“雪花曲线”具有结论2这一特点，当时许多数学家认为“雪花曲线”是一个“怪物”，它是高度“病态”的，因此对它不屑一顾，认为毫无用处(因为它对传统的欧氏几何形成巨大的冲击)。直到1975年美籍数学家波努瓦芒德勃罗(.)创立了分形理论，才得到“平反”，而且使“雪花曲线”成为分形学科研究的一个典型例子。提问1：请观察“雪花曲线”中部分与整体有何关系?学生答：相似。总结：把对象的细微部分放大后，其结构看起来仍与原先的一样，即图形的每一部分都和它本身的形状相同，大小不一定相同，这一相似特性叫做自相似性。如一根树枝，宛如一棵大树的缩小。呈现出明显的自相似性。这与圆形成了鲜明的对比，把圆的一部分放大后便变得比较平直。分形()指具有多重自相似的对象(板书)，它可以是自然存在的，也可以是人造的。 提问2：大家平常吃的一种蔬菜，也具有分形结构，谁能说出来吗?学生答：花菜!请各小组课后访问有关分形知识的网页，了解分形的有关知识(如分形的创始人、分形